Συνάρτηση Möbius
αγγλικά : Möbius function
γαλλικά :
γερμανικά :
Η κλασική συνάρτηση Möbius μ (n) είναι μια σημαντική πολλαπλασιαστική συνάρτηση στη θεωρία αριθμών και στη συνδυαστική Ο Γερμανός μαθηματικός Αύγουστος Ferdinand Möbius το παρουσίασε το 1832. Είναι μια ειδική περίπτωση ενός πιο γενικού αντικειμένου στη συνδυαστική.
Ορισμός
Για κάθε θετικό ακέραιο n, ορίστε το μ (n) ως το άθροισμα των αρχικών n-οστων ριζών της μονάδας. Έχει τιμές σε {−1, 0, 1} ανάλογα με την παραγοντοποίηση του n σε πρώτους παράγοντες:
μ (n) = 1 εάν το n είναι θετικός ακέραιος ελεύθερος τετραγώνου με άρτιοαριθμό πρώτων παραγόντων.
μ (n) = −1 εάν το n είναι θετικός ακέραιος ελεύθερος τετραγώνου με περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων.
μ (n) = 0 εάν το n έχει τετραγωνικό πρώτο παράγοντα.
Στη θεωρία αριθμών μια άλλη αριθμητική συνάρτηση που σχετίζεται στενά με τη συνάρτηση Möbius είναι η συνάρτηση Mertens, που ορίζεται από
\( M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k) \)
για κάθε φυσικό αριθμό n. Αυτή η συνάρτηση συνδέεται στενά με τις θέσεις των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα του Riemann.
Από τον τύπο
\( {\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},} \)
συνεπάγεται ότι η συνάρτηση Mertens δίνεται από:
\( {\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},} \)
όπου Fn είναι η ακολουθία Farey της ταξης n.
Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος Franel – Landau.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
