Κανόνας του Κράμερ
αγγλικά : Cramer's rule
γαλλικά : Règle de Cramer
γερμανικά : Cramersche Regel
Ο Κανόνας του Κράμερ είναι θεώρημα στη γραμμική άλγεβρα, που δίνει τη λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με αριθμό αγνώστων ίσο με τον αριθμό εξισώσεων. Το σύστημα γράφεται με τη μορφή πινάκων και λύνεται με τη βοήθεια ορίζουσων. Έχει πάρει το όνομα του από τον Ελβετό μαθηματικό Γκαμπριέλ Κράμερ (1704-1752), ο οποίος διατύπωσε αυτόν τον κανόνα το 1750 στo βιβλίο του 'Ιntroduction á l’analyse des lignes courbes algébriques'. Εντούτοις, ο κανόνας αυτός είχε εκδοθεί πρωτύτερα το 1748 από τον Κόλιν Μακλόριν στο βιβλίο του Treatise of Algebra και πιστεύεται ότι ο Μακλόριν γνώριζε για τη μέθοδο αυτή από το 1729.[1]
Δεδομένου ενός γραμμικού σύστηματις εξισώσεων με τόσες εξισώσεις όσες άγνωστες στη μορφή
\( {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{matrix}} \)
ή με μορφή πίνακα \( Ax=b \) με
\( A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,,\quad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,,\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\,. \)
και με την προυπόθεση ότι ο A είναι αντστρέψιμος , δηλ. \( \det(A)\neq 0 \)
Τότε το γραμμικό σύστημα έχει λύση με
\( A x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}} \) για όλα τα i.
Όπου \( A_{i} \) ο πίνακας με αντικατάσταση της ι- στήλης του πίνακα Α με την δεξιά πλευρά b του συστηματος εξισώσεων:
\( A_{i}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\end{pmatrix}} \)
Παραπομπές
Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2η έκδοση (Wiley, 1968), σελ. 431.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
MIT Linear Algebra Lecture on Cramer’s Rule at Google Video, from MIT OpenCourseWare
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
