Κανόνας L' Hospital
αγγλικά : L'Hôpital's rule
γαλλικά :
γερμανικά :
Στα μαθηματικά, πιο συγκεκριμένα στον απειροστικό λογισμό, ο κανόνας του L'Hôpital (λοπιτάλ) ή ο κανόνας του L'Hospital παρέχει μια τεχνική για την αξιολόγηση των ορίων των απροσδιόριστων μορφών. Η εφαρμογή (ή επαναλαμβανόμενη εφαρμογή) του κανόνα συχνά μετατρέπει μια απροσδιόριστη μορφή σε μια έκφραση που μπορεί εύκολα να αξιολογηθεί με αντικατάσταση. Ο κανόνας πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό του 17ου αιώνα Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hospital. Αν και ο κανόνας αποδίδεται συχνά στο L'Hôpital, το θεώρημα του παρουσιάστηκε για πρώτη φορά το 1694 από τον Ελβετό μαθηματικό Johann Bernoulli.
Ο κανόνας της L'Hôpital δηλώνει ότι για τις συναρτήσεις f και g που είναι διαφοροποιήσιμες σε ανοιχτό διάστημα I εκτός από πιθανώς σε ένα σημείο c που περιέχεται στο I, εάν \({\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,} \) \( {\displaystyle g'(x)\neq 0} \) για όλα τα x in I με x ≠ c και \( \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}} \) υπάρχει, τότε
\( {\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ έως c} {\ frac { f '(x)} {g' (x)}}.} \)
Η παραγώγιση του αριθμητή και του παρονομαστή απλοποιεί συχνά το πηλίκο ή το μετατρέπει σε ένα όριο που μπορεί να αξιολογηθεί άμεσα.
Γενική μορφή του Κανόνας L' Hospital
Η γενική μορφή του κανόνα L'Hôpital καλύπτει πολλές περιπτώσεις. Έστω τα c και L πραγματικός αριθμός ή θετικά άπειρος ή αρνητικά άπειρος . Έστω I ενα ανοιχτό διάστημα που περιέχει c (για όριο δύο πλευρών ) ή ενα ανοιχτό διάστημα με τελικό σημείο c (για όριο μιας πλευράς) ή όριο στο άπειρο εάν το c είναι άπειρο . Οι συναρτήσεις f και g θεωρείται ότι είναι παραγωγίσιμες στο I εκτός πιθανώς στο c, και επιπλέον \( {\displaystyle g'(x)\neq 0} \) στο I εκτός από πιθανώς στο c. Θεωρείται επίσης ότι \({\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.} \) Έτσι, ο κανόνας εφαρμόζεται σε καταστάσεις στις οποίες το πηλίικο των παραγώγων έχει ένα περιορισμένο ή άπειρο όριο, αλλά όχι σε καταστάσεις στις οποίες ο λόγος αυτός ταλαντώνεται μόνιμα καθώς το x πλησιάζει στο c.
Εάν
\( {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0} \)
ή
\( {\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,} \)
τότε
\( {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.} \)
Αν και έχουμε γράψει x → c συνολικά, τα όρια μπορεί επίσης να είναι όρια μονής όψης (x → c + ή x → c−), όταν το c είναι ένα πεπερασμένο τελικό σημείο του I.
Στη δεύτερη περίπτωση, η υπόθεση που αποκλίνει στο άπειρο δεν χρησιμοποιείται στην απόδειξη . Έτσι, ενώ οι συνθήκες του κανόνα δηλώνονται κανονικά ως ανωτέρω, η δεύτερη επαρκής προϋπόθεση για να είναι έγκυρη η διαδικασία του κανόνα μπορεί να αναφερθεί πιο σύντομα ως \( {\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .} \)
Η υπόθεση ότι \( {\displaystyle g'(x)\neq 0} \) εμφανίζεται πιο συχνά στη βιβλιογραφία, αλλά ορισμένοι συγγραφείς παρακάμπτουν αυτήν την υπόθεση προσθέτοντας άλλα υποθέσεις αλλού. Μία μέθοδος είναι ο καθορισμός του ορίου μιας συνάρτησης με την επιπρόσθετη απαίτηση ότι η περιοριστική συνάρτηση ορίζεται παντού στο σχετικό διάστημα Ι, εκτός πιθανώς στο c. Μια άλλη μέθοδος είναι να απαιτείται τόσο το f όσο και το g να είναι παραγωγίσιμα παντού σε διάστημα που περιέχει c.
Παραδείγματα
Εδώ είναι ένα βασικό παράδειγμα που περιλαμβάνει την εκθετική συνάρτηση, η οποία περιλαμβάνει την απροσδιόριστη μορφή 0/0 στο x = 0:
\( {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1.\end{aligned}}} \)
Αυτό είναι ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα που περιλαμβάνει 0/0. Η εφαρμογή του κανόνα της L'Hôpital μία φορά εξακολουθεί να οδηγεί σε μια απροσδιόριστη φόρμα. Σε αυτήν την περίπτωση, το όριο μπορεί να αξιολογηθεί εφαρμόζοντας τον κανόνα τρεις φορές:
\( {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6.\end{aligned}}} \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
