Όρισμα

Όρισμα
αγγλικά : Argument
γαλλικά :
γερμανικά :

Στα μαθηματικά, το όρισμα είναι μια συνάρτηση πολλαπλών τιμών που αναφερεται στους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς. Με τους μιγαδικούς αριθμούς z να απεικονίζονται ως σημείο στο μιγαδικό επίπεδο, το όρισμα arg ⁡ ( z ) του z είναι η γωνία μεταξύ του θετικού πραγματικού άξονα και της γραμμής που ενώνει το σημείο με την αρχή, που φαίνεται ως φ στο σχήμα 1 και υποδηλώνεται arg z. Για να ορίσετε μια συνάρτηση μίας αξίας, χρησιμοποιείται η κύρια τιμή του ορίσματος (μερικές φορές δηλώνεται Arg z). Επιλέγεται ως η μοναδική τιμή του ορίσματος που βρίσκεται εντός του διαστήματος (–π, π).

Σχήμα 1. Διάγραμμα Argand που αντιπροσωπεύει ένα μιγαδικό αριθμό σε ένα επίπεδο. Για κάθε σημείο στο επίπεδο, το όρισμα arg είναι η συνάρτηση που επιστρέφει τη γωνία φ.

Επειδή μια πλήρης περιστροφή γύρω από την προέλευση αφήνει έναν μιγαδικό αριθμό αμετάβλητο, υπάρχουν πολλές επιλογές που θα μπορούσαν να γίνουν για φ . Αυτό φαίνεται στο σχήμα 2, μια αναπαράσταση της συνάρτησης πολλαπλών τιμών \( {\ displaystyle f (x, y) = \ arg (x + iy)} \), όπου μια κατακόρυφη γραμμή (δεν φαίνεται στην εικόνα) κόβει την επιφάνεια σε ύψη αντιπροσωπεύοντας όλες τις πιθανές επιλογές γωνίας για αυτό το σημείο.

Σχήμα 2. Δύο επιλογές για την γωνία φ

Όταν απαιτείται μια καλά καθορισμένη συνάρτηση, τότε η συνήθης επιλογή, γνωστή ως η κύρια τιμή ή πρωτεύον όρισμα Arg ⁡ ( z ), είναι η τιμή στο ανοιχτό κλειστό διάστημα (radπ rad, π rad), δηλαδή από −π έως π ακτίνια, εξαιρουμένου του −π rad το ίδιο (ισοδύναμα από −180 έως +180 μοίρες, εξαιρουμένου του ίδιου του -180 °). Αυτό αντιπροσωπεύει μια γωνία έως και μισού πλήρους κύκλου από τον θετικό πραγματικό άξονα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση.

\( {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{αν }}x>0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{αν }}x<0{\text{ και }}y\geq 0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ και }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{αν }}x=0{\text{ και }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{αν }}x=0{\text{ και }}y<0,\\{\text{απροσδιόριστο }}&{\text{αν }}x=0{\text{ και }}y=0.\end{cases}}} \)

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License