Συνάρτηση Bateman
αγγλικά : Bateman function
γαλλικά :
γερμανικά :
Στα μαθηματικά, η συνάρτηση Bateman (ή k-function) είναι μια ειδική περίπτωση της συρρέουσα υπεργεωμετρικής συνάρτησης που μελετήθηκε από τον Harry Bateman (1931) [1] [2]. Ο Bateman το καθόρισε από
\ (\ displaystyle k_ {n} (x) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {{\ pi / 2}} \ cos (x \ tan \ theta -n \ theta ) \, d \ theta \)
Ο Bateman ανακάλυψε αυτή τη συνάρτηση , όταν ο Theodore von Kármán ζήτησε τη λύση της ακόλουθης διαφορικής εξίσωσης που εμφανίστηκε στη θεωρία της αναταραχής [3]
\ ({\ displaystyle x {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} = (x-n) u} \)
και ο Bateman βρήκε αυτή τη συνάρτηση ως μία από τις λύσεις. Ο Bateman αποκήρυξε αυτή τη συνάρτηση ως συνάρτηση «k» προς τιμήν του Theodore von Kármán.
Αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με μια άλλη συνάρτηση με το ίδιο όνομα που χρησιμοποιείται στη Φαρμακοκινητική.
Ιδιότητες
\( {\displaystyle k_{0}(x)=e^{-|x|}} \)
\( {\displaystyle k_{-n}(x)=k_{n}(-x)} \)
\( {\displaystyle k_{n}(0)={\frac {2}{n\pi }}\sin {\frac {n\pi }{2}}} \)
\( {\displaystyle k_{2}(x)=(x+|x|)e^{-|x|}} \)
\( {\displaystyle |k_{n}(x)|\leq 1} \) για πραγματικές τιμές n και x
\( {\displaystyle k_{2n}(x)=0} \) για \( x<0 \) εάν το n είναι θετικός ακέραιος
Αν το n είναι ένας παράξενος ακέραιος αριθμός, τότε \( {\displaystyle k_{n}(x)=-{\frac {2x}{\pi }}[K_{1}(-x)+K_{0}(-x)],\ x<0} \), όπου \( {\displaystyle K_{n}(-x)} \) είναι η συνάρτηση Modified Bessel του δεύτερου είδους.
βιβλιογραφικές αναφορές
Bateman, H. (1931), "The k-function, a particular case of the confluent hypergeometric function", Transactions of the American Mathematical Society, 33 (4): 817–831, doi:10.2307/1989510, ISSN 0002-9947, MR 1501618
"Bateman function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Martin, P. A., & Bateman, H. (2010). from Manchester to Manuscript Project. Mathematics Today, 46, 82-85.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
