Θεώρημα Hopf–Rinow
αγγλικά : Hopf–Rinow theorem
γαλλικά :
γερμανικά :
Το θεώρημα Hopf – Rinow είναι ένα σύνολο δηλώσεων σχετικά με τη γεωδαιτική πληρότητα μιας Ριμάνιας πολλαπλότητας. Ονομάστηκε από τον Heinz Hopf και τον μαθητή του Willi Rinow, ο οποίος το δημοσίευσε το 1931. [1]
Δήλωση
Έστω (M, g) μια συνδεδεμένη Ριμάνια πολλαπλότητα. Τότε οι ακόλουθες δηλώσεις είναι ισοδύναμες:
Τα κλειστά και οριοθετημένα υποσύνολα του M είναι συμπαγή.
Το M είναι ένας πλήρης μετρικός χώρος.
Το Μ είναι γεωδαιτικά πλήρες. Δηλαδή, για κάθε p στο M, η εκθετική απεικόνιση expp ορίζεται σε ολόκληρο το εφαπτόμενο χώρο TpM.
Επιπλέον, οποιοδήποτε από τα παραπάνω υπονοεί ότι δεδομένου οποιουδήποτε δύο σημείων p και q στο M, υπάρχει ένα μήκος που ελαχιστοποιεί τη γεωδαιστική σύνδεση αυτών των δύο σημείων (η γεωδαιστική είναι γενικά κρίσιμα σημεία για το συναρτησιακό μήκος, και μπορεί ή όχι να είναι ελάχιστα).
Παραλλαγές και γενικεύσεις
Το θεώρημα Hopf-Rinow γενικεύεται σε διαστάσεις μήκους-μετρικού με τον ακόλουθο τρόπο:
Εάν ένα μήκος-μετρικό διάστημα (M, d) είναι πλήρες και τοπικά συμπαγές, τότε οποιαδήποτε δύο σημεία στο M μπορούν να συνδεθούν με ελαχιστοποίηση γεωδαισιακής και οποιοδήποτε οριοθετημένο κλειστό σετ M είναι συμπαγές.
Το θεώρημα δεν ισχύει γθα άπειρες διαστάσεις: (Atkin 1975) έδειξε ότι δύο σημεία σε μια απειροδιάστατη πλήρης πολλαπλότητας Hilbert δεν χρειάζεται να συνδεθούν με γεωδαιστική. [2]
Το θεώρημα επίσης δεν γενικεύεται στις Λορεντζιανές πολλαπλότητας : ο δακτύλιος Clifton-Pohl παρέχει ένα παράδειγμα που είναι συμπαγές αλλά όχι πλήρης. [3]
Σημειώσεις
Hopf, Η .; Rinow, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen diferensialgeometrischen Fläche". Σχολιασμός Mathematici Helvetici. 3 (1): 209-225. doi: 10.1007 / BF01601813. hdl: 10338.dmlcz / 101427.
Atkin, CJ (1975), "Το θεώρημα Hopf-Rinow είναι ψευδές σε άπειρες διαστάσεις" (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261–266, doi: 10.1112 / blms / 7.3.261, MR 0400283.
O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, 103, Academic Press, σελ. 193, ISBN 9780080570570.
βιβλιογραφικές αναφορές
Jürgen Jost (28 July 2011). Riemannian Geometry and Geometric Analysis (6th Ed.). Universitext. Springer Science & Business Media. doi:10.1007/978-3-642-21298-7. ISBN 978-3-642-21298-7. See section 1.7.
Voitsekhovskii, M. I. (2001) [1994], "Hopf-Rinow theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
