Τρίεδρο του Frenet
αγγλικά : Frenet's frame
γαλλικά :
γερμανικά :
Στη διαφορική γεωμετρία, οι εξισώσεις Frenet-Serret περιγράφουν τις κινηματικές ιδιότητες ενός σωματιδίου που κινείται κατά μήκος μιας συνεχούς, διαφορίσιμης καμπύλης στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ℝ3, ή τις γεωμετρικές ιδιότητες της ίδιας της καμπύλης ανεξάρτητα από οποιαδήποτε κίνηση. Πιο συγκεκριμένα, οι εξισώσεις περιγράφουν τις παραγώγους των μοναδιαίων διανυσμάτων (εφαπτόμενο T, κάθετος ή πρώτη κάθετος N και δεύτερη κάθετος B) σε σχέση μεταξύ τους. Η τριάδα (T(s), N(s), B(s)) αποτελεί μία ορθοκανονική βάση του R3, και ονομάζεται συνοδεύον τρίεδρο ή τρίεδρο Frenet ή Frenet πλαίσιο (Frenet frame) ή τρίεδρο Frenet-Serret. Οι εξισώσεις πήραν το όνομά τους από τους δύο Γάλλους μαθηματικούς που τους ανακάλυψαν ανεξάρτητα: τον Jean Frédéric Frenet, στη διατριβή του του 1847 και τον Joseph Alfred Serret το 1851. Η διανυσματική σημειογραφία και η γραμμική άλγεβρα που χρησιμοποιούνται σήμερα για τη σύνταξη αυτών των εξισώσεων δεν ήταν ακόμη σε χρήση της ανακάλυψής τους.
Έστω το r (t) να είναι μια καμπύλη στον ευκλείδειο χώρο, που αντιπροσωπεύει τον το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου. Οι εξισώσεις Frenet-Serret ισχύουν για καμπύλες που δεν είναι εκφυλισμένες, πράγμα που σημαίνει κατά προσέγγιση ότι έχουν μη μηδενική καμπυλότητα. Πιο τυπικά, σε αυτήν την περίπτωση το διάνυσμα ταχύτητας r ′ (t) και διάνυσμα επιτάχυνσης r ′ ′ (t) απαιτείται να μην είναι ανάλογοι.
Έστω s (t) το μήκος τόξου που το σωματίδιο έχει μετακινηθεί κατά μήκος της καμπύλης στο χρόνο t. Η ποσότητα s χρησιμοποιείται για να δώσει στην καμπύλη την τροχιάς του σωματιδίου με φυσική παραμετροποίηση το μήκος τόξου, καθώς πολλές διαφορετικές διαδρομές σωματιδίων μπορούν να εντοπίσουν την ίδια γεωμετρική καμπύλη διασχίζοντας την με διαφορετικούς ρυθμούς. Αναλυτικά, δίνεται από
\( s(t)=\int_0^t \|\mathbf{r}'(\sigma)\|d\sigma. \)
Επιπλέον, δεδομένου ότι έχουμε υποθέσει ότι r ′ ≠ 0, προκύπτει ότι το s (t) είναι μια αυστηρά μονοτονικά αυξανόμενη συνάρτηση. Επομένως, είναι δυνατό να επιλυθεί το t ως συνάρτηση του s, και επομένως να r (s) = r (t (s)). Η καμπύλη έτσι παραμετροποιείται κατά προτιμώμενο τρόπο από το μήκος του τόξου.
Με μια μη εκφυλισμένη καμπύλη r ((s), που παραμετροποιείται από το μήκος του τόξου, είναι πλέον δυνατό να οριστεί το πλαίσιο Frenet - Serret (ή πλαίσιο TNB):
Το εφαπτόμενο μοναδιαίο διάνυσμα Τ ορίζεται ως
\( {\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\qquad \qquad (1)} \)
Το πρώτο κάθετο διάνυσμα Ν ορίζεται ως
\( \mathbf{N} = {\frac{d\mathbf{T}}{ds} \over \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\|}. \qquad \qquad (2) \)
Σημειώστε ότι καλώντας κ = ‖ d T ds ‖ {\ displaystyle \ kappa = \ left \ | {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ δεξιά \ |} {\ displaystyle \ kappa = \ αριστερά \ | {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ δεξιά \ |} λαμβάνουμε αυτόματα την πρώτη σχέση.
Το δεύτερο κάθετο διάνυσμα Β ορίζεται ως το προϊόν των Τ και Ν:
\( \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}. \qquad \qquad (3) \)
Το πλαίσιο Frenet-Serret κινείται κατά μήκος μιας έλικας. Το Τ αντιπροσωπεύεται από το μπλε βέλος, το Ν αντιπροσωπεύεται από το κόκκινο βέλος ενώ το Β αντιπροσωπεύεται από το μαύρο βέλος.
Από την εξίσωση (2) ακολουθεί, δεδομένου ότι το Τ έχει πάντα μονάδα μεγέθους, ότι το Ν (η αλλαγή του Τ) είναι πάντα κάθετο προς το Τ, καθώς δεν υπάρχει καμία αλλαγή στο μήκος του Τ. Από την εξίσωση (3) προκύπτει ότι το Β είναι πάντα κάθετα και στα Τ και Ν. Έτσι, τα τρία μοναδιαία διανύσματα Τ, Ν και Β είναι όλα κάθεταμεταξύ τους.
Οι εξισώσει Frenet - Serret είναι:
\( \begin{matrix} \frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\ &&&&\\ \frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\ &&&&\\ \frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} & \end{matrix} \)
όπου \( \kappa \) είναι η καμπυλότητα και \( \tau \) είναι η στρέψη.
Οι τύποι Frenet - Serret είναι επίσης γνωστοί ως θεώρημα Frenet - Serret και μπορούν να δηλωθούν πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας τη σημείωση του πίνακα: [
\( \begin{bmatrix} \mathbf{T'} \\ \mathbf{N'} \\ \mathbf{B'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}. \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
