Θεώρημα των ολοκλήρωτικών υπολοίπων

Θεώρημα των ολοκλήρωτικών υπολοίπων
αγγλικά : Directrix
γαλλικά :
γερμανικά :

Στην μιγαδική ανάλυση, ένα κλάδο των μαθηματικών, το Θεώρημα των ολοκλήρωτικών υπολοίπων, που μερικές φορές ονομάζεται Θεώρημα υπολοίπων Cauchy, είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την αξιολόγηση Επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων αναλυτικών συναρτήσεων σε κλειστές καμπύλες. Μπορεί συχνά να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό πραγματικών ολοκληρωμάτων και άπειρων σειρών επίσης. Γενικεύει το θεώρημα ολοκλήρωματων Cauchy και την εξίσωση ολοκληρωμάτων του Cauchy. Από γεωμετρική άποψη, είναι μια ειδική περίπτωση του γενικευμένου θεώρηματος του Stokes.

'Εστω το U είναι ένα απλώς συνδεδεμένο ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου που περιέχει μια πεπερασμένη λίστα σημείων a₁, ..., a_n, και f μια συνάρτηση που ορίζεται και είναι ολομορφική στο U \{a₁, ..., a_n}. Έστω το γ να είναι μια κλειστή υπολογίσιμη καμπύλη στο U που δεν περιέχει κανένα από το a_k, και I(γ, a_k) ο αριθμός περιέλιξης του γ γύρω από το a_k. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του f γύρω από το γ είναι ίσο με 2πi επί το άθροισμα των υπολειμμάτων του f στα σημεία, το καθένα μετράται όσες φορές οι γ ελίσεται γύρω από το σημείο:

\( {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).} \)

Εάν το γ είναι μια θετικά προσανατολισμένη απλή κλειστή καμπύλη, I(γ, a_k) = 1 εάν το a_k είναι στο εσωτερικό του γ, και 0 εάν όχι, έτσι

\( {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})} \)

με το άθροισμα για τα a_k που είναι μέσα στο γ.

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License