Σύστημα γραμμικών εξισώσεων
αγγλικά : System of linear equations
γαλλικά : Système d'équations linéaires
γερμανικά : Lineares Gleichungssystem
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή αλλιώς γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνολο από γραμμικές εξισώσεις με τους ίδιους αγνώστους, τους οποίους προσπαθούμε να υπολογίσουμε έτσι ώστε να επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις.
Για παράδειγμα, το
\( {\displaystyle {\begin{array}{lcl}3x+5y=-2\\2x-7y=9\end{array}}} \)
είναι ένα σύστημα 2 γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Λύση του συστήματος ονομάζουμε τις τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές έτσι ώστε να επαληθεύουν ταυτόχρονα τις δύο εξισώσεις. Για παράδειγμα στο παραπάνω σύστημα η λύση είναι x = 1 , y = − 1 {\displaystyle x=1,\;y=-1} {\displaystyle x=1,\;y=-1}. Η μελέτη και επίλυση των γραμμικών συστημάτων είναι ένα βασικό κομμάτι της Γραμμικής Άλγεβρας.
Γενική μορφή
Ένα γραμμικό σύστημα με m γραμμικές εξισώσεις και n αγνώστους έχει τη μορφή
\( {\displaystyle {\begin{array}{lcl}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\dots +a_{1,n}x_{n}&=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\dots +a_{2,n}x_{n}&=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\dots +a_{m,n}x_{n}&=b_{n}\end{array}}} \)
όπου οι \( {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} \) είναι οι άγνωστοι, οι \( {\displaystyle a_{1,1},a_{1,2},\dots ,a_{m,n}} \) είναι οι συντελεστές του συστήματος και \( {\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}} \) είναι οι σταθεροί όροι του συστήματος. Οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι θεωρείται ότι ανήκουν σε ένα σώμα \( {\displaystyle F} \), το οποίο συνήθως είναι το \( {\displaystyle \mathbb {R} } \) (το σύνολο των πραγματικών αριθμών) ή το \( {\displaystyle \mathbb {C} } \)(το σύνολο των μιγαδικών αριθμών). Μπορούμε να δούμε ένα τέτοιο σύστημα ως έναν γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων όπου οι άγνωστοι είναι οι συντελεστές:
\( {\displaystyle x_{1}\left({\begin{matrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots \\a_{m,1}\end{matrix}}\right)+x_{2}\left({\begin{matrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots \\a_{m,2}\end{matrix}}\right)+\cdots +x_{n}\left({\begin{matrix}a_{1,n}\\a_{2,n}\\\vdots \\a_{m,n}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)}. \)
Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε εργαλεία διανυσματικών χώρων. Για παράδειγμα, τα διανύσματα που βρίσκονται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης ορίζουν ένα διανυσματικό χώρο. Το σύστημα θα έχει λύση αν το διανύσμα που βρίσκεται στο δεξί μέλος της εξίσωσης ανήκει και αυτό στον ίδιο διανυσματικό χώρο. Χρησιμοποιώντας συμβολισμό πινάκων, το σύστημα μπορεί να γραφεί πιο κομψά ως εξής:
\( {\displaystyle Ax=b} \)
όπου ο A {\displaystyle A} {\displaystyle A} είναι ένας πίνακας m × n {\displaystyle m\times n} {\displaystyle m\times n}, ενώ τα x , b {\displaystyle x,\;b} {\displaystyle x,\;b} είναι διανύσματα με n {\displaystyle n} {\displaystyle n} συντεταγμένες:
\( {\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{matrix}}\right),\;x=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{matrix}}\right),\;b=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)}. \)
Σύνολο Λύσεων
Λύση ενός γραμμικού συστήματος ονομάζουμε τις ομάδες τιμών που αν αντικατασταθούν στις μεταβλητές επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις ταυτόχρονα. Το σύνολο όλων των δυνατών λύσεων καλείται σύνολο λύσεων του συστήματος. Ένα σύστημα μπορεί
να έχει μια μοναδική λύση
να έχει άπειρες λύσεις
να είναι αδύνατο, δηλαδή να μην έχει καμμιά λύση.
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων δύο μεταβλητών
Η πιο απλή περίπτωση γραμμικού συστήματος είναι όταν έχουμε δύο άγνωστες μεταβλητές. Για παράδειγμα ένα σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους παίρνει τη μορφή:
\( {\displaystyle ax+by=c} \)
\( {\displaystyle a'x+b'y=c'} \)
Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να είναι αδύνατο (καμιά λύση), να έχει μοναδική λύση ή να είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Υπάρχουν τρεις απλοί τρόποι αντιμετώπισης ενός τέτοιου γραμμικού συστήματος.
Γραφική μέθοδος
Οι δύο εξισώσεις του συστήματος ως γνωστόν παριστάνουν ευθείες. Ζωγραφίζουμε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Υπάρχουν τρεις δυνατές περιπτώσεις:
(α) Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, τη δυάδα που δίνεται από τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Οι ευθείες τέμνονται όταν
\( {\displaystyle {\frac {a}{b}}\not ={\frac {a'}{b'}}} \)
(β) Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Οι ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν την ίδια κλίση, δηλαδή όταν:
a\( {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}} \) και \( {\displaystyle {\frac {c}{b}}\not ={\frac {c'}{b'}}} \)
(γ) Αν οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Οι ευθείες ταυτίζονται όταν μπορούμε να κάνουμε πράξεις και να καταλήξουμε σε ισοδύναμο σύστημα που θα έχει
\( {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}} \) και \( {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {c'}{b'}}} \)
Μέθοδος αντικατάστασης
Επιλέγουμε την πιο "απλή" οπτικά εξίσωση (δηλαδή με τους μικρότερους συντελεστές αγνώστων) και απομονώνουμε τον έναν από τους δύο αγνώστους στο ένα μέλος:
\( {\displaystyle x={\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}y} \)
Αυτό που βρίσκουμε το βάζουμε στην άλλη εξίσωση αντί του αγνώστου και προκύπτει μία πρωτοβάθμια εξίσωση, με έναν άγνωστο μόνο, τον y, ο οποίος υπολογίζεται με απλές αλγεβρικές πράξεις, και βρίσκεται να ισούται με
\( {\displaystyle y={\frac {ac'-a'c}{ab'-a'b}}} \)
Τα a, b, c, a', b, c, είναι όλα γνωστοί σταθεροί αριθμοί, δηλαδή το y θα είναι και αυτό πλέον αριθμός. Βάζοντας την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση, υπολογίζουμε τέλος και το x:
\( {\displaystyle x={\frac {b'c-bc'}{ab'-a'b}}} \)
Για να έχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί, πρέπει οι παρονομαστές που προέκυψαν στο τέλος να μην είναι μηδέν. Διακρίνουμε λοιπόν τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις:
(α) Αν \( {\displaystyle ab'\not =a'b} \), τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση:
\( {\displaystyle x={\frac {b'c-bc'}{ab'-a'b}}} \) και \( {\displaystyle y={\frac {ac'-a'c}{ab'-a'b}}} \)
(β) Αν \( {\displaystyle ab'=a'b} \) και είτε \( {\displaystyle cb'\not =c'b} \) είτε \( {\displaystyle ac'\not =a'c}, \) τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Επίσης, όταν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν και τουλάχιστον ένας από τους σταθερούς όρους δεν είναι μηδέν, το σύστημα είναι πάλι αδύνατο.
(γ) An \( {\displaystyle ab'=a'b} \), \( {\displaystyle cb'=c'b} \) και \( {\displaystyle ac'=a'c}, \) τότε το σύστημα είναι αόριστο.
Μέθοδος αντίθετων συντελεστών
Με τη μέθοδο αυτή επιδιώκουμε να εμφανίσουμε στις δύο εξισώσεις αντίθετους συντελεστές για έναν από τους αγνώστους, έτσι ώστε να τον απαλείψουμε κατόπιν με πρόσθεση κατά μέλη.
Συγκεκριμένα, το αρχικό σύστημα
\( {\displaystyle ax+by=c} \)
\( {\displaystyle a'x+b'y=c'} \)
δίνει, μετά από τον πολλαπλασιασμό της πρώτης εξίσωσης με (a') και της δεύτερης με (-a), το ισοδύναμο σύστημα
\( {\displaystyle aa'x+a'by=a'c} \)
\( {\displaystyle -aa'x-ab'y=-ac'} \)
Η πρόσθεση κατά μέλη δίνει
\( {\displaystyle (a'b-ab')y=a'c-ac'\Rightarrow y={\frac {a'c-ac'}{a'b-ab'}}} \)
Με την ίδια διαδικασία όπως και στην προηγούμενη μέθοδο προσδιορίζουμε και τον άλλο άγνωστο:
\( {\displaystyle x={\frac {b'c-bc'}{ab'-a'b}}} \)
Διακρίνουμε κατόπιν στις ίδιες περιπτώσεις που είχαμε και στην προηγούμενη μέθοδο.
Συστήματα γραμμικών ανισώσεων δύο μεταβλητών
Ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων μπορεί επίσης να είναι αδύνατο (καμιά λύση), μπορεί να έχει πολλές δυάδες λύσεων (μία, δύο, τρεις…) ή μπορεί να είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Τα συστήματα γραμμικών ανισώσεων του τύπου
\( {\displaystyle ax+by>c} \)
\( {\displaystyle a'x+b'y>c'} \)
μπορούμε να τα αντιμετωπίσουμε απλά με τη γραφική μέθοδο.
Γραφική μέθοδος
Για κάθε ανίσωση του συστήματος βρίσκουμε την αντίστοιχη εξίσωση
\( {\displaystyle ax+by=c} \) και \( {\displaystyle a'x+b'y=c'} \)
Όπως και πριν, οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο ευθείες. Σχεδιάζουμε τις ευθείες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Διαλέγουμε ένα σημείο M ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle M(x_{0},y_{0})} {\displaystyle M(x_{0},y_{0})} έξω από τις ευθείες (προτιμάμε ένα σημείο με "εύκολες" συντεταγμένες, συνήθως το (0,0)) και ελέγχουμε αν επαληθεύει τις ανισώσεις. Για κάθε ανίσωση που επαληθεύει, "σβήνουμε" (γραμμοσκιάζουμε) το ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το Μ. Αλλιώς "σβήνουμε" το ημιεπίπεδο που περιέχει το Μ. Η περιοχή του επιπέδου που παραμένει "καθαρή" είναι και το σύνολο των λύσεων του συστήματος.
Γραμμικά συστήματα περισσότερων μεταβλητών
Στην γενική περίπτωση, όπου έχουμε περισσότερες άγνωστες μεταβλητές, εφαρμόζουμε συνήθως μεθόδους γραμμικής άλγεβρας (π.χ. τον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss - που αποτελεί γενίκευση της μεθόδου των αντιθέτων συντελεστών), και συγκεκριμένα θεωρίας πινάκων ή γραμμικού προγραμματισμού (μέθοδος σίμπλεξ).
Δείτε ακόμη
Γραμμικός προγραμματισμός
Μη γραμμικό σύστημα
Θέματα σχετικά με τη Γραμμική άλγεβρα
Βασικές έννοιες
Μονόμετρο μέγεθος Διάνυσμα Διανυσματικός χώρος Διανυσματική προβολή Γραμμική παραγωγή χώρου Γραμμικός μετασχηματισμός Γραμμική προβολή Γραμμική ανεξαρτησία Γραμμικός συνδυασμός Γραμμικές συναρτήσεις βάσεις Γραμμικός χώρος στηλών Γραμμικός χώρος γραμμών Δυϊκός χώρος Ορθογωνιότητα Πυρήνας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων Εξωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο Ανάστροφος πίνακας Μέθοδος ορθοκανονικοποίησης των Gram–Schmidt Σύστημα γραμμικών εξισώσεων
Πίνακες
Πίνακας Πολλαπλασιασμός πινάκων Παραγοντοποίηση πινάνων Ελλάσων Βαθμός Κανόνας του Κράμερ Αντιστρέψιμος πίνακας Γκαουσιανή απαλοιφή Πίνακες μετασχηματισμού Σύνθετοι πίνακες
Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κινητή Υποδιαστολή Αριθμητική ευστάθεια αλγορίθμων BLAS Αραιοί πίνακες Σύγκριση των βιβλιοθηκών γραμμικής άλγεβρας Σύγκριση των λογισμικών αριθμητικής ανάλυσης Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
Εξωτερικοί Σύνδεσμοι
Σημειώσεις στα γραμμικά συστήματα πολλών μεταβλητών
Κεφάλαιο 6 - Συστήματα, Σχολικό Βιβλίο Α΄ Λυκείου, έκδοση 2010 (ίδιο με το κεφάλαιο 1 του βιβλίου της Β΄ Λυκείου - έκδοση 2017)
Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας, πανεπιστήμιο Αιγαίου.
MathStudies Blog, Σημειώσεις στα Γραμμικά Συστήματα.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
