Κλιμακωτή μορφή
αγγλικά : Reduction
γαλλικά :
γερμανικά : Reduktion
Η μαθηματική αναγωγή ονομάζεται η μετατροπή μιας έκφρασης σε ταυτόσιμη αλλά απλούστερη μορφή. Χρησιμοποιείται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των μαθηματικών. Στα κλάσματα, (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται και «απλοποίηση» και ονομάζεται η επανεγγραφή των όρων του κλάσματος με απλούστερους όρους. Στα ριζικά (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται η επανεγγραφή του περιεχομένου των ριζικών με απλούστερο τρόπο.
Στη Γραμμική Άλγεβρα η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την εξίσωση, το σύστημα εξισώσεων ή τους πίνακες (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.
Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της ολοκλήρωσης κατά μέλη για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την επανεγγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.
Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan
Στη δυναμική ανάλυση. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
\( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}=\beta _{1}} } \)
\({\displaystyle \mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=\beta _{2}} } \)
όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.
Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:
\( {\displaystyle \mathrm {{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\end{bmatrix}}} } \)
Αν τώρα β2=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x1, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:
\( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}x_{1}=\beta _{1}} } \)
Η αναγωγή στον όρο α11αν. φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β2=0:
\( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}=\beta _{1}\;} } \)
\( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=0\;} } \)
Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2η) εξίσωση ισχύει:
\( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}=0\Leftrightarrow \alpha _{21}x_{1}=-\alpha _{22}x_{2}\Leftrightarrow x_{2}=-{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}x_{1}} } \)
Αντικαθιστώντας τώρα το x2 στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:
\( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{11}x_{1}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}x_{1}=\beta _{1}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}\alpha _{11}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}\end{pmatrix}}x_{1}=\beta _{1}} } \)
Τέλος θέτοντας \( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}=\alpha _{11}-\alpha _{12}{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{22}}}} } \) διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:
\( {\displaystyle \mathrm {\alpha _{11\alpha \nu .}x_{1}=\beta _{1}} } \)
Παρόμοια αναγωγή μπορεί να γίνει και αν κάποιο από τα αij είναι 0, ενώ φυσικά μπορεί ομοίως να αναχθεί το α21 αν β1=0.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
