Ιστορία των μαθηματικών
αγγλικά :
γαλλικά :
γερμανικά :
Το πεδίο σπουδών γνωστό ως η Ιστορία των Μαθηματικών είναι κατ' εξοχήν μια έρευνα στην προέλευση των μαθηματικών και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους του παρελθόντος.
Πριν τη σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια ανάπτυξη της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων ήρθαν στο φως σε μικρό χρονικό διάστημα. Τα παλαιότερα διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι τα Plimpton 322 (Μαθηματικά των Βαβυλωνίων 1900 π.Χ),[2] Rhind Mathematical Papyrus (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 2000-1800 π.Χ),[3] Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 1890 π.Χ). Όλα αυτά τα κείμενα απασχολούνται με το γνωστό πυθαγόρειο θεώρημα, που φαίνεται να είναι η αρχαιότερη και πλέον διαδεδομένη ανακάλυψη μετά την αριθμητική και τη γεωμετρία.
Η μελέτη των μαθηματικών ως θέμα από μόνο του ξεκινάει τον 6ο αιώνα π.Χ με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών.[4] Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν σε μεγάλο βαθμό τις μεθόδους (ειδικά μέσα από την εισαγωγή τους παραγωγικού συλλογισμού, του μαθηματικού σθένους και τις αποδείξεις) και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών.[5] Οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν πρώιμες συνεισφορές, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα αξιών.[6][7] Το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιείται σε ολόκληρο τον κόσμο σήμερα, και οι κανόνες για τη χρήση των λειτουργιών του, πιθανότατα εξελίχθηκε κατά την πρώτη χιλιετία στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμιστών μαθηματικών.[8] Οι Ισλαμιστές μαθηματικοί, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν και επέκτειναν τα μαθηματικά, που έγιναν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς.[9] Πολλά γνωστά Ελληνικά και Αραβικά κείμενα στα μαθηματικά μεταφράστηκαν στα Λατινικά, κάτι που οδήγησε σε περαιτέρω εξέλιξη των μαθηματικών στην μεσαιωνική Ευρώπη.
Από την αρχαία εποχή διαμέσου του Μεσαίωνα, ξεσπάσματα μαθηματικής δημιουργικότητας πολλές φορές ακολουθούνταν από αιώνες στασιμότητας. Στις αρχές της Ιταλίας της Αναγέννησης του 16ου αιώνα, οι νέες μαθηματικές εξελίξεις που αλληλεπίδρασαν με νέες επιστημονικές ανακαλύψεις, πραγματοποιήθηκαν με αυξανόμενο ρυθμό, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.
Προϊστορικά μαθηματικά
Η προέλευση της μαθηματικής σκέψης βασίζεται στις έννοιες του αριθμού, του μεγέθους και του σχήματος. Σύγχρονες μελέτες της γνωστικής λειτουργίας των ζώων, έχουν δείξει ότι οι έννοιες αυτές δεν αφορούν μόνο το ανθρώπινο ον. Τέτοιες έννοιες θα ήταν μέρος της καθημερινής ζωής και σε προϊστορικές κοινωνίες κυνηγών-τροφοσυλλεκτών. Η ιδέα του "αριθμού" σαν έννοια, που εξελίσσεται σταδιακά με την πάροδο του χρόνου, υποστηρίζεται από την ύπαρξη άλλων γλωσσών, οι οποίες διατηρούν τη διάκριση μεταξύ των εννοιών "ένα", "δύο" και "πολλά", αλλά όχι αριθμών μεγαλύτερων του δύο.
Το αρχαιότερο γνωστό, ενδεχομένως μαθηματικό, αντικείμενο είναι τα οστά Lebombo, που βρέθηκαν στην οροσειρά Lebombo της Σουαζιλάνδης και χρονολογούνται γύρω στο 35000 π.Χ.. Αποτελείται από 29 εμφανείς εγκοπές πάνω σε περόνη μπαμπουίνου. Άλλα προϊστορικά αντικείμενα, που ανακαλύφθηκαν στην Αφρική και τη Γαλλία, τα οποία χρονολογούνται μεταξύ 35000-20000 π.Χ., υποδηλώνουν τις πρώτες απόπειρες να προσδιοριστεί ποσοτικά ο χρόνος.
Το οστό Ishango, το οποίο βρέθηκε στις πηγές του ποταμού Νείλου (στο βορειοανατολικό Κονγκό), χρονολογείται έως και 20000 ετών και αποτελείται από ένα πλήθος ψηλών γραμμάτων σκαλισμένα σε τρεις στήλες, που διατρέχουν το μήκος του οστού. Συνήθεις ερμηνείες είναι ότι το οστό Ishango δείχνει είτε την αρχαιότερη γνωστή επίδειξη των ακολουθιών των πρώτων αριθμών, είτε ένα εξαμηνιαίο σεληνιακό ημερολόγιο. Στο βιβλίο How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, ο Peter Rudman υποστηρίζει ότι η ανάπτυξη της έννοιας των πρώτων αριθμών θα μπορούσε μόνο να έχει έρθει σχετικά μετά την έννοια της διαίρεσης, πράγμα το οποίο χρονολογείται μετά το 10000 π.Χ., με τους πρώτους αριθμούς πιθανότατα να μην έχουν γίνει κατανοητοί μέχρι περίπου το 500 π.Χ.. Γράφει επίσης ότι: "δεν έχει γίνει καμία προσπάθεια να εξηγηθεί γιατί μία αντιστοιχία από κάτι που πρέπει να εμφανίζει πολλαπλάσια του 2, πρώτους αριθμούς από το 10 έως το 20, και κάποιους αριθμούς που σχεδόν είναι πολλαπλάσια του 10". Το οστό Ishango σύμφωνα με τον μελετητή Alexander Marshack, ίσως να έχει επηρεάσει τη μετέπειτα ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αίγυπτο, γιατί όπως και σε κάποια στοιχεία του οστού Ishango, και η Αιγυπτιακή αριθμητική έκανε χρήση του πολλαπλασιασμού με το 2· αυτό, παρόλαυτά, αμφισβητείται.
Οι Αιγύπτιοι της Προδυναστικής περιόδου της Αιγύπτου της 5ης χιλιετίας π.Χ. εκπροσωπούνται εικονογραφικά, από γεωμετρικά σχέδια. Έχει διατυπωθεί η άποψη, ότι μεγαλιθικά μνημεία στην Αγγλία και τη Σκωτία, που χρονολογούνται από την 3η χιλιετία π.Χ., ενσωματώνουν γεωμετρικές ιδέες, όπως κύκλους, ελλείψεις, και πυθαγόρειες τριάδες στο σχεδιασμό τους.
Ωστόσο όλα τα παραπάνω αμφισβητούνται, και την τρέχουσα στιγμή, η παλαιότερη αδιαμφισβήτητη χρήση των Μαθηματικών, είναι σε Βαβυλωνιακές και της δυναστικής περιόδου Αιγυπτιακές πηγές. Συνεπώς, το ανθρώπινο όν χρειάστηκε τουλάχιστον 45000 χρόνια από την επίτευξη της συμπεριφορικής και γλωσσικής εξέλιξης, για να αναπτύξει τα μαθηματικά ως έχουν.
Βαβυλωνιακά Μαθηματικά
Κύριο λήμμα: Βαβυλωνιακά Μαθηματικά
Ο όρος "βαβυλωνιακά μαθηματικά" αναφέρεται στα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τους λαούς της Μεσοποταμίας (σύγχρονο Ιράκ), από τους πρώτους Σουμέριους μέχρι την Ελληνιστική περίοδο περίπου, ως την εμφάνιση του Χριστιανισμού.[10] Ονομάζονται Βαβυλωνιακά μαθηματικά λόγω του κύριου ρόλου της Βαβυλώνας ως τόπου σπουδών. Αργότερα, κατά την Αραβική αυτοκρατορία, η Μεσοποταμία, ειδικότερα η Βαγδάτη, αποτέλεσε ξανά σημαντικό κέντρο σπουδών, αυτή τη φορά για τα Ισλαμικά μαθηματικά.
Σε αντίθεση με την ανεπάρκεια των πηγών στα Αιγυπτιακά Μαθηματικά , η γνώση μας για τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά προέρχεται από περισσότερα από 400 πήλινα δισκία που ήρθαν στο φως το 1850. [94] Γραμμένα σε σφηνοειδή γραφή, τα δισκία ήταν χαραγμένα ενώ ο πηλός ήταν υγρός , και ψήνονταν σε φούρνο ή από τη θερμότητα του ήλιου. Μερικές από αυτές φαίνεται να ταξινομούνται σε εργασίες .
Τα αρχαιότερα στοιχεία καταγεγραμμένων μαθηματικών χρονολογούνται πίσω στους αρχαίους Σουμέριους, οι οποίοι έχτισαν τον πρώτο πολιτισμό της Μεσοποταμίας. Ανέπτυξαν ένα σύνθετο σύστημα μετρολογίας από το 3000 π.Χ. Από περίπου το 2500 π.Χ. και μετά, οι Σουμέριοι έγραψαν πίνακες προπαίδειας σε πήλινες πλάκες και αντιμετώπισαν γεωμετρικές εξισώσεις και προβλήματα διαιρετότητας. Τα πρώτα ίχνη των Βαβυλωνιακών αριθμών επίσης χρονολογούνται σε αυτήν την περίοδο.[11]
Η πλειοψηφία των πήλινων πλακών που έχουν ανακτηθεί χρονολογείται από το 1800 στο 1600 π.Χ., και καλύπτει θέματα που περιλαμβάνουν συναρτήσεις, άλγεβρα, τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις, και τον υπολογισμό των περιοδικών και αμοιβαίων ζευγών.[12] Οι πλάκες επίσης περιλαμβάνουν πίνακες πολλαπλασιασμού και μεθόδους επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Η πλάκα YBC 7289 δίνει μία προσέγγιση της √2 με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων.
Τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν γραμμένα σε αριθμητικό σύστημα με βάση το 60. Από αυτό το σύστημα προέρχεται η σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μία ώρα, και 360 (60 x 6) μοιρών σε έναν κύκλο, όπως επίσης και η χρήση των δευτερολέπτων και των λεπτών για να υποδηλωθούν οι υποδιαιρέσεις ενός τόξου. Η βαβυλωνιακή πρόοδος των μαθηματικών διευκολύνθηκε από το γεγονός ότι το 60 έχει πολλούς διαιρέτες. Επίσης, σε αντίθεση με τους Αιγυπτίους, τους Έλληνες και τους Ρωμαίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα πραγματικό σύστημα θέση-αξίας, όπου ψηφία γραμμένα στην αριστερή στήλη αντιπροσωπεύουν μεγαλύτερες τιμές, όσο και στο δεκαδικό σύστημα. Δεν είχαν, εντούτοις, ένα ισοδύναμο του δεκαδικού σημείου, και έτσι η αξία θέση ενός συμβόλου έπρεπε συχνά να συναχθεί από τα συμφραζόμενα. Από την άλλη πλευρά, αυτό το "ελάττωμα" είναι ισοδύναμο με τη χρήση σύγχρονης κινητής αριθμητικής υποδιαστολής ? Επιπλέον, η χρήση της βάσης 60 σημαίνει ότι κάθε αντίστροφος από έναν ακέραιο που είναι ένα πολλαπλάσιο των διαιρετών του 60 έχει αναγκαστικά μια πεπερασμένη επέκταση της βάσης 60. (στην δεκαδική αριθμητική, μόνο αντίστροφα πολλαπλάσια των 2 και 5 έχουν πεπερασμένες δεκαδικές επεκτάσεις. ) Κατά συνέπεια, υπάρχει ένα ισχυρό επιχείρημα οτι η αριθμητική του παλιού βαβυλωνιακού στυλ είναι πολύ πιο περίπλοκη από αυτή της τρέχουσας χρήσης.
Η ερμηνεία της Plimpton 322 ήταν η πηγή διαμάχης για πολλά χρόνια μετά που οριστικοποιήθηκε η σημασία της στο πλαίσιο των Πυθαγόρειων τριγώνων. Στο ιστορικό πλαίσιο, προβλήματα κληρονομικότητας που συμπεριλαμβάνουν την ισότητα περιοχής της υποδιαίρεσης τριγωνικών και τραπεζοειδών πεδίων (με ακέραιες πλευρές μήκους) να μετατράπηκαν γρήγορα στην ανάγκη να υπολογιστεί η τετραγωνική ρίζα του 2, ή να λυθεί η «Πυθαγόρεια εξίσωση" στους ακέραιους αριθμούς.
Αντί να εξετάζουμε ένα τετράγωνο ως το άθροισμα των δύο τετραγώνων, μπορούμε να θεωρήσουμε ισοδύναμα ένα τετράγωνο ως τη διαφορά των δύο τετραγώνων. Έστω a, b και c είναι ακέραιοι που σχηματίζουν μια πυθαγόρεια τριάδα: α ^ 2 + β ^ 2 = c ^ 2. Στη συνέχεια, γ ^ 2 - α ^ 2 = β ^ 2, και χρησιμοποιώντας την επέκταση για τη διαφορά των δύο τετραγώνων έχουμε (γα) (γ + α) = β ^ 2. Διαιρώντας με β ^ 2, γίνεται το γινόμενο δύο ρητών αριθμών και δίνει 1: (γ / β - α / β) (γ / β + α / β) = 1. Χρειαζόμαστε δύο ρητούς αριθμούς που είναι αντίστροφοι και οι οποίοι είναι διάφοροι από 2 (α / β). Αυτό λύνεται εύκολα χρησιμοποιώντας πίνακα με τα αμοιβαία ζεύγη. Π.χ., (1/2) (2) = 1 είναι ένα αμοιβαίο ζεύγος που διαφέρουν κατά 3/2 = 2 (a / b) Έτσι, a / b = 3/4, δίνοντας α = 3, b = 4 και έτσι c = 5.
Οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης έτσι κατασκευάζονται επιλέγοντας ένα λογικό αριθμό x, από την οποία τα Πυθαγόρεια-τρίκλινα είναι 2x, x ^ 2-1, x ^ 2 + 1. Οι άλλες τριάδες γίνονται από την κλιμάκωση αυτών με έναν ακέραιο (η ακέραιη κλιμάκωση είναι το ήμισυ της διαφοράς μεταξύ της μεγαλύτερης και μιάς άλλης πλευράς). Όλες οι Πυθαγόρειες τριάδες προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο, και τα παραδείγματα που παρέχονται σε Plimpton 322 περιλαμβάνει μερικούς πολύ μεγάλους αριθμούς, από τα σύγχρονα πρότυπα, όπως (4601, 4800, 6649) σε δεκαδική μορφή.
Αιγυπτιακά μαθηματικά
Εικόνα από το πρόβλημα 14 του Πάπυρου της Μόσχας. Το πρόβλημα περιλαμβάνει ένα διάγραμμα που δείχνει τις διαστάσεις της κόλουρου πυραμίδας.
Ο όρος Αιγυπτιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που γράφτηκαν στην Αιγυπτιακή γλώσσα. Από την ελληνιστική περίοδο, τα Ελληνικά αντικατέστησαν τα Αιγυπτιακά ως γλώσσα που χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι επιστήμονες. Η μαθηματική μελέτη στην Αίγυπτο συνεχίστηκε αργότερα στο πλαίσιο της Αραβικής Αυτοκρατορίας, ως μέρος των ισλαμικών μαθηματικών, όταν τα Αραβικά έγιναν η γραπτή γλώσσα των αιγυπτιακών μελετητών.
Το εκτενέστερο Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος του Ράιντ (μερικές φορές ονομάζεται επίσης και Πάπυρος του Αχμές, που ήταν ο συγγραφέας του), που χρονολογείται στο 1650 π.Χ., αλλά είναι πιθανότατα αντίγραφο ενός παλαιότερου εγγράφου από τη περίοδο του Μέσου Βασιλείου περίπου το 2000-1800 π.Χ.. Πρόκειται για ένα εγχειρίδιο οδηγιών για μαθητές στην αριθμητική και τη γεωμετρία. Εκτός από την παροχή τύπων εμβαδών και μεθόδων για πολλαπλασιασμό, διαίρεση και εργασία με κλάσματα της μονάδας, περιέχει επίσης στοιχεία άλλων μαθηματικών γνώσεων, συμπεριλαμβανομένων των σύνθετων και πρώτων αριθμών: αριθμητικές, γεωμετρικές και αρμονικές έννοιες· και απλοϊκές κατανοήσεις τόσο του Κόσκινου του Ερατοσθένη όσο και τέλειας θεωρίας αριθμών (συγκεκριμένα του αριθμού 6). Επίσης, δείχνει πώς να λύσει κάποιος πρώτης τάξης γραμμικές εξισώσεις, καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές.
Άλλο ένα σημαντικό Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, επίσης από τη περίοδο του Μέσου Βασίλειου, και χρονολογείται το περίπου το 1890 π.Χ.. Αποτελείται από αυτά που σήμερα αποκαλούμε προβλήματα, τα οποία προφανώς προορίζονταν για ψυχαγωγία. Ένα πρόβλημα θεωρείται ότι είναι ιδιαίτερης σημασίας, επειδή δίνει μία μέθοδο για την εύρεση του όγκου κόλουρου. "Σας λένε ότι μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, μήκος 4 στη βάση και 2 στην κορυφή. Υψώνετε το 4 στο τετράγωνο, αποτέλεσμα 16. Διπλασιάζετε το 4 αποτέλεσμα 8. Υψώνετε στο τετράγωνο αυτό το 2, αποτέλεσμα 4. Προσθέτετε το 16 και το 8 και το 4, αποτέλεσμα 28. Παίρνετε το 1/3 του 6, αποτέλεσμα 2. Παίρνετε το 28 2 φορές, αποτέλεσμα 56. Βλέπετε, είναι 56. Θα βρείτε ότι είναι σωστό".
Τέλος, ο Πάπυρος του Βερολίνου (περ. 1300 π.Χ.) δείχνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα μπορούσαν να λύσουν μία δεύτερης τάξης αλγεβρική εξίσωση.
Η πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία ήταν η Υπατία της Αλεξάνδρειας (350 - 415 μ.Χ.). Διαδέχθηκε τον πατέρα της ως Βιβλιοθηκάριος τηε Μεγίστης Βιβλιοθήκης και συνέγραψε μεγάλο έργο πάνω στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Λόγω μίας πολιτικής αντιπαράθεσης, τιμωρήθηκε από την Χριστιανική αδελφότητα της Αλεξάνδρειας, θεωρώντας την ως συνένοχο, μαστιγώνοντας την γυμνή και αφαιρώντας της το δέρμα χρησιμοποιώντας όστρακα (φήμες κάνουν λόγο για κεραμίδια).[35]
Κινεζικά μαθηματικά
Ράβδοι αριθμών
Τα εννέα κεφάλαια της Μαθηματικής τέχνης, ένα από τα παλαιότερα διασωθέντα μαθηματικά κείμενα από Κίνα (2ος αιώνας μ.Χ.).
Τα πρώιμα κινεζικά μαθηματικά διαφέρουν τόσο από άλλα μέρη του κόσμου που είναι εύλογο να συμπεράνει κανείς την ανεξάρτητη ανάπτυξή τους.[36] Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά κέιμενα από την Κίνα είναι το Chou Pei Suan Ching, το οποίο κατά πολλούς χρονολογείται ανάμεσα στο 1200 π.Χ. και στο 100 π.Χ., αν και η χρονολογία κοντά στο 300 π.Χ. μοιάζει να είναι η πιο πιθανή.[37]
Μια ιδιαιτερότητα των Κινεζικών μαθηματικών είναι η χρήση του δεκαδικού συστήματος ταξινόμησης θέσης, οι λεγόμενοι "ράβδοι αριθμών" στους οποίους διαφορετικοί κρυπταλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για τους αριθμούς από το ένα ως το δέκα, και επιπρόσθετα άλλοι κρυπταλγόριθμοι για τις δυνάμεις του δέκα.[38] Έτσι, ο αριθμός 123 θα γράφονταν με τη χρήση του συμβόλου "1", ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για το "100", μετά ένα σύμβολο για το "2" ακολουθούμενο απο ένα σύμβολο για το "10", και τέλος ένα σύμβολο για τον αριθμό "3" ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για τις μονάδες. Αυτό ήταν το πιο προηγμένο σύστημα αρίθμησης-θέσης στον κόσμο μέχρι εκείνη την περίοδο, και μάλιστα αρκετούς αιώνες πριν να διαδοθεί η χρήση του ευρέως, αλλά και πολύ πριν την ανάπτυξη του Ινδικού συστήματος αρίθμησης.[39] Οι ράβδοι αριθμών επιτρέπουν την αναπαράσταση των αριθμών όσο μεγάλοι κι αν είναι αυτοί και επίσης προσφέρονται για την εκτέλεση των υπολογισμών στον κινεζικό άβακα το γνωστό μας αριθμητίρι. Η εποχή που ξεκίνησε η χρήση του Κινέζικου άβακα δεν έχει προσδιοριστεί με ακρίβεια, αλλά οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες αναφέρουν από το 190 μ.Χ., στην Xu Yue's σύμφωνα με το έργο Συμπληρωματικές σημειώσεις για την τέχνη των σχημάτων.
Το παλαιότερο υπαρκτό έργο πάνω στη γεωμετρία βρίσκεται στην Κίνα και προέρχεται από μια φιλοσοφική σχολή Mohist στα λατινικά γνωστοί ως Micius το 330 π.Χ., αποτελούμενη από οπαδούς του Mozi (470–390 π.Χ.). Στο Mo Jing περιγράφονται διάφορες πτυχές που σχετίζονται με πολλούς τομείς της φυσικής επιστήμης, και ακόμα παρέχουν ένα μικρό αριθμό από γεωμετρικά θεωρήματα.[40]
Στο 212 π.Χ., ο αυτοκτάτορας Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) διέταξε όλα τα βιβλία της αυτοκρατορίας Qin να καούν και να επιβληθούν κηρώσεις σε όποιον αντιταχθεί. Αυτή η απόφαση δεν έγινε καθολικά αποδεκτή, αλλά συνέπεια αυτής είναι η μικρή μας γνώση για τα αρχαία κινεζικά μαθηματικά πριν απο αυτή την ημερομηνία. Μετά το κάψιμο των βιβλίων καύση των βιβλίων το 212 π.Χ., η δυναστεία των Χαν (202 π.Χ.–220 μ.Χ.) παρήγαγε μαθηματικό έργο το οποίο πιθανώς επεκτάθηκε σε έργα που έχουν πλέον χαθεί. Το πιο σημαντικό από αυτά είναι τα εννέα κεφάλαια σχετικά με τη μαθηματική τέχνη Τα εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης, ο πλήρης τίτλος του οποίου εμφανίστηκε το 179 μ.Χ., χωρίς όμως να υπάρχει βάσει άλλων προγενέστερων τίτλων. Αποτελείται από 246 λεκτικά προβλήματα που σχετίζονται με τη γεωργία , τις επιχειρήσεις, καθώς και τη χρήση της γεωμετρίας για τον υπολογισμό υψών, ανοιγμάτων και αναλογιών κινεζική Παγόδα στην κατασκευή πύργων,μηχανική, τοπογραφία, και περιλαμβάνει υλικό σχετικά με ορθογώνια τρίγωνα και μια καλή προσέγγιση του αριθμού π.[37] Περιλαμβάνει επίσης μαθηματικές αποδείξεις για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και μαθηματικούς τύπους για την Απαλοιφή Gauss. Ο Liu Hui βασίστηκε στις εργασίες του 3ου μ.Χ. αιώνα, και υπολόγισε το π με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων.[41] Στην πορεία γύρω στον 5ο αιώνα μ.Χ.,αν και πρόκειται περισσότερο για ένα θέμα καθαρά υπολογιστικής αντοχής και λιγότερο θεωρητικής γνώσης ο Zu Chongzhi προσέγγισε το π με ακρίβεια επτά δεκαδικών ψηφίων, η οποία προσέγγιση παρέμεινε ως η πιο ακριβής για τα επόμενα 1000 χρόνια.[41] Επίσης ίδρυσε μια μέθοδο η οπoία στη συνέχεια θα ονομαζόταν Αρχή του Cavaliery για να βρει τον όγκο της σφαίρας.[42]
Το υψηλό επίπεδο των Κινεζικών μαθηματικών εμφανίζεται τον 13ο αιώνα (το τελευταίο μέρος από τη δυναστεία Sung), με την ανάπτυξη της Κινεζικής Άλγεβρας;. Το σημαντικότερο κείμενο από εκείνη την περίοδο είναι η Υψηλή οπτική των τεσσάρων στοιχείων του Chu Shih-chieh (1280-1303), που διαπραγματεύεται την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ανώτερης τάξης, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο ανάλογη εκείνης της μεθόδου Horner.[41] Η πολύτιμη οπτική περιέχει επίσης ένα διάγραμμα από το Τρίγωνο του Pascal με τους συντελεστές της διωνυμικής επέκτασης μέχρι την όγδοη δύναμη , αν και υπάρχουν και άλλα δύο κινεζικά έργα με αντίστοιχο περιεχόμενο, ήδη από το 1100.[43] Οι Κινέζοι έκαναν επίσης χρήση των συνδιαστικών περίπλοκων κυκλωμάτων-διαγραμμάτων γνωστά ως μαγικά τετράγωνα και μαγικοί κύκλοι, περιγράφοντάς τα κατά τους αρχαίους χρόνους και τελικά τελοιοποιώντας τα από τον Yang Hui (1238–1298 μ.Χ.).[43]
Ακόμα και μετά την άνθιση των μαθηματικών στην Ευρώπη κατά την περίοδο της Αναγέννησης, τα ευρωπαϊκά και τα κινεζικά μαθηματικά ήταν ξεχωριστές παραδόσεις, με σημαντική πρόοδο για τα κινεζικά μαθηματικά να σημειώνεται από τα τέλη του 13ου αιώνα και μετά. Ιησουίτες ιεραπόστολοι όπως ο Ματέο Ρίτσι επιχείρησε έναν συγκερασμό,ένα πάντρεμα δηλαδή μεταξύ των δύο μαθηματικών παραδόσεων από τον 16ο έως το 18ο αιώνα, αν και σε αυτό το σημείο περισσότερες μαθηματικές ιδέες εισέρχονται από τα σύνορα της Κίνας παρά αναχωρούν.[43]
Ινδικά μαθηματικά
Κύριο λήμμα: Ινδικά μαθηματικά
Tα νούμερα χρησιμοποιήθηκαν στο χειρόγραφο Bakhshali, χρονολογείται ανάμεσα στο 2ο αιώνα π.Χ. και τον 2ο αιώνα μ.Χ.
Τα αρχικά δείγματα πολιτισμού στην ινδική υποήπειρο είναι ο πολιτισμός της κοιλάδας του Ινδού που άνθισε μεταξύ του 2600 και του 1900 π.Χ. στην λεκάνη του Ινδού ποταμού. Οι πόλεις τους ήταν ορισμένες με γεωμετρική κατανομή, αλλά κανένα μαθηματικό έγγραφο δε διασώζεται από αυτόν τον πολιτισμό.[44]
Οι ινδουιστικό-αραβικοί αριθμοί εφευρέθηκαν από μαθηματικούς στην Ινδία. Τους έλεγαν " ινδουιστικό αριθμούς" . Αργότερα ονομάστηκαν " αραβικοί " αριθμοί από τους Ευρωπαίους , επειδή εισήχθησαν στη Δύση από Άραβες εμπόρους.[80]
Διάφορα σύνολα συμβόλων που χρησιμοποιούνταν για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς στο αριθμητικό σύστημα ινδουιστικό- αραβικό, εξελίχθηκαν από τους αριθμούς Brahmi . Κάθε ένα από τα περίπου δώδεκα σημαντικά σενάρια της Ινδίας έχει το δικό του αριθμό ιερογλυφικών του (όπως κάποιος θα σημείωνε όταν θα περιεργάζονται Unicode διαγράμματα).
Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά αρχεία στην Ινδία είναι από το Σούτρα (και χρονολογούνται μεταξύ του 8ου π.Χ. αιώνα και του 2ου αιώνα μ.Χ.),[45] όπου παραρτήματα σε θρησκευτικά κείμενα δίνουν απλούς κανόνες κατασκευής βωμών διαφόρων σχημάτων, όπως τετράγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα και άλλα.[46] Όπως και με την Αίγυπτο, η ενασχόληση με λειτουργικά θέματα στην κατασκευή ναών δείχνει μια προέλευση των μαθηματικών μέσα από θρησκευτικές τελετουργίες.[45] Τα κείμενα Σούτρας δίνουν μεθόδους για τον τετραγωνισμό του κύκλου,δηλαδή την κατασκευή κύκλου περίπου ισοεμβαδικού ως προς δεδομένο τετράγωνο, οι οποίες συνεπάγονται πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις της αξίας του π.[47][48] Επιπλέον υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια από δύο έως και περισσότερων δεκαδικών ψηφίων, λίστες με Πυθαγόρειες τριάδες, και δίνουν μια πρώτη διατύπωση ανάλογη του Πυθαγόρειου θεωρήματος.[49] Όλα αυτά τα αποτελέσματα βρίσκονται στα βαβυλωνιακά μαθηματικά, έχοντας δεχθεί επιρροή από την περιοχή της Μεσοποταμίας.[45] Δεν είναι όμως γνωστό σε πιο βαθμό οι Sulba Sutras επηρέασαν τα μετέπειτα ινδικά μαθηματικά. Όπως και στην Κίνα, έτσι και στα μαθηματικά της Ινδίας υπάρχει έλλειψη συνέχειας: μεγάλες πρόοδοι διαδέχονται από μεγάλες περιόδους αδράνειας.[45]
Panini (5ος αιώνας π.Χ.) διαμόρφωσε κανόνες για τη Σανσκριτική γραμματεία.[50] Ο συμβολισμός τους ήταν παρόμοιος με τη σύγχρονη μαθηματική σημειογραφεία, καθώς επίσης χρησιμοποιούνται, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, και αναδρομικοί τύποι.Ο Πινγκάλα (περίπου 3ος-1ος αιώνας π.Χ.) στην πραγματεία του προσωδεία χρησιμοποιεί μια συσκευή που αντιστοιχεί σε ένα δυαδικό σύστημα αρίθμησης.[51][52] Οι απόψεις του για τη Συνδιαστική και το Μουσικό μέτρο αντιστοιχούν σε μια στοιχειώδη θεώρηση για το διωνυμικό θεώρημα. Το έργο του Πινγκάλα περιλαμβάνει επίσης τις βασικές ιδέες της Ακολουθίας Φιμπονάτσι (που το ονομάζει mātrāmeru .[53]
Τα επόμενα σημαντικά μαθηματικά έγγραφα μετά τη Sulba Sutras είναι η Siddhantas. Πρόκειται για αστρονομικές πραγματείες από τον 4ο και 5ο αιώνα μ.Χ. (περίοδος Γκούπτα) και παρουσιάζει έντονη ελληνιστική επιρροή.[54] Είναι σημαντικό ότι περιέχουν την πρώτη εμφάνιση των τριγωνομετρικών σχέσεων με βάση τη μισή χορδή, όπως συμβαίνει στη σύγχρονη τριγωνομετρία, αντί για την πλήρη χορδή, όπως στην περίπτωση της Πτολεμαϊκής τριγωνομετρίας.[55] Μέσα από μια σειρά μεταφραστικών λαθών, οι λέξεις "ημίτονο" και "συνημίτονο" όπως τις γνωρίζουμε σήμερα, προέρχονται από την σανσκριτική "jiya" και "kojiya" αντίστοιχα.[55]
Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ., ο Αριαμπάτα έγραψε το Αριαμπατίγια, ένα μικρό σε όγκο και γραμμένο σε στίχους έργο, στο οποίο αναφέρονται κανόνες υπολογισμού που χρησιμοποιούνται στην αστρονομία και τα μαθηματικά, χωρίς όμως καμία χρήση της λογικής και της επαγωγικής μεθόδου.[56] Αν και οι μισές περίπου από τις πράξεις και τους υπολογισμούς είναι λάθος, η αξία του έργου Αριαμπατίγια έγκειτε στο ότι το δεκαδικό σύστημα θέσης και αξίας εμφανίζεται για πρώτη φορά. Αρκετούς αιώνες αργότερα, ο Αμπού Ριχάν Μπιρουνί χαρακτήρισε το Αριμπατίγια σαν ένα "μείγμα από κοινά βότσαλα και πολύτιμα κρύσταλλα".[57]
Τον 7ο αιώνα, οι Ινδοί Βράχμα προσδιόρισαν το γνωστό θεώρημα των Βράχμα,χρησιμοποιώντας μαθηματικές ταυτότητες και μαθηματικούς τύπους, και επίσης για πρώτη φορά στο έργο τους, που σε ελληνική μετάφραση σημαίνει: σωστά δομημένο δόγμα Βράχμα, με καθαρότητα προσδιορίζονται και χρησιμοποιούνται το μηδέν τόσο ως σύμβολο κράτησης θέσης όσο και ως δεκαδικό ψηφίο, και εισάγεται η χρήση του ινδοαραβικού συστήματος αρίθμησης.[58] Από τη μετάφραση του ινδικού κειμένου για τα μαθηματικά προέκυψε ότι οι ισλαμιστές μαθηματικοί εισήγαγαν αυτό το σύστημα αρίθμησης, το οποίο προσαρμόστηκε στους αραβικούς αριθμούς. Ισλαμικοί μελετητές υποστηρίζουν ότι η μετάδοση της γνώσης του αριθμητικού αυτού συστήματος έγινε στην Ευρώπη το 12ο αιώνα, εκτοπίζοντας όλα τα άλλα αριθμητικά συστήματα ανά τον κόσμο . Τον 10ο αιώνα, σχολιαστές του έργου του μαθηματικού Halayudha και του Πιγκάλα διαπίστωσαν στοιχεία ανάλογα με εκείνα της Ακολουθίας Φιμπονάτσι του τριγώνου του Πασκάλ, και του σχηματισμού πινάκων.
Το 12ο αιώνα, ο μαθηματικός Bhaskara ΙΙ[59] ζούσε στη νότια Ινδία και έγραψε εκτενώς για όλους τους μέχρι τότε γνωστούς κλάδους των μαθηματικών. Η εργασία του περιλαμβάνει μαθηματικά αντικείμενα ισοδύναμα, ή περίπου ισοδύναμα με τα απειροστικά, τα παράγωγα, το Θεώρημα μέσης τιμής και τον υπολογισμό της παραγώγου του ημιτόνου. Σε ποιο βαθμό είχει προβλέψει την εφεύρεση του λογισμού είναι ένα αμφιλεγόμενο θέμα μεταξύ των ιστορικών των μαθηματικών.[60]
Επεξήγηση του κανόνα του ημιτόνου στο Το πρώτο βιβλίο λογισμού: Yuktibhāṣā.
Το 14ο αιώνα, ο Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα, ιδρυτής της λεγόμενης Σχολής αστρονομίας και μαθηματικών Κεράλα, βρήκε τη σειρά Μαντάβα–Leibniz και χρησιμοποιώντας 21 όρους, υπολόγισε την τιμή του π ως 3.14159265359. Ο Μαντάβα επινόησε επίσης τις Μαντάβα-Γρηγόριες σειρές προκειμένου να υπολογίσει το τόξο της εφαπτομένης, και τις δυναμοσειρές Μαντάβα για να καθορίσει το ημίτονο και το συνημίτονο και την προσέγγιση του Taylor.[61] Τον 16ο αιώνα, o Jyesthadeva ενοποίησε πολλές από τις εξελίξεις και τα θεωρήματα της Κεράλα σχολής στην Yukti-bhāṣā.[62] Ωστόσο, η σχολή της Κεράλα δεν διατύπωσε μια συστηματική θεωρία για την παραγώγιση και την ολοκλήρωση, ούτε υπάρχει οποιαδήποτε άμεση απόδειξη των αποτελεσμάτων τους .[63][64][65] [66] Η πρόοδος στα μαθηματικά μαζί με άλλους τομείς της επιστήμης παραμένει στάσιμη στην Ινδία, με την εγκαθίδρυση της μουσουλμανικής κυριαρχίας στην Ινδία.[67][68]
Ισλαμικά μαθηματικά[edit]
Η Ισλαμική Αυτοκρατορία εδραιώθει σε ολόκληρη την Περσία, Μέση Ανατολή, Κεντρική Ασία, Βόρεια Αφρική, Ιβηρική Χερσόνησο, και τον 8ο αιώνα σε μέρη της Ινδίας πραγματοποίησε σημαντικές συνεισφορές στο κλάδο των Μαθηματικών. Παρόλα αυτά ένα μεγάλο μέρος των Ισλαμικών μαθηματικών κειμένων είναι γραμμένο στα Αραβικά,όπου τα περισσότερα από αυτά δεν είναι γραμμένα από Άραβες μελετητές σε όλο τον Ισλαμικό κόσμο την εποχή εκείνη,το οποίο μοιάζει πολύ στην ελληνική κατάσταση που επικρατούσε εκείνη την περίοδο στον Ελληνικό Κόσμο. Οι Πέρσες συνέβαλαν στον κόσμο των Μαθηματικών παράλληλα με τους Άραβες.
Τον 9ο αιώνα, ο Πέρσης μαθηματικός Μοχάμεντ Ιμπν Μουσά Αλ Χουαρίζμι έγραψε αρκετά σημαντικά βιβλία για τα Ινδουιστικά-Αραβικά νούμερα και για την μέθοδο επίλυσης εξισώσεων. Το βιβλίο του On the Calculation with Hindu Numerals, γράφτηκε περίπου το 825, παράλληλα με την δουλεία του Αλ-Κίντι, έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη διάδοση των Ινδικών Μαθηματικών και Ινδικών αριθμών στη Δύση. Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από την λατινική λέξη, Algoritmi, και η λέξη άλγεβρα από τον τίτλο ενός από τα έργα του , Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing). Έδωσε μια ακριβέστατη εξήγηση για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με θετικές ρίζες,[69] και ήταν ο πρώτος που δίδαξε άλγεβρα με στοιχειώδης μορφή και για τους δικούς του λόγους. .[70] Επίσης,ασχολήθηκε με την θεμελιώδης μέθοδο της "αναγωγής" και "υπόλοιπο", αναφερόμενος στην μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης , έτσι ώστε, την διαγραφή των όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξισώσεις. Αυτή είναι η λειτουργία την οποία ο al-Khwārizmī περιέγραψε ως al-jabr.[71] Η Άλγεβρα του δεν ασχολείται από δω και πέρα "με σειρές προβλημάτων που χρειάζονται λύση,αλλά μια έκθεση η οποία αρχίζει με βασικούς όρους όπου ο συνδυασμός τους θα πρέπει να δίνει όλες τις πιθανές λύσεις για την εξίσωση,η οποία αποτελεί το ακριβές μοντέλο της μελέτης." Επιπλέον μελετάει μια εξίσωση για δικό του σκοπό και "κατά γενικό τρόπο, σε τέτοιο βαθμό έτσι ώστε να μην προκύπτει απλά κατά την διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά καλείται να προσδιορίσει μια άπειρη τάξη προβλημάτων"[72]
Στην Αίγυπτο, ο Αμπού Καμίλ επέκτεινε την άλγεβρα στο σύνολο των άρρητων αριθμών , την αποδοχή των τετραγωνικών ριζών και των τέταρτων ριζών ως τις λύσεις και τους συντελεστές με τετραγωνικές εξισώσεις. Ανέπτυξε επίσης τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των τριών μη γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστες μεταβλητές. Ένα μοναδικό χαρακτηριστικό των έργων του, είναι ότι προσπαθεί να βρει όλες τις πιθανές λύσεις για ορισμένα από τα προβλήματά του, συμπεριλαμβανομένου ενός όπου βρήκε 2676 λύσεις. Τα έργα του διαμόρφωσαν μια σημαντική βάση για την ανάπτυξη της άλγεβρας και επηρέασαν αργότερα μαθηματικούς , όπως ο Αl - Karaji και ο Fibonacci .
Περισσότερες βελτιώσεις στον τομέα της άλγεβρας πραγματοποιήθηκαν από τον Al-Karaji στην διατριβή του al-Fakhri, όπου ανέλυσε την μεθοδολογία του ενσωμάτωσης δυνάμεων ακέραιων αριθμών και ριζών ακέραιων αριθμών σε μια άγνωστη ποσότητα.Γύρω στο 1000 μ.Χ, σε ένα βιβλίο του Al-Karaji υπάρχει περίπου μια απόδειξη με μαθηματική επαγωγή,ο οποίος την χρησιμοποίησε για να αποδείξει το διωνυμικό θεώρημα,το τρίγωνο του Pascal και το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των κύβων.[73] Ο ιστορικός των μαθηματικών,F. Woepcke,[74] παίνευσε τον Al-Karaji σχετικά με το γεγονός ότι ήταν ''ο πρώτος που εισήγαγε την θεωρία του αλγεβρικού λογισμού.''Επίσης τον 10ο αιώνα, Abul Wafa μετέφρασε την δουλεία του Διόφαντου στα Αραβικά. Ibn al-Haytham ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εξήγαγε τον τύπο του αθροίσματος τέταρτης δύναμης,χρησιμοποιώντας μια μέθοδο οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί γενικά για το άθροισμα οποιασδήποτε ακέραιας δύναμης.Χρησιμοποίησε την μέθοδο της ολοκλήρωσης για να υπολογίσει τον όγκο μιας παραβολής και ήταν ικανός να γενικέψει το αποτέλεσμά του αυτό για την ολοκλήρωση πολυωνύμων μεγαλύτερα από τετάρτου βαθμού. Έφτασε πολύ κοντά στο να ανακαλύψει έναν γενικό τύπο για την ολοκλήρωση πολυωνύμων αλλά δεν ασχολήθηκε με πολυώνυμα μεγαλύτερα του τέταρτου βαθμού.[75]
Στο τέλος του 11ου αιώνα, ο Ομάρ Καγιάμ έγραψε το Συζητήσεις των δυσκολιών στον Ευκλείδη, ένα βιβλίο σχετικά με τα ελαττώματα που αντιλήφθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη, και ιδιαίτερα στο αξίωμα των παράλληλων ευθειών. Ήταν επίσης ο πρώτος που βρήκε την γενική γεωμετρική λύση στην κυβική εξίσωση. Επίσης άσκησε μεγάλη επιρροή και στην ημερολογιακή μεταρρύθμιση.[εκκρεμεί παραπομπή]
Τον 13ο αιώνα, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin)πραγματοποίησε βελτιώσεις στην σφαιρική τριγωνομετρία .Επίσης πρόσθεσε μια σημαντική δουλειά σχετικά με το αξίωμα των παράλληλων ευθειών του Ευκλείδη.Τον 15ο αιώνα, Ghiyath al-Kashi υπολόγισε την τιμή τουπ μέχρι το 16ο δεκαδικό ψηφίο.Ο Kashi επίσης είχε έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολόγιζε την ν-οστή ρίζα,ο οποίος ήταν μια ειδική περίπτωση των μεθόδων που ανακάλυψαν αιώνες αργότερα ο Ruffini and Horner.
Άλλα επιτεύγματα των Μουσουλμανικών Μαθηματικών κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η σημειογραφία της υποδιαστολής στους Αραβικούς αριθμούς, η ανακάλυψη σύγχρονων τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκτός από τις ημιτονοειδής,η εισαγωγή του al-Kindi's στην κρυπτανάλυση και στις ανάλυση συχνοτήτων, η βελτίωση της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Ibn al-Haytham, το ξεκίνημα της αλγεβρικής γεωμετρίας από τον Ομάρ Καγιάμ και η βελτίωση μιας αλγεβρικής σημειογραφίας από τον al-Qalasādī.[76]
Κατά την διάρκεια της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας και την δυναστεία των Σαφαβίδων από τον 15ο αιώνα,την ανάπτυξη των Ισλαμικών μαθηματικών διαδέχθηκε η στασιμότητα.
Μεσαιωνικά Ευρωπαϊκά μαθηματικά
Το ενδιαφέρον των Μεσαιωνικών Ευρωπαίων στα μαθηματικά οδηγήθηκε από το ενδιαφέρον για κάτι διαφορετικό από τα σύγχρονα μαθηματικά. Ένα καθοριστικό στοιχείο ήταν η πεποίθηση ότι τα μαθηματικά προμηθεύουν το κλειδί για να καταλάβει κανείς την δύναμη της φύσης,αυτό συχνά τεκμηριώνεται από τον Τίμαιο του Πλάτωνα και το βιβλικό απόσπασμα ( στο Book of Wisdom) όπου ο Θεός είχε διατάξει όλα τα πράματα στο πλαίσιο του μέτρου, καθώς και τον αριθμό και το βάρος.[77]
Ο Βοήθιος παρείχε ένα μέρος για τα μαθηματικά στο πρόγραμμα σπουδών τον 6ο αιώνα όταν επινόησε τον όρο quadrivium για να περιγράψει την μελέτη της αριθμητικής, γεωμετρίας,αστρονομίας και μουσικής. Έγραψε το De institutione arithmetica,σε ελεύθερη μετάφραση από την ελληνική γλώσσα από τον Νικόμαχο την Εισαγωγή στην Αριθμητική, De institutione musica, το οποίο επίσης προέρχεται από την ελληνική πηγή, και μια σειρά από αποσπάσματα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Η δουλεία του ήταν θεωρητική,παρά πρακτική, και ήταν η βάση των μαθηματικών σπουδών μέχρι την ανάκτηση των Ελληνικών και Αραβικών μαθηματικών ερευνών.[78][79]
Τον 12ο αιώνα, Ευρωπαίοι μελετητές ταξίδεψαν στην Ισπανία και στη Σικελία αναζητώντας επιστημονικά Αραβικά κείμενα, περιλαμβάνοντας το Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και Απλοποίηση, του al-Khwārizmī, το οποίο μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Ρόμπερτ του Τσέστερ, και ολόκληρο το κείμενο από τα Στοιχεία του Ευκλείδη,το οποίο μεταφράστηκε σε πολλές εκδοχές από τους Αβελάρδο του Μπαθ, Herman of Carinthia, και Γεράρδο της Κρεμόνα.[80][81]
Αυτές οι νέες πηγές πυροδότησαν μια ανανέωση στο κλάδο των μαθηματικών.Ο Φιμπονάτσι,γραπτώς στο Liber Abaci, το 1202 και εκσυχρονίστηκε το 1254, παρήγαγε τα πρώτα σημαντικά μαθηματικά στην Ευρώπη,δεδομένου την εποχή του Ερατοσθένη, ένα κενό πάνω από χιλιάδες χρόνια. Η έρευνα εισήγαγε τους αριθμούς Hindu-Arabic στην Ευρώπη και συζητήθηκαν αρκετά μαθηματικά προβλήματα.
Τον 14ο αιώνα έγινε εμφανής η εξέλιξη των καινούργιων ιδεών στο να διερευνάται ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων.[82] Μια σημαντική συμβολή ήταν η εξέλιξη των μαθηματικών του τοπικού κινήματος.
Ο Thomas Bradwardine πρότεινε ότι η ταχύτητα (V) αυξάνεται σε αριθμητική αναλογία όπως ο λόγος της δύναμης (F) με την αντίσταση (R) αυξάνει σε γεωμετρική αναλογία. Ο Bradwardine εξέφρασε αυτό με μία σειρά από συγκεκριμένα παραδείγματα, αλλά παρόλο που ο λογάριθμος δεν είχε σχεδιαστεί ακόμα, μπορούμε να εκφράσουμε το συμπέρασμα αναχρονιστικά γράφοντας: V = log(F/R).[83] Η ανάλυση του Bradwardine είναι ένα παράδειγμα μεταφοράς της μαθηματικής τεχνικής που χρησιμοποιήθηκε από τον Αλ-Κίντι και τον Arnald of Villanova για να ποσοτικοποιηθεί η φύση της ένωσης φαρμάκων σε ένα διαφορετικό πρόβλημα.[84]
Ένας από τους μαθηματικούς του 14ου αιώνα, ο William Heytesbury, ελλείψει διαφορικού λογισμού και της έννοιας των ορίων, πρότεινε να μετρηθεί η στιγμιαία ταχύτητα «από το μονοπάτι που θα περιγράφεται από (ένα σώμα), αν... μεταφερόταν ομοιόμορφα στο ίδιο επίπεδο ταχύτητας με την οποία κινείτο σε εκείνη τη χρονική στιγμή».[85]
Ο Heytesbury και άλλοι καθόρισαν μαθηματικά την απόσταση που καλύπτει ένα σώμα το οποίο υπόκειται σε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (σήμερα: ενσωμάτωση), δηλώντας ότι: «ένα κινούμενο σώμα, το οποίο αφομοιώνει ή χάνει αυτή την αύξηση (της ταχύτητας), θα διασχισει σε μια δεδομένη χρονική στιγμή μία απόσταση εντελώς ίση με εκείνη που θα διέσχιζε αν κινείτο συνεχώς μέσα από την ίδια φορά με τη μέση ταχύτητα.[86]
Ο Nicole Oresme στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού και ο Ιταλός Giovanni di Casali περιείχαν, ο καθένας ξεχωριστά, γραφικές παραστάσεις αυτής της σχέσης, υποστηρίζοντας ότι η περιοχή κάτω από τη γραμμή που απεικονίζει τη σταθερή επιτάχυνση, συμβολίζει τη συνολική απόσταση που διανύθηκε.[87] Σε μία μεταγενέστερη μαθηματική ερμηνεία στα «Στοιχεία του Ευκλείδη», ο Oresime έκανε μία πιο λεπτομερή γενική ανάλυση στην οποία έδειξε ότι ένα σώμα θα αποκτήσει σε κάθε διαδοχική αύξηση του χρόνου μία προσαύξηση για κάθε ιδιότητα που αυξάνει όπως οι μονοί αριθμοί. Από τότε που ο Ευκλείδης απέδειξε ότι το άθροισμα που αποκτήθηκε από το σώμα αυξάνεται όπως το τετράγωνο του χρόνου.[88]
Αναγεννησιακά Μαθηματικά
Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η ανάπτυξη των μαθηματικών και της λογιστικής ήταν συνυφασμένη.[89] Ενώ δεν υπάρχει άμεση σχέση ανάμεσα στην άλγεβρα και στην λογιστική, η διδασκαλία των θεμάτων και των βιβλίων που δημοσιεύονταν συχνά προορίζονταν για παιδιά εμπόρων που στέλνονταν σε reckoning schools (στη Φλάνδρα και στη Γερμανία) ή σε abacus schools (γνωστά στην Ιταλία ως abbaco), όπου μάθαιναν δεξιότητες χρήσιμες για το εμπόριο και τις συναλλαγές. Πιθανώς, δεν υπάρχει ανάγκη στην άλγεβρα για την εκτέλεση πράξεων λογιστικής, αλλά για πολύπλοκες πράξεις στο παζάρι ή για τον υπολογισμό των σύνθετων τόκων, μία βασική γνώση της αριθμητικής που ήταν υποχρεωτική και η γνώση της άλγεβρας ήταν πολύ χρήσιμη.
Η επανεξέταση της Αριθμητικής, Γεωμετρικής, Λόγοι και Αναλογίες του Luca Pacioli (Luca Pacioli's Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalitẚ, italian "αναθεώρηση της Αριθμητικής, Γεωμετρίας, Λόγου και Αναλογίας") τυπώθηκε για πρώτη φορά και δημοσιεύτηκε στη Βενετία το 1494. Περιελάμβανε μία πραγματεία 27 σελίδων σχετικά με την τήρηση βιβλίων, "Στοιχεία Υπολογισμού και Καταγραφής" ("Particularis de Computis et Scripturis", Italian: "Details of Calculation and Recording"). Γράφτηκε αρχικά και πωλήθηκε κυρίως σε εμπόρους που χρησιμοποιούσαν το βιβλίο ως κείμενο αναφοράς, ως μία πηγή ευχαρίστησης από τους μαθηματικούς γρίφους που περιείχε και για να βοηθήσει στη εκπαίδευση των γιων τους.[90] Στην "Summa Arithmetica" ο Pacioli εισάγει τα σύμβολα συν και πλην για πρώτη φορά σε εκτυπωμένο βιβλίο, σύμβολα που έγιναν τα βασικά στα Ιταλικά Αναγεννησιακά Μαθηματικά. Η "Summa Arithmetica" ήταν επίσης το πρώτο γνωστό βιβλίο που τυπώθηκε στην Ιταλία για να περιέχει άλγεβρα. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο ίδιος ο Pacioli είχε δανειστεί ένα μεγάλο μέρος του έργου του Πιέρο ντέλλα Φραντσέσκα τον οποίο αντέγραψε.
Στην Ιταλία, κατά το πρώτο μισό του 16ου αιώνα, οι Scipione del Ferro κα Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια ανακάλυψαν λύσεις για τις κυβικές εξισώσεις. Ο Τζερόλαμο Καρντάνο τις δημοσίευσε το 1545 στο βιβλίο του 'Ars Magna', μαζί με μια λύση για τις εξισώσεις τετάρτου βαθμού, που ανακλήθηκαν από τον μαθητή του Λοντοβίκο Φεράρι. Το 1572 ο Ραφαέλ Μπομπέλι δημοσίευσε το 'L'Algebra' στο οποίο έδειξε πώς να αντιμετωπιστούν οι φανταστικοί αρθιμοί που θα μπορούσαν να εμφανιστούν στο τύπο για την επίλυση κυβικών εξισώσεων του Καρντάνο.
Το βιβλίο του Simon Steven De Thiende ('the art of tenths'), που δημοσιεύτηκε πρώτη φορά στα ολλανδικά το 1585, περιείχε την πρώτη συστηματική επεξεργασία της δεκαδικής μορφής, η οποία επηρέασε όλες τις μεταγενέστερες εργασίες για το σύστημα των πραγματικών αριθμών.
Οδηγούμενη από τις απαιτήσεις της ναυσιπλοΐας και την αυξανόμενη ανάγκη για ακριβείς χάρτες μεγάλων περιοχών, η τριγωνομετρία εξελίχθηκε σε ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών. Ο Bartholomaeus Pitiscus ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη δημοσιεύοντας την 'Trigonometria' του το 1595. Ο πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων του Regiomontanus δημοσιεύθηκε το 1533.[91]
Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η επιθυμία των καλλιτεχνών να παρουσιάσουν το φυσικό κόσμο ρεαλιστικά σε συνδυασμό με την εκ νέου ανακάλυψη της φιλοσοφίας των Ελλήνων, όδήγησε τους καλλιτέχνες να μελετήσουν μαθηματικά. Επίσης, οι μηχανικοί και οι αρχιτέκτονες της εποχής χρειάζονταν τα μαθηματικά σε κάθε περίπτωση. Η τέχνη της ζωγραφικής με προοπτική και οι εξελίξεις στη γεωμετρία που εμπλέκονται μελετήθηκαν εντατικά.[92]
Τα Μαθηματικά κατα την διάρκεια της Επιστημονικής Επανάστασης
17ο Αιώνας.
O[νεκρός σύνδεσμος] Γκ.-Β. Λάιμπνιτς.
Τον 17 αιώνα υπήρξε μια πρωτοφανής έκρηξη μαθηματικών και επιστημονικών ιδεών σε όλη την Ευρώπη. Ο Γαλιλαίος παρατήρησε την τροχιά των δορυφόρων του Δία , χρησιμοποιώντας ένα τηλεσκόπιο βασισμένο σε ένα παιχνίδι από την Ολλανδία. Ο Tycho Brahe μάζεψε μια τεράστια ποσότητα μαθηματικών δεδομένων εξηγώντας τις θέσεις των πλανητών στον ουρανό. Ο Johannes Kepler βοηθός του Brahe ήταν ο πρώτος που εκτέθηκε και ασχολήθηκε με την σοβαρά με το θέμα της κίνησης των πλανητών. Οι υπολογισμοί του Kepler έγιναν απλούστεροι από την ταυτόχρονη εφεύρεση των αλγορίθμων από τους John Napier και Jost Burgi. Ο Kepler έγινε επιτυχημένος στους νόμους εφαρμοσμένων μαθηματικών στην κίνηση των πλανητών. Η αναλυτική γεωμετρία που αναπτύχθηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ (1596–1650) έδωσε την δυνατότητα ώστε να απεικονιστούν οι θέσεις σε γράφημα, στις Καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο Simon Stevin δημιούργησε την βάση της σύγχρονης δεκαδικής μορφής ικανή να περιγράψει όλους τους αριθμούς,είτε ρητούς είτε άρρητους.
Με βάση προηγούμενες εργασίες από πολλούς προκατόχους του, ο Ισαάκ Νεύτων ανακάλυψε τους νόμους της φυσικής εξηγώντας τους νόμους του Kepler και συγκέντρωσε όλες τις ιδέες γνωστές ως λογισμός. Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς ο οποίος θεωρείται ένας από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του 17ου αιώνα, οποίος ανέπτυξε τον λογισμό o οποίος χρησιμοποιείται και σήμερα. Επιστήμη και μαθηματικά είχαν γίνει διεθνή εγχείρημα το οποίο θα διαδοθούν σε όλο τον κόσμο.
Επιπλέον τα εφαρμοσμένα μαθηματικά άρχισαν να επεκτείνονται σε νέες περιοχές,με την βοήθεια από τους Pierre de Fermat και Μπλεζ Πασκάλ . Ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Fermat έθεσαν τα θεμέλια για την έρευνα της θεωρίας πιθανοτήτων και τους αντίστοιχους νόμους της συνδυαστικής σε ένα παιχνίδι σε ένα τυχερό παιχνίδι. Ο Pascal μέσω ενός στοιχήματος προσπάθησε να χρησιμοποιήσει μία νέα θεωρία πιθανοτήτων, υποστηρίζοντας μια ζωή αφιερωμένη στην θρησκεία με την δικαιολογία ότι αν και η πιθανότητα επιτυχίας είναι μικρή ανταμοιβή θα είναι τεράστια.Με κάποια έννοια, αυτή προαναγγέλλει την ανάπτυξη της θεωρίας χρησιμότητας στο 18ο του 19ο αιώνα.
18ος αιώνας.
Ο σημαντικότερος Μαθηματικός που επηρέασε τον 18ο αιώνα είναι αναμφισβήτητα ο Λέοναρντ Όιλερ . Οι συνεισφορές του κυμαίνονται από την ίδρυση της μελέτη της θεωρίας γραφημάτων με το πρόβλημα με τις Επτά Γέφυρες του Königsberg και φτάνει στην τυποποίηση των σύγχρονων μαθηματικών όρων και συμβόλων. Για παράδειγμα, ονόμασε την Τετραγωνική ρίζα του μείον 1 με το σύμβολο i, και διέδωσε την χρήση του ελληνικού γράμματος Π για την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Επίσης έκανε πολυάριθμες συμβολές στη μελέτη της τοπολογίας, θεωρία γραφημάτων, λογισμός, Συνδυαστική, και σύνθετη ανάλυση, όπως αποδεικνύεται από το πλήθος των θεωρημάτων και των συμβολισμών που πήραν και το όνομά του.
Άλλοι σημαντικοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί του 18ου αιώνα είναι οι Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, ο οποίος έκανε πρωτοποριακή εργασία στην θεωρία αριθμών, άλγεβρα, διαφορικό λογισμό, και στον λογισμό των μεταβολών, και ο Πιέρ Σιμόν Λαπλάς που, στην εποχή του Ναπολέοντα, έκανε σημαντική δουλειά πάνω στην βάση της Στατιστική.
Σύγχρονα Μαθηματικά
19ος Αιώνας
O[νεκρός σύνδεσμος] Εβαρίστ Γκαλουά.
Κατά την διάρκεια του 19ου αιώνα τα μαθηματικά έγιναν όλο και περισσότερα αφηρημένα. Τον 19ο αιώνα έζησε ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777–1855). Αφήνοντας κατά μέρος τις πάρα πολλές συνεισφορές του στην επιστήμη την Θεωρητικών Μαθηματικών είναι γνωστός για το επαναστατικό του έργο πάνω στις λειτουργίες πάνω πολύπλοκες μεταβλητές, στην γεωμετρία και στην σύγκλιση σειρών. Επίσης έδωσε τις πρώτες ικανοποιητικές αποδείξεις στο θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας και του τετραγωνικού νόμου αντιστροφής.
Αυτόν τον αιώνα αναπτύχθηκαν δύο από τις μορφές μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπου το αξίωμα της παραλληλίας από την Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν ισχύει. Ο Ρώσος μαθηματικός Nikolai Ivanovich Lobachevsky και ο ανταγωνιστής του, μαθηματικός János Bolyai, ανεξάρτητα ο καθένας όρισε και μελέτησε την Υπερβολική Γεωμετρία, όπου η μοναδικότητα των παραλλήλων ευθειών δεν ισχύει. Σε αυτή την γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο μπορούσε να είναι λιγότερο από 180 °. Η ελλειπτική γεωμετρία αναπτύχθηκε αργότερα τον 19ο αιώνα από τον Γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann, εδώ παράλληλες δεν μπορούν να βρεθούν και ένα τρίγωνο προσθέτωντας τις γωνίες μπορεί να είναι παραπάνω από 180° μοίρες.Ο Riemann ανέπτυξε επίσης την Riemann θεωρία , η οποία ενοποιεί και γενικεύει τους τρεις τύπους γεωμετρίας, και ορίζει την έννοια της πολλαπλότητας, η οποία γενικεύει τις ιδέες των καμπυλών και επιφανειών.
Ο 19ος αιώνας είδε την αρχή πολλών αφηρημένων μορφών άλγεβρας. Ο Hermann Grassmann από την Γερμανία ήταν ο πρώτος που έδωσε μία πρώτη εκδοχή των διανυσματικών χώρων. Ο William Rowan Hamilton από την Ιρλανδία ανέπτυξε μία αντιμεταθετική άλγεβρα.Ο George Boole επινόησε μία άλγεβρα η οποία στην συνέχεια εξελίχθηκε σε μία άλγεβρα Boolean, η οποία είχε μόνο τους αριθμούς 0 και 1. Η συγκεκριμένη άλγεβρα ήταν η αφετηρία της μαθηματικής λογικής και έχει σημαντικές εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών.
Ο Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann, και Karl Weierstrass αναδιατύπωσαν τον λογισμό σε έναν πιο αυστηρό τρόπο.
Επίσης, για πρώτη φορά, τα όρια των μαθηματικών ερευνήθηκαν. Ο Niles Henrik Abel, από την Νορβηγία και ο Εβαρίστ Γκαλουά (Evariste Galois), από την Γαλλία, απέδειξαν ότι δεν υπάρχει γενική αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από τέσσερα (Abel–Ruffini theorem). Άλλοι μαθηματικοί του 19ου αιώνα, χρησιμοποίησαν αυτήν την απόδειξη και έδειξαν ότι η χρήση χάρακα και διαβήτη δεν είναι αρκετή για να διαιρεθεί στα τρία μια αυθαίρετη γωνία,να καταστασκευαστεί μία πλευρά του κύβου από το διπλάσιο του όγκου ενός δεδομένου κύβου, ούτε να κατασκευάσει ένα τετράγωνο ίσο σε έκταση με δεδομένο κύκλο. Οι μαθηματικοί είχαν μάταια προσπαθήσει να λύσουν όλα αυτά τα προβλήματα από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων. Από την άλλη πλευρά, ο περιορισμός των τριών διαστάσεων στη γεωμετρία ξεπεράστηκε κατά τον 19ο αιώνα, μέσω εκτιμήσεων του χώρου των παραμέτρων και των hypercomplex αριθμών.
Ο Abel και ο Galois,μέσω των ερευνών, βρίσκοντας λύσεις σε διάφορες πολυωνυμικές εξισώσεις, έθεσαν τις βάσεις για την περαιτέρω εξέλιξη της θεωρίας ομάδων και των τομέων σε σχέση με την αφηρημένη άλγεβρα. Κατά τον 20ο αιώνα οι φυσικοί και άλλοι επιστήμονες είχαν δει τη θεωρία της ομάδας ως έναν ιδανικό τρόπο για να σπουδάσουν συμμετρία.
Αργότερα τον 19ο αιώνα , ο George Cantor καθόρισε τα πρώτα θεμέλια της θεωρίας συνόλων, γεγονός που επέτρεψε την αυστηρή αντιμετώπιση της έννοιας του απείρου και είχε γίνει η κοινή γλώσσα όλων σχεδόν των μαθηματικών. Η θεωρία συνόλων του Cantor, και η άνοδος της μαθηματικής λογικής στα χέρια του Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell, και του Whitehead, ξεκίνησε μια πολύχρονη συζήτηση πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών.
Τον 19ο αιώνα ιδρύθηκαν διάφορες μαθηματικές εταιρείες όπως: η Μαθηματική Εταιρεία του Λονδίνου το 1865, η Μαθηματική Εταιρεία της Γαλλίας το 1872, το Circolo Matematico di Palermo το 1884, η Μαθηματική Εταιρεία του Εδιμβούργου το 1883, και η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία 1888. Η πρώτη διεθνής, κοινωνία ειδικού ενδιαφέροντος, η Quaternion Εταιρεία ιδρύθηκε το 1899, στο πλαίσιο ενός φορέα αμφιλεγόμενο.
Το 1897 , ο Hensel εισήγαγε τους εξαρτημένους απο το π αριθμούς (π-adic αριθμούς).
20ος αιώνας
Ο 20ος αιώνας είδε τα μαθηματικά να γίνονται ένα σημαντικό επάγγελμα. Κάθε χρόνο, χιλιάδες νέα διδακτορικά στα μαθηματικά απονεμήθηκαν, και οι θέσεις εργασίας ήταν διαθέσιμες τόσο στη διδασκαλία όσο και στη βιομηχανία. Μια προσπάθεια στον κατάλογο των περιοχών και τις εφαρμογές των μαθηματικών έγινε με την εγκυκλοπαίδεια του Klein.
Σε μια ομιλία 1900 λέξεων στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ καθόρισε ένα κατάλογο 23 άλυτων προβλημάτων των μαθηματικών. Τα προβλήματα αυτά , που εκτείνονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, σχηματίζουν μια κεντρική εστίαση για ένα μεγάλο μέρος των μαθηματικών του 20ου αιώνα. Σήμερα, 10 έχουν λυθεί , 7 εν μέρει επιλυθεί , και 2 είναι ακόμη ανοικτά. Τα υπόλοιπα 4 είναι υπερβολικά χαλαρά σχεδιασμένα για να δηλωθούν ως λυμμένα ή όχι .
Αξιοσημείωτες ιστορικές εικασίες τελικά αποδείχθηκαν. Το 1976 , ο Wolfgang Haken και Kenneth Appel χρησιμοποίησε ηλεκτρονικό υπολογιστή για να αποδείξει το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων. Ο Άντριου Γουάιλς, με βάση τις εργασίες των άλλων, απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά το 1995. Ο Paul Cohen και ο Κουρτ Γκέντελ απέδειξαν ότι η υπόθεση της συνεχούς είναι ανεξάρτητη της (δε μπορούσε ούτε να αποδειχθεί ούτε διαψεύδεται από τα τυποποιημένα αξιώματα της θεωρίας συνόλων). Το 1998 ο Thomas Callister Hales απέδειξε την εικασία του Κέπλερ.
Μαθηματικές συνεργασίες άνευ προηγουμένου μέγεθος και πεδίου εφαρμογής πραγματοποιήθηκαν. Ένα παράδειγμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων ( που ονομάζεται επίσης ως « τεράστιο θεώρημα » ) , του οποίου η απόδειξη μεταξύ του 1955 και του 1983, απαιτούνται 500 περίεργα άρθρα περιοδικών από περίπου 100 συγγραφείς , και δεκάδες χιλιάδες σελίδες. Μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των Jean Dieudonné και André Weil, εξέδωσαν με το ψευδώνυμο " Nicolas Bourbaki », μια προσπάθεια να εκθέσουν όλα τα γνωστά μαθηματικά ως ένα συνεκτικό αυστηρό σύνολο. Τα αποτελέσματα από δεκάδες τόμους είχε μια αμφιλεγόμενη επίδραση στη μαθηματική εκπαίδευση.
Η διαφορική γεωμετρία ήρθε στη δική του, όταν ο Αϊνστάιν χρησιμοποίησε τη γενική σχετικότητα. Ολόκληροι νέοι τομείς των μαθηματικών , όπως η μαθηματική λογική , τοπολογία και τη θεωρία παιγνίων του Τζον φον Νόιμαν άλλαξαν τα είδη των ερωτήσεων που θα μπορούσαν να απαντηθούν με μαθηματικές μεθόδους. Όλα τα είδη δομών αντλούνται με αξιώματα και έχουν ονόματα όπως μετρικοί χώροι , τοπολογικοί χώροι κ.λπ. Όπως κάνουν οι μαθηματικοί , η έννοια της αφηρημένης δομής ήταν αφαιρετικά η ίδια και οδήγησε στην κατηγορία της θεωρίας .Οι Grothendieck και Serre αναδιατύπωσαν την αλγεβρική γεωμετρία χρησιμοποιώντας κομμάτια θεωρίας. Μεγάλη πρόοδος σημειώθηκε στην ποιοτική μελέτη των δυναμικών συστημάτων που Poincaré που είχε αρχίσει από το 1890. Η Θεωρία του Μέτρου αναπτύχθηκε στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα. Οι εφαρμογές των μέτρων περιλαμβάνουν το ολοκλήρωμα Lebesgue ,το axiomatisation Kolmogorov της θεωρία των πιθανοτήτων , και η ergodic θεωρία. Η θεωρία επεκτάθηκε σε σημαντικό βαθμό. Η Κβαντομηχανική οδήγησε στην ανάπτυξη της λειτουργικής ανάλυσης. Άλλες νέες περιοχές περιλαμβάνουν, τη θεωρία Laurent Schwartz της διανομής, το σταθερό σημείο θεωρίας, τη μοναδικότητα της θεωρίας και τη θεωρία καταστροφής René Thom , το μοντέλο της θεωρίας , και fractals του Mandelbrot . Η θεωρία Lie με Lie ομάδες και άλγεβρες έγινε ένας από τους σημαντικότερους τομείς της μελέτης .
Η μη τυπική ανάλυση , που θεσπίστηκε με τον Αβραάμ Robinson , rehabillitated απειροελάχιστη προσέγγιση στο λογισμό , ο οποίος είχε πέσει σε ανυποληψία υπέρ της θεωρίας των ορίων , επεκτείνοντας το πεδίο των πραγματικών αριθμών με τις hyperreal αριθμούς που περιλαμβάνουν απειροελάχιστη και άπειρες ποσότητες . Ένα ακόμη μεγαλύτερο σύστημα αριθμού , οι σουρεαλιστική αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον John Horton Conway σε σχέση με συνδυαστικά παιχνίδια.
Η ανάπτυξη και τη συνεχή βελτίωση των υπολογιστών, αρχικά στις μηχανικές αναλογικές μηχανές και, στη συνέχεια, στις ψηφιακές ηλεκτρονικές συσκευές , επέτρεψε τη βιομηχανία να ασχοληθεί με όλο και με μεγαλύτερες ποσότητες δεδομένων για τη διευκόλυνση της μαζικής παραγωγής, της διανομής και της επικοινωνίας , καθώς και τη δημιουργία νέων τομέων των μαθηματικών για την ενασχόληση με αυτό: Η Θεωρία υπολογισιμότητας του Άλαν Τούρινγκ: η θεωρία της πολυπλοκότητας, η Χρήση του Derrick Henry Lehmer της ENIAC για περαιτέρω Θεωρία Αριθμών και η δοκιμή του Lucas - Lehmer, η Θεωρία της πληροφορίας του Claude Shannon, η επεξεργασία σήματος: ανάλυσης δεδομένων, η βελτιστοποίηση και σε άλλους τομείς της επιχειρησιακής έρευνας .Στους προηγούμενους αιώνες πολλοί μαθηματικοί έδωσαν έμφαση στο λογισμό και στις συνεχείς συναρτήσεις , αλλά η άνοδος των δικτύων πληροφορικής και επικοινωνιών οδήγησε σε μια αυξανόμενη σημασία των διακριτών εννοιών και την επέκταση της Συνδυαστικής συμπεριλαμβανομένων της θεωρία γραφημάτων. Οι ικανότητες ταχύτητας και επεξεργασίας δεδομένων των υπολογιστών επέτρεψε επίσης την αντιμετώπιση των μαθηματικών προβλημάτων που ήταν πάρα πολύ χρονοβόρα για να υπολογιστούν με μολύβι και χαρτί , οδηγώντας σε τομείς όπως η αριθμητική ανάλυση και στους συμβολικούς υπολογισμούς. Μερικές από τις πιο σημαντικές μεθόδους και αλγορίθμους του 20ου αιώνα είναι : ο αλγόριθμος simplex , ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier, η διόρθωση λαθών, οι κώδικες , το φίλτρο Kalman από τη θεωρία ελέγχου και ο αλγόριθμος RSA της κρυπτογραφίας δημόσιου κλειδιού.
Ταυτόχρονα, βαθιές γνώσεις έγιναν σχετικά με τους περιορισμούς στα μαθηματικά. Το 1929 και το 1930 , αποδείχθηκε ότι η αλήθεια ή η αναλήθεια όλων των δηλώσεων που διατυπώθηκαν σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς συν ένα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού , ήταν δυνατό να αποφασισθεί , δηλαδή θα μπορούσε να καθορίζεται από κάποιο αλγόριθμο .Το 1931 , ο Kurt Gödel διαπίστωσε ότι αυτό δεν ίσχυε για την περίπτωση των φυσικών αριθμών ταυτόχρονα για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό: Αυτό το σύστημα , γνωστό ως αριθμητική Peano , ήταν στην πραγματικότητα ανολοκλήρωτη. ( Αριθμητική Peano είναι επαρκή για μια καλή συμφωνία της θεωρίας αριθμών , συμπεριλαμβανομένης της έννοιας του αριθμού prime ). Μια συνέπεια των δύο θεωρημάτων της μη πληρότητας του Γκέντελ είναι ότι σε κάθε μαθηματικό σύστημα που περιλαμβάνει αριθμητική Peano ( συμπεριλαμβανομένων της ανάλυσης και τη γεωμετρίας ) , outruns απαραίτητα αποδεικτικά στοιχεία , δηλαδή υπάρχουν αληθείς δηλώσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν μέσα στο σύστημα .Ως εκ τούτου, τα μαθηματικά δεν μπορούν να μειωθούν σε μαθηματική λογική , και το όνειρο του Ντάβιντ Χίλμπερτ να γίνουν όλα τα μαθηματικά πλήροι και συνεπή έπρεπε να αναδιατυπωθεί.
Ένα από τα πιο πολύχρωμα σχήματα στα μαθηματικά του 20ου αιώνα ήταν Srinivasa Aiyangar Ramanujan ( 1887-1920 ) , ένας Ινδός αυτοδίδακτος που εικάζεται ή αποδεικνείει πάνω από 3000 θεωρήματα , συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων των εξαιρετικά σύνθετων αριθμών , η συνάρτηση επιμερισμού και ασυμπτωτικές του , και εικονικές συναρτήσεις θήτα . Έκανε επίσης σημαντικές έρευνες στους τομείς των λειτουργιών γάμμα , στις σπονδυλωτές μορφές , στις διαφορικές σειρές, στην Υπεργεωμετρική σειρά και την προνομιακή Θεωρία Αριθμών.
Ο Paul Erdős δημοσιεύσε περισσότερα έντυπα από οποιαδήποτε άλλο μαθηματικό στην ιστορία , σε συνεργασία με εκατοντάδες συνεργάτες . Οι μαθηματικοί έχουν ένα παιχνίδι που ισοδυναμεί με το Κέβιν Μπέικον παιχνίδι, το οποίο οδηγεί στον αριθμό Erdős ενός μαθηματικού . Αυτό περιγράφει τη « συνεργατική απόσταση " ανάμεσα σε ένα άτομο και του Παύλου Erdős , όπως μετράται από την κοινού πατρότητα των μαθηματικών εγγράφων.
Η Έμμυ Νόεθερ έχει περιγραφεί από πολλούς ως η πιο σημαντική γυναίκα στην ιστορία των μαθηματικών,καθώς ξεσήκωσε τις θεωρίες των δακτυλίων , τα πεδία , και άλγεβρες .
Όπως και στις περισσότερες περιοχές της μελέτης , η έκρηξη των γνώσεων στην επιστημονική ηλικία έχει οδηγήσει στην εξειδίκευση. Μέχρι το τέλος του αιώνα υπήρχαν εκατοντάδες εξειδικευμένοι τομείς στα μαθηματικά και το "Μαθηματικά Θέματα Ταξινόμησης" απαριθμούσε δεκάδες σελίδες. Όλο και πιο πολλά μαθηματικά περιοδικά εκδόθηκαν και , μέχρι το τέλος του αιώνα , η ανάπτυξη του Παγκοσμίου Ιστού Αναζήτησης οδήγησε στην online δημοσίευση.
21ος αιώνας
Το 2000, το Ινστιτούτο Clay Mathematics ανακοίνωσε το βραβείο των επτά προβλημάτων της χιλιετίας, και το 2003 η εικασία Poincaré λύθηκε από τον Grigori Perelman (που αρνήθηκε να παραλάβει το βραβείο, αφού ο ίδιος ήταν επικριτής για τη δημοσιοποίηση των μαθηματικών). Τα περισσότερα μαθηματικά περιοδικά έχουν τώρα online εκδόσεις, καθώς και τις έντυπες εκδόσεις, και πολλές σε απευθείας σύνδεση-μόνο με περιοδικά που κυκλοφορούν. Υπάρχει μια αυξανόμενη τάση προς την ανοικτή πρόσβασης, που πρώτη διαδόθηκε από το arXiv.
Το μέλλον των Μαθηματικών
Υπάρχουν πολλοί που παρατηρούν τις τάσεις στα μαθηματικά, το πιο αξιοσημείωτο είναι ότι το θέμα γίνεται ολοένα και μεγαλύτερο, οι υπολογιστές είναι ολοένα και πιο σημαντικοί και ισχυροί, η εφαρμογή των μαθηματικών στη βιοπληροφορική αναπτύσσεται με ταχείς ρυθμούς, ο όγκος των δεδομένων που πρόκειται να αναλυθεί παράγεται από την επιστήμη και την βιομηχανία, η οποία διευκολύνεται από τους υπολογιστές, και επεκτείνεται εκρηκτικά.[93]
Δείτε επίσης
Προέλευση των Μαθηματικών
Ιστορία της άλγεβρας
Ιστορία του λογισμού
Ιστορία της Συνδυαστικής
Ιστορία της γεωμετρίας
Ιστορία της λογικής
Ιστορία της μαθηματικής σημειογραφίας
Ιστορία της θεωρίας αριθμών
Ιστορία των στατιστικών
Ιστορία της τριγωνομετρίας
Ιστορία των αριθμών γραφής
Kenneth O. May Prize
Κατάλογος των σημαντικών δημοσιεύσεων στα μαθηματικά
Λίστες των μαθηματικών
Κατάλογος των μαθηματικών θεμάτων ιστορίας
Χρονοδιάγραμμα των μαθηματικών
Παραπομπές
(Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119)
J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 έκδοση). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
Heath. A Manual of Greek Mathematics. σελ. 5.
Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,Penguin Books, London, 1991, pp.140—148
Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp.428—437
Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
A.P. Juschkewitsch, "Geschichte der Mathematik im Mittelalter", Teubner, Leipzig, 1964
«(Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 24)». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)
«Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)
«Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30–31». H παράμετρος |url= είναι κενή ή απουσιάζει (βοήθεια)
(Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120)
(Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 130)
(Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 126)
(Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130)
(Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 125)
(Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 121)
(Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" σελ. 137)
(Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 145)
(Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 146)
(Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 152)
(Boyer 1991, "Apollonius of Perga" σελ. 156)
(Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 161)
(Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 175)
(Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 162)
S.C. Roy. Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications, σελ. 1 [1]. Harwood Publishing, 2007, 131 pages. ISBN 1-904275-25-7
(Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 163)
(Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 164)
(Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" σελ. 168)
(Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 178)
(Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 180)
(Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 181)
(Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" σελ. 183)
Ecclesiastical History,Bk VI: Κεφ. 15
(Boyer 1991, "China and India" p. 201)
(Boyer 1991, "China and India" p. 196)
Katz 2007, σελίδες 194–199
(Boyer 1991, "China and India" p. 198)
Needham, Joseph (1986). Science and Civilisation in China. 3, Μαθηματικά και επιστήμες του παράδεισου και της γης. Taipei: Caves Books Ltd.
(Boyer 1991, "China and India" p. 202)
Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 έκδοση). Jones & Bartlett Learning. σελ. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3., Extract of page 27
(Boyer 1991, "China and India" p. 205)
(Boyer 1991, "China and India" p. 206)
(Boyer 1991, "China and India" p. 207)
T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 411–2, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, επιμ. (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN 1-4020-0260-2.
R. P. Kulkarni (1978). «The Value of π known to Śulbasūtras». Indian Journal for the History of Science 13: 32-41. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-02-06.
J.J. Connor, E.F. Robertson. The Indian Sulba Sutras Univ. of St. Andrew, Scotland [2] Οι εκτιμήσεις για το π είναι 4 x (13/15)2 (3.0044...), 25/8 (3.125), 900/289 (3.11418685...), 1156/361 (3.202216...), και 339/108 (3.1389).
J.J. Connor, E.F. Robertson. The Indian Sulba Sutras Univ. of St. Andrew, Scotland [3]
Bronkhorst, Johannes (2001). «Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry». Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 29 (1–2): 43–80. doi:10.1023/A:1017506118885
Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming : the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. σελ. 37. ISBN 0-8493-7189-9.
W. S. Anglin; J. Lambek (1995). The Heritage of Thales. Springer. ISBN 0-387-94544-X.
Rachel W. Hall (2008). «Math for poets and drummers». Math Horizons (Saint Joseph's University) (15): 10-11. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-02-12.
(Boyer 1991, "China and India" p. 208)
(Boyer 1991, "China and India" p. 209)
(Boyer 1991, "China and India" p. 210)
(Boyer 1991, "China and India" p. 211)
Carl Benjamin Boyer (1991). The Arabic Hegemony. σελ. 226. "Από το 776 μαθαίνουμε ότι ένα αστρονομίκο-μαθηματικό έργο ,γνωστό στα αραβικά ως Sindhind, ήρθε στη σημερινή Βαγδάτη από την Ινδία. Είναι γενικά αποδεκτό ότι αυτό ήταν το Brahmasphuta Siddhanta, αν και μπορεί να ήταν το Surya Siddhanata. Μερικά χρόνια αργότερα, περίπου γύρω στο 775, το Siddhanata μεταφράστηκε στα αραβικά, και δεν ήταν πολύ αργότερα περίπου το 780π.Χ. που η αστρονομία του Πτολεμαίου Τετράβιβλος μεταφράστηκε στα αραβικά από τα ελληνικά."
Plofker 2009 182-207
Plofker 2009 pp 197 - 198; George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London, 1991 pp 298 - 300; Takao Hayashi, Indian Mathematics, pp 118 - 130 in Companion History of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, ed. I. Grattan.Guinness, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 1994, p 126
Plofker 2009 pp 217 - 253
P. P. Divakaran, Το πρώτο βιβλίο λογισμού: Yukti-bhāṣā, Journal of Indian Philosophy 35, 2007, pp 417 - 433.
(Bressoud 2002, σελ. 12) Απόσπασμα: "Δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι η γνώση σχετικά με τις σειρές υπήρχε και εκτός της Ινδίας , ή ακόμα και εκτός Κεράλα, μέχρι το 19ο αιώνα.Ο Gold και ο Pingree υποστηρίζουν ότι [4] από τη στιγμή που αυτές οι σειρές ανακαλύφθηκαν στην Ευρώπη, είχαν για όλους πρακτικούς σκοπούς, αλλά χάθηκαν από την Ινδία. Οι επεκτάσεις του ημιτόνου,συνημιτόνου, και του τόξου της εφαπτομένης πέρασαν από γενιά σε γενιά, μένοντας σε άγονες παρατηρήσεις που δεν έφεραν καμία εξέλιξη."
Plofker 2001, σελ. 293 Απόσπασμα: "Δεν είναι ασυνήθιστο να συναντήσετε στις συζητήσεις των ινδικών μαθηματικών ισχυρισμούς όπως ότι “η έννοια του διαφορικού ήταν γνωστή στην [Ινδία] από την εποχή της Manjula (... τον 10ο αιώνα)” [Joseph 1991, 300], ή ότι “μπορούμε να θεωρήσουμε τον Μαντάβα ιδρυτή της μαθηματικής ανάλυσης” (Joseph 1991, 293), ή ότι o Bhaskara II μπορούν να ισχυριστούν ότι ήταν “ο πρόδρομος του Νεύτωνα και του Leibniz στην ανακάλυψη της αρχής του διαφορικού λογισμού” (Bag 1979, 294). ... Τα σημεία ομοιότητας, ιδιαίτερα από τις αρχές του Ευρωπαϊκού λογισμού και την Κεράλα σε εργασίες που αφορούν δυναμοσειρές, έχουν εμπνεύσει προτάσεις για πιθανή μετάδοση των μαθηματικών ιδεών από την ακτή Malabar ή μετά το 15ο αιώνα στον λατινικό ακαδημαϊκό κόσμο (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη, ωστόσο, ότι μια τέτοια έμφαση στην ομοιότητα των Σανσκριτικών (or Malayalam) και των μαθηματικών του λατινικού κόσμου αποτελεί ρίσκο διότι μειώνει την ικανότητά μας να κατανοήσουμε τα πρώτα πλήρως. Το να μιλάμε για την ινδική “ανακάλυψη της αρχής του διαφορικού λογισμού” συσκοτίζει κάπως το γεγονός ότι οι ινδικές τεχνικές για την έκφραση και τις αλλαγές στο ημίτονο μέσω του συνημιτόνου και αντίστροφα, όπως τα παραδείγματα που έχουμε δει παραμένουν εντός του ειδικού τριγωνομετρικού πλαισίου. Η ειδοποιός διαφορά ήταν η γενίκευση μέσω αυθαίρετων λειτουργιών-στην πραγματικότητα, η ρητή έννοια της αυθαίρετης λειτουργίας, για να μην αναφερθούμε στο κομμάτι των παραγώγων ή των αλγορίθμων μιας παραγώγου, στην παρούσα στιγμή θα ήταν επουσιώδες"
Pingree 1992, σελ. 562 Απόσπασμα:"Ένα παράδειγμα μπορώ να σας δώσω που σχετίζεται με μια επίδειξη του Μαντχάβα, περίπου το 1400μ.Χ., για την άπειρη δυναμοσειρά των τριγονομετρικών σχέσεων χρησιμοποιώντας γεωμετρικά και αλγεβρικά επιχειρήματα. Όταν αυτό περιγράφηκε για πρώτη φορά στην αγγλική γλώσσα από τον Charles Whish, στη δεκαετία του 1830, ήταν σαν να ανήγγειλε την ανακάλυψη του λογισμού από τους Ινδιάνους. Ο ισχυρισμός αυτός και τα επιτεύγματα του Mādhava αγνοήθηκαν από τους δυτικούς ιστορικούς στην αρχή, κατά πάσα πιθανότητα επειδή δεν μπορούσαν να δεχθούν ότι ένας Ινδός ανακάλυψε το λογισμό, αλλά αργότερα διότι κανείς δεν διάβαζε την εφημερίδα Transactions of the Royal Asiatic Society, όπου ο Whish είχε δημοσιεύσει το άρθρο. Το θέμα επανήλθε το 1950, και τώρα έχουμε τα σανσκριτικά κείμενα κατάλληλα επεξεργασμένα, και κατανοήσαμε τον έξυπνο τρόπο με τον οποίο ο Mādhava οδηγήθηκε στις σειρές χωρίς το λογισμό; αλλά πολλοί ιστορικοί εξακολουθούν να θεωρούν ότι είναι αδύνατο να συλλάβει το πρόβλημα και στη λύση του τους όρους, για το λόγο αυτό διακηρύσσουν ότι λογισμός είναι ότι ανακαλύφθηκε από τον Mādhava. Στην περίπτωση αυτή,η κομψότητα και η λάμψη των μαθηματικών του Mādhava παραμορφώνεται καθώς είναι θαμμένη κάτω από την τρέχουσα μαθηματική λύση σε ένα πρόβλημα για το οποίο ανακάλυψε μια εναλλακτική και ισχυρή λύση ."
Katz 1995, σελίδες 173–174 Απόσπασμα:"Πόσο κοντά ήρθαν στην ανακάλυψη του λογισμού οι Ισλαμιμιστές και Ινδοί μελετητές; Ισλαμιστές μελετητές ανέπτυξαν σχεδόν έναν γενικό τύπο για την εύρεση πολυωνυμικών ολοκληρωμάτων από το 1000μ.Χ.—και προφανώς μπορούσαν να βρουν έναν τέτοιο τύπο για κάθε πολυώνυμο που τους ενδιέφερε. Όπως όμως φαίνεται δεν ενδιαφερόντουσαν για πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του τέσσερα, τουλάχιστον σύμφωνα με το υλικό που βρίσκεται στα χέρια μας. Ινδοί μελετητές ήταν από το 1600 σε θέση να χρησιμοποιήσουν τύπους για τον υπολογισμό της δυναμοσειράς. Δεν υπάρχει κανένας κίνδυνος, ως εκ τούτου να ξαναγράψουμε τα ιστορικά κείμενα και να αφαιρέσουμε τη δήλωση ότι ο Νεύτωνας και ο Leibniz εφεύραν πρώτοι το λογισμό. Ήταν σίγουρα αυτοί που συνδύασαν πολλές διαφορετικές ιδέες στο πλαίσιο του ολοκληρώματος και της παραγώγου, μετατρέποντας το λογισμό σε μεγάλο εργαλείο επίλυσης προβλημάτων όπως το γνωρίζουμε σήμερα".
Dutta, Sristidhar; Tripathy, Byomakesh (2006). Martial traditions of North East India. Concept Publishing Company. σελ. 173. ISBN 978-81-8069-335-9.
Wickramasinghe, Nalin Chandra; Ikeda, Daisaku (1998). Space and eternal life. Journeyman Press. σελ. 79. ISBN 978-1-85172-061-3.
(Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwārizmī's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."
Gandz and Saloman (1936), The sources of Khwarizmi's algebra, Osiris i, σελ. 263–77: "Κατά μια έννοια, Khwarizmi είναι πιο ακριβές να καλείται ως "ο πατέρας της άλγεβρας" σε αντίθεση με τον Διόφαντο διότι ο Khwarizmi είναι ο πρώτος που δίδαξε άλγεβρα με έναν στοιχειώδη τρόπο και για τους δικούς του σκοπούς, Διόφαντος ασχολήθηκε κυρίως με την θεωρία των αριθμών".
(Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "Δεν είναι ακόμα σαφές το νόημα των όρων al-jabr και muqabalah, αλλά η συνηθισμένη ερμηνεία τους ταιριάζει με αυτήν που αναφέρεται στην παραπάνω μετάφραση. Η λέξη al-jabr πιθανώς να σημαίνει "επιστροφή" or "συμπλήρωση/ολοκλήρωση" και αναφέρεται στην μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης; η λέξη muqabalah λέγεται ότι αναφέρεται στην "αναγωγή" ή "ισολογισμός" - έτσι ώστε να σχετίζεται με την απαλοιφή όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης."
Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. σελίδες 11–12. ISBN 0-7923-2565-6. OCLC 29181926.
Victor J. Katz (1998). History of Mathematics: An Introduction, pp. 255–59. Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1.
F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi. Paris.
Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
Wisdom, 11:21
Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", σελ. 135–54 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Οξφόρδη: Basil Blackwell).
Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).
Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", σελ. 421–62 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
Guy Beaujouan, "The Transformation of the Quadrivium", σελ. 463–87 in Robert L. Benson και Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
Grant, Edward και John E. Murdoch (1987), eds., Mathematics and Its Applications to Science and Natural Philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.
Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: University of Wisconsin Press), σελ. 421–40.
Murdoch, John E. (1969) "Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology", in Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institut d'Études Médiévales), στη σελ. 224–27
Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: University of Wisconsin Press), σελ. 210, 214–15, 236.
Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: University of Wisconsin Press), σελ. 284.
Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: University of Wisconsin Press), σελ. 332–45, 382–91.
Nicole Oresme, "Questions on the Geometry of Euclid" Q. 14, σελ. 560–65, in Marshall Clagett, ed., Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (Madison: University of Wisconsin Press, 1968).
Heeffer, Albrecht: On the curious historical coincidence of algebra and double-entry bookkeeping, Foundations of the Formal Sciences, Ghent University, November 2009, σελ.7 [4]
Alan Sangster, Greg Stoner & Patricia McCarthy: "The market for Luca Pacioli’s Summa Arithmetica" (Accounting, Business & Financial History Conference, Cardiff, September 2007) σελ. 1–2
Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton.Διεθνής πρότυπος αριθμός βιβλίου(ISBN):0393320308
Kline, Morris (1953). Mathematics in Western Culture. Great Britain: Pelican. σελ. 150–151.
παραπομπή που απαιτείται
Εξωτερικά άρθρα
Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,
Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-7397-5.
Bell, E. T. (1937). Men of Mathematics. Simon and Schuster.
Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.
Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition. Addison-Wesley: 1998.
Scimone, Aldo (2006). Talete, chi era costui? Vita e opere dei matematici incontrati a scuola. Palermo: Palumbo Pp. 228.
Βιβλία συγκεκριμένων χρονικών περιόδων
Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA: MIT Press.
Heath, Sir Thomas (1981). A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 0-486-24073-8.
Katz, Victor J., επιμ. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages, pp 385-514. ISBN 0-691-11485-4..
Maier, Annaliese (1982), At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: University of Pennsylvania Press.
Plofker, Kim (2009). Mathematics in India: 500 BCE–1800 CE. Princeton, NJ: Princeton University Press. Pp. 384. ISBN 0-691-12067-6..
van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.
Βιβλία πάνω σε συγκεκριμένες ενότητες
Hoffman, Paul, The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998 ISBN 0-7868-6362-5.
Stigler, Stephen M. (1990). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press. ISBN 0-674-40341-X.
Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8.
Ντοκιμαντέρ
BBC (2008). The Story of Maths.
MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). An award-winning website containing detailed biographies on many historical and contemporary mathematicians, as well as information on notable curves and various topics in the history of mathematics.
History of Mathematics Home Page (David E. Joyce; Clark University). Articles on various topics in the history of mathematics with an extensive bibliography.
The History of Mathematics (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin). Collections of material on the mathematics between the 17th and 19th century.
History of Mathematics (Simon Fraser University).
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Jeff Miller). Contains information on the earliest known uses of terms used in mathematics.
Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Jeff Miller). Contains information on the history of mathematical notations.
Mathematical Words: Origins and Sources (John Aldrich, University of Southampton) Discusses the origins of the modern mathematical word stock.
Biographies of Women Mathematicians (Larry Riddle; Agnes Scott College).
Mathematicians of the African Diaspora (Scott W. Williams; University at Buffalo).
Fred Rickey's History of Mathematics Page
A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians archive dated 2007/3/17 (Steven W. Rockey; Cornell University Library).
Συνδέσεις διαδικτυακές
International Commission for the History of Mathematics
Εφημερίδες
Historia Mathematica
Convergence, the Mathematical Association of America's online Math History Magazine
Κατάλογοι
Links to Web Sites on the History of Mathematics (The British Society for the History of Mathematics)
History of Mathematics Math Archives (University of Tennessee, Knoxville)
History/Biography The Math Forum (Drexel University)
History of Mathematics (Courtright Memorial Library).
History of Mathematics Web Sites (David Calvis; Baldwin-Wallace College)
History of mathematics στο DMOZ
Historia de las Matemáticas (Universidad de La La guna)
História da Matemática (Universidade de Coimbra)
Using History in Math Class
Mathematical Resources: History of Mathematics (Bruno Kevius)
History of Mathematics (Roberta Tucci)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
