Μέθοδοι Runge–Kutta
αγγλικά : Runge–Kutta methods
γαλλικά :
γερμανικά :
Στην αριθμητική ανάλυση, οι μέθοδοι Runge-Kutta είναι μια οικογένεια άμεσων και έμμεσων επαναληπτικών μεθόδων, οι οποίες περιλαμβάνουν τη γνωστή ρουτίνα που ονομάζεται Μέθοδος Euler, που χρησιμοποιείται στη χρονική διακριτοποίηση για τις κατά προσέγγιση λύσεις των συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Αυτές οι μέθοδοι αναπτύχθηκαν γύρω στο 1900 από τους Γερμανούς μαθηματικούς Carl Runge και Wilhelm Kutta.
Κλασική μέθοδος Runge–Kutta
Αναφέρεται γενικά ως «RK4», η «κλασική μέθοδος Runge-Kutta» ή απλά η «μέθοδος Runge-Kutta».
Έστω ένα αρχικό πρόβλημα τιμής καθορίζεται ως εξής:
\( {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.} \)
Εδώ y είναι μια άγνωστη συνάρτηση (βαθμωτό μέγεθος ή διάνυσμα) του χρόνου t, την οποία θέλουμε να προσεγγίσουμε. \( {\frac {dy}{dt}} \), είναι ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει το y, είναι συνάρτηση του t και του ίδιου του y. Την αρχική στιγμή \( t_{0} \) η αντίστοιχη τιμή y y είναι \( y_{0} \). Δίνεται η συνάρτηση f και οι αρχικές συνθήκες \( {\displaystyle y_{0}} y_{0} \).
Επιλέγουμε ένα μέγεθος βήματος h> 0 και ορίστε
\( {\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{6}}h\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}
για n = 0, 1, 2, 3, ..., χρησιμοποιώντας
\( {\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{1}}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{2}}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}}
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
