Σταθερά Landau-Ramanujan
αγγλικά : Landau-Ramanujan constant
γαλλικά :
γερμανικά :
Στα μαθηματικά και στο πεδίο της θεωρίας αριθμών, η σταθερά Landau-Ramanujan είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός b που εμφανίζεται σε ένα θεώρημα που αποδείχθηκε από τον Edmund Landau το 1908, [1] δηλώνοντας ότι για τα μεγάλα x, ο αριθμός των θετικών ακέραιων κάτω από x που είναι το άθροισμα των δύο τετραγωνικών αριθμών συμπεριφέρεται ασυμπτωματικά ως
\( {\displaystyle {\dfrac {bx}{\sqrt {\ln(x)}}}.} \)
Αυτή η σταθερά β ανακαλύφθηκε ξανά το 1913 από τη Srinivasa Ramanujan, στην πρώτη επιστολή που έγραψε στον G.H. Χάρντι. [2]
Άθροισμα δύο τετραγώνων
Με το άθροισμα των δύο τετραγώνων θεώρημα, οι αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα των δύο τετραγώνων των ακέραιων είναι αυτοί για τους οποίους κάθε πρώτος αριθμός που είναι ισοϋπόλοιπος με το 3 mod 4 εμφανίζεται με έναν άρτιο εκθετή στην παραγοντοποίησή πρώτων τους. Για παράδειγμα, το 45 = 9 + 36 είναι ένα άθροισμα δύο τετραγώνων. Στην παραγοντοποίησή πρώτων του, 32 × 5, ο πρώτος αριθμός 3 εμφανίζεται με έναν άρτιο εκθέτη και πρώτος αριθμός 5 είναι ισοϋπόλοιπος με 1 mod 4, οπότε ο εκθέτης του μπορεί να είναι περιττός.
Το θεώρημα του Landau δηλώνει ότι εάν το N (x) είναι ο αριθμός των θετικών ακέραιων μικρότερων από x που είναι το άθροισμα των δύο τετραγώνων, τότε
\( {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\ N(x)\left/{\dfrac {x}{\sqrt {\ln(x)}}}\right.=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541} \) (ακολουθία A064533 στον OEIS),
όπου b είναι η σταθερά Landau – Ramanujan.
Ιστορία
Αυτή η σταθερά δηλώθηκε από τον Landau στην παραπάνω οριακή μορφή. Αντίθετα, ο Ramanujan προσέγγισε το N (x) ως ολοκλήρωμα, με την ίδια σταθερά αναλογικότητας και με έναν αργά αναπτυσσόμενο όρο σφάλματος. [3]
βιβλιογραφικές αναφορές
Edmund Landau, Über die Einteilung der positive ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate, Archiv der Mathematik und Physik (3) 13 (1908), 305-312
S. Ramanujan, letter to G.H. Hardy, 16 January, 1913; see: P. Moree and J. Cazaran, On a claim of Ramanujan in his first letter to Hardy, Exposition. Math. 17 (1999), no.4, 289-311.
Weisstein, Eric W. "Landau–Ramanujan Constant". MathWorld.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
