Σταθερά του Cahen
αγγλικά : Cahen's Constant
γαλλικά :
γερμανικά :
Στα μαθηματικά, η σταθερά του Cahen ορίζεται ως μια άπειρη σειρά μοναδιαίων κλασματικών , με εναλλασσόμενα σημάδια, που προέρχονται από την ακολουθία του Sylvester:
\( C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.64341054629. \)
Ο συνδυασμός αυτών των κλασμάτων σε ζεύγη οδηγεί σε μια εναλλακτική επέκταση της σταθεράς του Cahen ως μια σειρά θετικών κλασματικών μονάδων που σχηματίζονται από τους όρους σε ομαλές θέσεις της ακολουθίας του Sylvester. Αυτή η σειρά για τη σταθερά του Κάιν σχηματίζει την άπληστη Αιγυπτιακή επέκταση :
\( C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots \)
Αυτή η σταθερά πήρε το όνομά της από τον Eugène Cahen (επίσης γνωστός για την ολοκλήρωση Cahen-Mellin), ο οποίος διατύπωσε και ερεύνησε για πρώτη φορά τη σειρά (Cahen 1891).
Η σταθερά του Cahen είναι γνωστό ότι είναι υπερβατική (Davison & Shallit 1991). Είναι αξιοσημείωτο ως ένας από έναν μικρό αριθμό φυσικών υπερβατικών αριθμών για τους οποίους γνωρίζουμε την πλήρη συνεχιζόμενη επέκταση κλάσματος: εάν σχηματίσουμε την ακολουθία
0, 1, 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (ακολουθία A006279 στον OEIS)
ορίζεται από τη σχέση επανάληψης
\({\displaystyle a_{0}=0,~a_{1}=1,~a_{n+2}=a_{n}\left(1+a_{n}a_{n+1}\right)~\forall ~n\in \mathbb {Z} _{\geqslant 2}} \)
τότε η σταθερά του Cahen έχει ένα κανονικό συνεχές κλάσμα:
\( {\displaystyle \left[a_{0}^{2};a_{1}^{2},a_{2}^{2},a_{3}^{2},a_{4}^{2},\ldots \right]} \)
(Davison & Shallit 1991).
βιβλιογραφικές αναφορές
Cahen, Eugène (1891), "Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues", Nouvelles Annales de Mathématiques, 10: 508–514
Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991), "Continued fractions for some alternating series", Monatshefte für Mathematik, 111 (2): 119–126, doi:10.1007/BF01332350
External links
Weisstein, Eric W. "Cahen's Constant". MathWorld.
"The Cahen constant to 4000 digits", Plouffe's Inverter, Université du Québec à Montréal, archived from the original on March 17, 2011, retrieved 2011-03-19
"Cahen's constant (1,000,000 digits)", Darkside communication group (in Japan), retrieved 2017-12-25
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
