Σταθερές του Kapreka

Σταθερές του Kaprekar
αγγλικά : Kaprekar's constants
γαλλικά :
γερμανικά :

Στη θεωρία αριθμών, η ρουτίνα του Kaprekar είναι ένας επαναληπτικός αλγόριθμος που, με κάθε επανάληψη, παίρνει έναν φυσικό αριθμό σε μια δεδομένη βάση αριθμών, δημιουργεί δύο νέους αριθμούς ταξινομώντας τα ψηφία του αριθμού του με φθίνουσα και αύξουσα σειρά, και αφαιρεί το δεύτερο από τον πρώτο με το αποτέλσμα να χρησιμοποιηθεί στο επόμενο βήμα . Ονομάστηκε από τον εφευρέτη του, τον Ινδό μαθηματικό D. R. Kaprekar.

Για παράδειγμα, στη βάση 10, ξεκινώντας με 3524,

$ {\displaystyle K_{10}(3524)=5432-2345=3087} $

$ {\displaystyle K_{10}(3087)=8730-378=8352} $

$ {\displaystyle K_{10}(8352)=8532-2358=6174} $

$ {\displaystyle K_{10}(6174)=7641-1467=6174} $

με 6174 ως σταθερά του Kaprekar.

Βάση	Αριθμός Ψηφίων	Σταθερές του Kapreka	Κύκλος
2	2	01^{[Σημ. 1]}	$ \varnothing $
	3	011^{[Σημ. 1]}	$ \varnothing $
	4	0111,^{[Σημ. 1]} 1001	$ \varnothing $
	5	01111,^{[Σημ. 1]} 10101	$ \varnothing $
	6	011111,^{[Σημ. 1]} 101101, 110001	$ \varnothing $
	7	0111111,^{[Σημ. 1]} 1011101, 1101001	$ \varnothing $
	8	01111111,^{[Σημ. 1]} 10111101, 11011001, 11100001	$ \varnothing $
	9	011111111,^{[Σημ. 1]} 101111101, 110111001, 111010001	$ \varnothing $
3	2	$ \varnothing $	$ \varnothing $
	3	$ \varnothing $	022 → 121 → 022 ^{[Σημ. 1]}
	4	$ \varnothing $	1012 → 1221 → 1012
	5	20211	$ \varnothing $
	6	$ \varnothing $	102212 → 210111 → 122221 → 102212
	7	2202101	2022211 → 2102111 → 2022211
	8	21022111	$ \varnothing $
	9	222021001	220222101 → 221021101 → 220222101 202222211 → 210222111 → 211021111 → 202222211
4	2	$ \varnothing $	03 → 21 → 03^{[Σημ. 1]}
	3	132	$ \varnothing $
	4	3021	1332 → 2022 → 1332
	5	$ \varnothing $	20322 → 23331 → 20322
	6	213312, 310221, 330201	$ \varnothing $
	7	3203211	$\varnothing$
	8	31102221, 33102201, 33302001	22033212 → 31333311 → 22133112 → 22033212
	9	221333112, 321032211, 332032101	$ \varnothing $
5	2	13	$\varnothing$
	3	$ \varnothing $	143 → 242 → 143
	4	3032	$ \varnothing $
6	2	$ \varnothing $	05 → 41 → 23 → 05^{[Σημ. 1]}
	3	253	$ \varnothing $
	4	$ \varnothing $	1554 → 4042 → 4132 → 3043 → 3552 → 3133 → 1554
	5	41532	31533 → 35552 → 31533
	6	325523, 420432, 530421	205544 → 525521 → 432222 → 205544
	7	$ \varnothing $	4405412 → 5315321 → 4405412
	8	43155322, 55304201	31104443 → 43255222 → 33204323 → 41055442 → 54155311 → 44404112 → 43313222 → 31104443 42104432 → 43204322 → 42104432 53104421 → 53304221 → 53104421
7	2	$ \varnothing $	$ \varnothing $
	3	$ \varnothing $	264 → 363 → 264
	4	$ \varnothing $	3054 → 5052 → 5232 → 3054
8	2	25	07 → 61 → 43 → 07^{[note 1]}
	3	374	$ \varnothing $
	4	$ \varnothing $	1776 → 6062 → 6332 → 3774 → 4244 → 1776 3065 → 6152 → 5243 → 3065
	5	$ \varnothing $	42744 → 47773 → 42744 51753 → 61752 → 63732 → 52743 → 51753
	6	437734, 640632	310665 → 651522 → 532443 → 310665
9	2	$ \varnothing $	17 → 53 → 17
	3	$ \varnothing $	385 → 484 → 385
	4	$ \varnothing $	3076 → 7252 → 5254 → 3076 5074 → 7072 → 7432 → 5074
10^[2]	2	$ \varnothing $	09 → 81 → 63 → 27 → 45 → 09^{[Σημ. 1]}
	3	495	$ \varnothing $
	4	6174	$ \varnothing $
	5	$ \varnothing $	53955 → 59994 → 53955 61974 → 82962 → 75933 → 63954 → 61974 62964 → 71973 → 83952 → 74943 → 62964
	6	549945, 631764	420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876
	7	$ \varnothing $	7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519743 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843
	8	63317664, 97508421	43208766 → 85317642 → 75308643 → 84308652 → 86308632 → 86326632 → 64326654 → 43208766 64308654 → 83208762 → 86526432 → 64308654
11	2	37	$ \varnothing $
	3	$ \varnothing $	4A6 → 5A5 → 4A6
	4	$ \varnothing $	3098 → 9452 → 7094 → 9272 → 7454 → 3098 5096 → 9092 → 9632 → 7274 → 5276 → 5096
12	2	$ \varnothing $	0B → A1 → 83 → 47 → 29 → 65 → 0B^{[Σημ. 1]}
	3	5B6	$ \varnothing $
	4	$ \varnothing $	3BB8 → 8284 → 6376 → 3BB8 4198 → 8374 → 5287 → 6196 → 7BB4 → 7375 → 4198
	5	83B74	64B66 → 6BBB5 → 64B66
	6	65BB56	420A98 → A73742 → 842874 → 642876 → 62BB86 → 951963 → 860A54 → A40A72 → A82832 → 864654 → 420A98
	7	962B853	841B974 → A53B762 → 971B943 → A64B652 → 960BA53 → B73B741 → A82B832 → 984B633 → 863B754 → 841B974
	8	873BB744, A850A632	4210AA98 → A9737422 → 87428744 → 64328876 → 652BB866 → 961BB953 → A8428732 → 86528654 → 6410AA76 → A92BB822 → 9980A323 → A7646542 → 8320A984 → A7537642 → 8430A874 → A5428762 → 8630A854 → A540X762 → A830A832 → A8546632 → 8520A964 → A740A742 → A8328832 → 86546654
13	2	$ \varnothing $	1B → 93 → 57 → 1B
13	3	$ \varnothing $	5C7 → 6C6 → 5C7
14	2	49	2B → 85 → 2B 0D → C1 → A3 → 67 → 0D^{[Σημ. 1]}
14	3	6D7	$ \varnothing $
15	2	$ \varnothing $	$ \varnothing $
15	3	$ \varnothing $	6E8 → 7E7 → 6E8
16^[3]	2	$ \varnothing $	2D → A5 → 4B → 69 → 2D 0F → E1 → C3 → 87 → 0F^{[Σημ. 1]}
	3	7F8	$ \varnothing $
	4	$ \varnothing $	3FFC → C2C4 → A776 → 3FFC A596 → 52CB → A596 E0E2 → EB32 → C774 → 7FF8 → 8688 → 1FFE → E0E2 E952 → C3B4 → 9687 → 30ED → E952
	5	$ \varnothing $	86F88 → 8FFF7 → 86F88 A3FB6 → C4FA4 → B7F75 → A3FB6 A4FA6 → B3FB5 → C5F94 → B6F85 → A4FA6
	6	87FF78	310EED → ED9522 → CB3B44 → 976887 → 310EED 532CCB → A95966 → 532CCB 840EB8 → E6FF82 → D95963 → A42CB6 → A73B86 → 840EB8 A80E76 → E40EB2 → EC6832 → C91D64 → C82C74 → A80E76 C60E94 → E82C72 → CA0E54 → E84A72 → C60E94
	7	C83FB74	B62FC95 → D74FA83 → C92FC64 → D85F973 → C81FD74 → E94fA62 → DA3FB53 → CA5F954 → B74FA85 → B62FC95 B71FD85 → E83FB72 → DB3FB43 → CA6F854 → B73FB85 → C63FB94 → C84FA74 → B82FC75 → D73FB83 → CA3FB54 → C85F974 → B71FD85
	8	$ \varnothing $	3110EEED → EDD95222 → CBB3B444 → 97768887 → 3110EEED 5332CCCB → A9959666 → 5332CCCB 7530ECA9 → E951DA62 → DB52CA43 → B974A865 → 7530ECA9 A832CC76 → A940EB66 → E742CB82 → CA70E854 → E850EA72 → EC50EA32 → EC94A632 → C962C964 → A832CC76 C610EE94 → ED82C722 → CBA0E544 → E874A872 → C610EE94 C630EC94 → E982C762 → CA30EC54 → E984A762 → C630EC94 C650EA94 → E852CA72 → CA50EA54 → E854AA72 → C650EA94 CA10EE54 → ED84A722 → CB60E944 → E872C872 → CA10EE54

^{[Σημ. 1]}Διατηρήθηκαν μηδενικά στην αρχή

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License

Βάση	Αριθμός Ψηφίων	Σταθερές του Kapreka	Κύκλος
2	2	01^{[Σημ. 1]}	\( \varnothing \)
	3	011^{[Σημ. 1]}	\( \varnothing \)
	4	0111,^{[Σημ. 1]} 1001	\( \varnothing \)
	5	01111,^{[Σημ. 1]} 10101	\( \varnothing \)
	6	011111,^{[Σημ. 1]} 101101, 110001	\( \varnothing \)
	7	0111111,^{[Σημ. 1]} 1011101, 1101001	\( \varnothing \)
	8	01111111,^{[Σημ. 1]} 10111101, 11011001, 11100001	\( \varnothing \)
	9	011111111,^{[Σημ. 1]} 101111101, 110111001, 111010001	\( \varnothing \)
3	2	\( \varnothing \)	\( \varnothing \)
	3	\( \varnothing \)	022 → 121 → 022 ^{[Σημ. 1]}
	4	\( \varnothing \)	1012 → 1221 → 1012
	5	20211	\( \varnothing \)
	6	\( \varnothing \)	102212 → 210111 → 122221 → 102212
	7	2202101	2022211 → 2102111 → 2022211
	8	21022111	\( \varnothing \)
	9	222021001	220222101 → 221021101 → 220222101 202222211 → 210222111 → 211021111 → 202222211
4	2	\( \varnothing \)	03 → 21 → 03^{[Σημ. 1]}
	3	132	\( \varnothing \)
	4	3021	1332 → 2022 → 1332
	5	\( \varnothing \)	20322 → 23331 → 20322
	6	213312, 310221, 330201	\( \varnothing \)
	7	3203211	$\varnothing$
	8	31102221, 33102201, 33302001	22033212 → 31333311 → 22133112 → 22033212
	9	221333112, 321032211, 332032101	\( \varnothing \)
5	2	13	$\varnothing$
	3	\( \varnothing \)	143 → 242 → 143
	4	3032	\( \varnothing \)
6	2	\( \varnothing \)	05 → 41 → 23 → 05^{[Σημ. 1]}
	3	253	\( \varnothing \)
	4	\( \varnothing \)	1554 → 4042 → 4132 → 3043 → 3552 → 3133 → 1554
	5	41532	31533 → 35552 → 31533
	6	325523, 420432, 530421	205544 → 525521 → 432222 → 205544
	7	\( \varnothing \)	4405412 → 5315321 → 4405412
	8	43155322, 55304201	31104443 → 43255222 → 33204323 → 41055442 → 54155311 → 44404112 → 43313222 → 31104443 42104432 → 43204322 → 42104432 53104421 → 53304221 → 53104421
7	2	\( \varnothing \)	\( \varnothing \)
	3	\( \varnothing \)	264 → 363 → 264
	4	\( \varnothing \)	3054 → 5052 → 5232 → 3054
8	2	25	07 → 61 → 43 → 07^{[note 1]}
	3	374	\( \varnothing \)
	4	\( \varnothing \)	1776 → 6062 → 6332 → 3774 → 4244 → 1776 3065 → 6152 → 5243 → 3065
	5	\( \varnothing \)	42744 → 47773 → 42744 51753 → 61752 → 63732 → 52743 → 51753
	6	437734, 640632	310665 → 651522 → 532443 → 310665
9	2	\( \varnothing \)	17 → 53 → 17
	3	\( \varnothing \)	385 → 484 → 385
	4	\( \varnothing \)	3076 → 7252 → 5254 → 3076 5074 → 7072 → 7432 → 5074
10^[2]	2	\( \varnothing \)	09 → 81 → 63 → 27 → 45 → 09^{[Σημ. 1]}
	3	495	\( \varnothing \)
	4	6174	\( \varnothing \)
	5	\( \varnothing \)	53955 → 59994 → 53955 61974 → 82962 → 75933 → 63954 → 61974 62964 → 71973 → 83952 → 74943 → 62964
	6	549945, 631764	420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876
	7	\( \varnothing \)	7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519743 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843
	8	63317664, 97508421	43208766 → 85317642 → 75308643 → 84308652 → 86308632 → 86326632 → 64326654 → 43208766 64308654 → 83208762 → 86526432 → 64308654
11	2	37	\( \varnothing \)
	3	\( \varnothing \)	4A6 → 5A5 → 4A6
	4	\( \varnothing \)	3098 → 9452 → 7094 → 9272 → 7454 → 3098 5096 → 9092 → 9632 → 7274 → 5276 → 5096
12	2	\( \varnothing \)	0B → A1 → 83 → 47 → 29 → 65 → 0B^{[Σημ. 1]}
	3	5B6	\( \varnothing \)
	4	\( \varnothing \)	3BB8 → 8284 → 6376 → 3BB8 4198 → 8374 → 5287 → 6196 → 7BB4 → 7375 → 4198
	5	83B74	64B66 → 6BBB5 → 64B66
	6	65BB56	420A98 → A73742 → 842874 → 642876 → 62BB86 → 951963 → 860A54 → A40A72 → A82832 → 864654 → 420A98
	7	962B853	841B974 → A53B762 → 971B943 → A64B652 → 960BA53 → B73B741 → A82B832 → 984B633 → 863B754 → 841B974
	8	873BB744, A850A632	4210AA98 → A9737422 → 87428744 → 64328876 → 652BB866 → 961BB953 → A8428732 → 86528654 → 6410AA76 → A92BB822 → 9980A323 → A7646542 → 8320A984 → A7537642 → 8430A874 → A5428762 → 8630A854 → A540X762 → A830A832 → A8546632 → 8520A964 → A740A742 → A8328832 → 86546654
13	2	\( \varnothing \)	1B → 93 → 57 → 1B
13	3	\( \varnothing \)	5C7 → 6C6 → 5C7
14	2	49	2B → 85 → 2B 0D → C1 → A3 → 67 → 0D^{[Σημ. 1]}
14	3	6D7	\( \varnothing \)
15	2	\( \varnothing \)	\( \varnothing \)
15	3	\( \varnothing \)	6E8 → 7E7 → 6E8
16^[3]	2	\( \varnothing \)	2D → A5 → 4B → 69 → 2D 0F → E1 → C3 → 87 → 0F^{[Σημ. 1]}
	3	7F8	\( \varnothing \)
	4	\( \varnothing \)	3FFC → C2C4 → A776 → 3FFC A596 → 52CB → A596 E0E2 → EB32 → C774 → 7FF8 → 8688 → 1FFE → E0E2 E952 → C3B4 → 9687 → 30ED → E952
	5	\( \varnothing \)	86F88 → 8FFF7 → 86F88 A3FB6 → C4FA4 → B7F75 → A3FB6 A4FA6 → B3FB5 → C5F94 → B6F85 → A4FA6
	6	87FF78	310EED → ED9522 → CB3B44 → 976887 → 310EED 532CCB → A95966 → 532CCB 840EB8 → E6FF82 → D95963 → A42CB6 → A73B86 → 840EB8 A80E76 → E40EB2 → EC6832 → C91D64 → C82C74 → A80E76 C60E94 → E82C72 → CA0E54 → E84A72 → C60E94
	7	C83FB74	B62FC95 → D74FA83 → C92FC64 → D85F973 → C81FD74 → E94fA62 → DA3FB53 → CA5F954 → B74FA85 → B62FC95 B71FD85 → E83FB72 → DB3FB43 → CA6F854 → B73FB85 → C63FB94 → C84FA74 → B82FC75 → D73FB83 → CA3FB54 → C85F974 → B71FD85
	8	\( \varnothing \)	3110EEED → EDD95222 → CBB3B444 → 97768887 → 3110EEED 5332CCCB → A9959666 → 5332CCCB 7530ECA9 → E951DA62 → DB52CA43 → B974A865 → 7530ECA9 A832CC76 → A940EB66 → E742CB82 → CA70E854 → E850EA72 → EC50EA32 → EC94A632 → C962C964 → A832CC76 C610EE94 → ED82C722 → CBA0E544 → E874A872 → C610EE94 C630EC94 → E982C762 → CA30EC54 → E984A762 → C630EC94 C650EA94 → E852CA72 → CA50EA54 → E854AA72 → C650EA94 CA10EE54 → ED84A722 → CB60E944 → E872C872 → CA10EE54