.
αγγλικά : Levi-Civita symbol
γαλλικά : Symbole de Levi-Civita
γερμανικά : Levi-Civita-Symbol
Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.
Το σύμβολο μετάθεσης, σε τρεις διαστάσεις.
Ορισμός
Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:
\( {\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2)\ {\acute {\eta }}\ (2,3,1)\\-1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3)\ {\acute {\eta }}\ (3,2,1)\\0,&\ \alpha \nu \ i=j,\ i=k\ {\acute {\eta }}\ j=k\end{cases}}} \)
Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης εijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.
Η τιμή του συμβόλου μετάθεσης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:
\( {\displaystyle \epsilon _{ijk}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}} \)
Ιδιότητες
Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:
\( {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{ij}\epsilon _{mn}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{in}&=\delta _{jn}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{ij}&=2\end{aligned}}} \)
Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),
\( {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{ijk}\epsilon _{mnk}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{imn}\epsilon _{jmn}&=2\delta _{ij}\\\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}&=6\end{aligned}}} \)
Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.
Χρήσεις
Διανυσματικός λογισμός
Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a1,a2,a3) και Β=(b1,b2,b3) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:
\( {\displaystyle {\mathbf {A}}\times {\mathbf {B}}={\begin{vmatrix}{\mathbf {e}}_{1}&{\mathbf {e}}_{2}&{\mathbf {e}}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}} \)
όπου (e1,e2,e3) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:
\( {\displaystyle {\mathbf {A}}\times {\mathbf {B}}=\epsilon _{ijk}{\mathbf {e}}_{i}a_{j}b_{k}} \)
Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c1,c2,c3)) τότε:
\( {\displaystyle c_{i}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}} \)
Δείτε επίσης
Δέλτα του Κρόνεκερ
Πηγές
Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol».
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
