Ολοκλήρωμα διαδρομής
αγγλικά : Path integral
γαλλικά :
γερμανικά :
Το ηλεκτρόνο κάνει ό, τι θέλει, είπε. Απλά πηγαίνει προς οποιαδήποτε κατεύθυνση με οποιαδήποτε ταχύτητα, προς τα εμπρός ή προς τα πίσω στο χρόνο, όπως του αρέσει, και στη συνέχεια αθροίζεις όλα τα πλάτη και πέρνεις την κυματοσυνάρτηση. Του είπα, Είσαι τρελός. Αλλά δεν ήταν. Dyson για τον Feynman
Το ολοκλήρωμα διαδρομής είναι μια μέθοδος στην κβαντική μηχανική που γενικεύει την αρχή δράσης της κλασικής μηχανικής. Αντικαθιστά την κλασική έννοια μιας μοναδικής, κλασικής τροχιάς για ένα σύστημα με ένα άθροισμα, ή ένα συναρτησιακό ολοκλήρωμα, πάνω από ένα άπειρο κβαντομηχανικά δυνατών τροχιών για τον υπολογισμό ενός κβαντικού πλάτους.
Το ολοκλήρωμα διαδρομής αφορά επίσης κβαντικές και στοχαστικές διεργασίες, και αυτό παρείχε τη βάση για τη μεγάλη σύνθεση της δεκαετίας του 1970, η οποία ενοποίησε τη θεωρία κβαντικών πεδίων με τη στατιστκη θεωρία πεδίου ενός κυμαινόμενου πεδίου κοντά σε μια μετάβαση φάσης δεύτερης τάξης. Η εξίσωση Schrödinger είναι μια εξίσωση διάχυσης με μια μιξαδική σταθερά διάχυσης και η ολοκλήρωση της διαδρομής είναι μια αναλυτική συνέχεια μιας μεθόδου για την άθροιση όλων των πιθανών τυχαίων διαδρομών.
Η βασική ιδέα του ολοκληρώματος διαδρομής μπορεί να εντοπιστεί στον Norbert Wiener, ο οποίος εισήγαγε το Wiener ολοκλήρωμα για την επίλυση προβλημάτων στη διάχυση και την κίνηση του Μπράουν. Αυτή η ιδέα επεκτάθηκε στη χρήση τηε Λαγκραντζιανής στην κβαντική μηχανική από τον Paul Dirac στο άρθρο του 1933. Η πλήρης μέθοδος αναπτύχθηκε το 1948 από τον Richard Feynman. Τμηματα εκπονήθηκαν νωρίτερα στο διδακτορικό του έργο υπό την επίβλεψη του John Archibald Wheeler. Το αρχικό κίνητρο προήλθε από την επιθυμία να αποκτήσει μια κβαντομηχανική διατύπωση για τη θεωρία απορροφητή Wheeler – Feynman χρησιμοποιώντας μια Λαγκραντζιανή(και όχι Χαμιλτονιανή) ως αφετηρία.
Η κβαντική μηχανική ενός σωματιδίου περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger
\( {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi \left(q,t\right)={\frac {-\mathrm {i} }{\hbar }}H\left({\hat {p}},q,t\right)\psi \left(q,t\right),}
\)
όπου \( {\displaystyle H(p,q,t)} \) είναι η συνάρτηση Hamilton, q είναι μια θέση στο χώρο και \( {\displaystyle {\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \nabla _{q}} \) είναι ο τελεστής της ορμής. Το ολοκλήρωμα διαδρομής του Feynman
\( {\displaystyle \psi \left(q^{\prime },t^{\prime }\right)={\mathfrak {\mathcal {N}}}\int {\mathcal {D}}q\exp \left\{{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\int _{t}^{t^{\prime }}\mathrm {d} t^{\prime \prime }L\left(q,{\dot {q}},t^{\prime \prime }\right)\right\}\psi \left(q,t\right)} \)
εκτείνεται σε διαδρομές q (t) του σωματιδίου και παρέχει για τη λύση \( {\displaystyle \psi (q,t)} \) της εξίσωσης Schrödinger την στιγμή t την λύση για την στιγμή \( {\displaystyle t^{\prime }} \) με σταθερό συντελεστή κανονικοποίησης \( {\mathfrak {{\mathcal {N}}}} \) , \( {\displaystyle \textstyle L\left(q,{\dot {q}},t\right)=p{\dot {q}}-H\left(p,q,t\right)} \) είναι η Λαγκραντζιανή για την συναρτηση Χάμιλτον .
Σε μια κάπως πιο συμπαγή σημειογραφία, το ολοκλήρωμα διαδρομής λέει ότι η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου στο σημείο B τη στιγμή \( {\displaystyle t^{\prime }} \) εάν ήταν στο A στιγμή t είναι ανάλογη με \({\displaystyle \textstyle \left|Z(B,A)\right|^{2}} \) όπου
\( {\displaystyle Z\left(B,A\right)={\mathfrak {\mathcal {N}}}\int {\mathcal {D}}q\exp \left({\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}S\right).} \)
Το ολοκλήρωμα εδώ περιέχει μόνο τις διαδρομές από \( {\displaystyle (A,t)} \) έως \( {\displaystyle (B,t^{\prime })} \) και ισχύει
\( {\displaystyle Z\left(B,A\right)={\mathfrak {\mathcal {N'}}}\int \mathrm {d} q_{c}Z\left(B,C\right)Z\left(C,A\right).} \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
