Κλιμακωτή μορφή
αγγλικά : Row echelon form
γαλλικά : échelonnée
γερμανικά : Stufenform
Στην γραμμική άλγεβρα ένας πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή αν:
Οι μη μηδενικές γραμμές του προηγούνται των μηδενικών γραμμών του.
το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο (ηγετικό στοιχείο) κάθε γραμμής είναι σε δεξιότερη θέση από το αντίστοιχο μη μηδενικό στοιχείο της προηγούμενης γραμμής.
Επιπλέον λέμε ότι είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή αν εκτός από αυτά ισχύουν τα εξής:
Το ηγετικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι το 1.
Κάθε στήλη που περιεχέι το ηγετικό στοιχείο 1 μιας γραμμής έχει όλα τα υπόλοιπα μηδενικά.
Στο κάθε εξής όπου αναφέρεται κλιμακωτή μορφή εννοείται ανηγμένη.
Ένα παράδειγμα 3x3 πίνακα σε κλιμακωτή μορφή:
\( {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&1&a_{4}&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]} \)
Πίνακες αυτής της μορφής συνήθως προκύπτουν από τον αλγόριθμο απαλειφής του Gauss για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Σε πολλά βιβλία, δεν απαιτείται να ισχύει η ιδιότητα 2, αλλά μόνο οι 1 και 3. Δεν απαιτείται δηλαδή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο να είναι ίσο με τη μονάδα[1]. Αν όμως τα πρώτα μη μηδενικά στοιχεία κάθε γραμμής είναι ίσα με την μονάδα τότε το ισοδύναμο σύστημα που προκύπτει από τον αλγόριθμο απαλειφής λύνεται άμεσα με "προς τα πίσω" αντικατάσταση. Αν διαγράψουμε τη συνθήκη 2, τότε και ο παρακάτω πίνακας είναι κλιμακωτός:
\( {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&2&a_{4}&b_{2}\\0&0&-5&b_{3}\end{array}}\right]} \)
Στα παλαιότερα βιβλία[1][2] δεν αναφέρεται κάποιο όνομα για πίνακες αυτού του είδους. Αναφέρονται απλά ως τριγωνικοί πίνακες στους οποίους καταλήγει ο αλγόριθμος απαλειφής.
Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή
Ένας πίνακας είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή αν είναι σε κλιμακωτή μορφή και επιπλέον κάθε καθοδηγγητική μονάδα είναι το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει:
\( {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&b_{1}\\0&1&0&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]} \)
Όπως αναφέρθηκε, οι κλιμακωτοί και οι ανηγμένοι κλιμακωτοί πίνακες εμφανίζονται στον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss που χρησιμοποιείται για την επίλυση γραμμικών συστημάτων, για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα, για την εύρεση της τάξης ενός πίνακα και αλλού. Ο αλγόριθμος απαλοιφής μπορεί να μετατρέψει κάθε πίνακα σε κλιμακωτό πίνακα μέσω στοιχειδών μετασχηματισμών.
Παραπομπές
Gantmacher, Felix (2000). Matrix Theory. Rhodes Island: AMS. σελ. 25,34. ISBN 0821813935.
Χρυσάκης, Θανάσης (1992). Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία. Αθήνα: Αυτοέκδοση. σελ. 53.
Εξωτερικοί Σύνδεσμοι
Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας, παν. Αιγαίου
Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss (περιγραφή και κώδικας σε python)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
