Γενική γραμμική ομάδα
αγγλικά : General linear group
γαλλικά :
γερμανικά :
Στα μαθηματικά, η γενική γραμμική ομάδα του βαθμού n είναι το σύνολο των n × n αναστρέψιμων πινάκων, μαζί με τη πράξη του συνηθισμένου πολλαπλασιασμού πινάκων. Αυτό σχηματίζει μια ομάδα, επειδή το προϊόν δύο αναστρέψιμων πινάκων είναι και πάλι αναστρέψιμο, και το αντίστροφο ενός αναστρέψιμου πίνακα είναι αναστρέψιμο, με τον πίνακα ταυτότητας ως στοιχείο ταυτότητας της ομάδας. Η ομάδα ονομάζεται έτσι επειδή οι στήλες ενός αναστρέψιμου πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες, επομένως τα διανύσματα / σημεία που ορίζουν είναι σε γενική γραμμική θέση, και οι πίνακες στη γενική γραμμική ομάδα παίρνουν σημεία σε γενική γραμμική θέση σε σημεία σε γενική γραμμική θέση.
Για να είμαστε πιο ακριβείς, είναι απαραίτητο να καθορίσουμε τι είδους αντικείμενα μπορεί να εμφανίζονται στις καταχωρήσεις του πίνακα. Για παράδειγμα, η γενική γραμμική ομάδα στο R (το σύνολο των πραγματικών αριθμών) είναι η ομάδα των n × n αναστρέψιμων πινάκων των πραγματικών αριθμών και υποδηλώνεται με GLn (R) ή GL (n, R).
Γενικότερα, η γενική γραμμική ομάδα βαθμού n σε οποιοδήποτε πεδίο F (όπως οι μιγαδικοί αριθμοί), ή ένας δακτύλιος R (όπως ο δακτύλιος των ακέραιων αριθμών), είναι το σύνολο αντιστρεπτών πινάκων n × n με καταχωρήσεις από F (ή R), πάλι με πολλαπλασιασμό πινάκων ως ομαδική πράξη Τυπική σημειογραφία είναι GLn (F) ή GL (n, F), ή απλά GL (n) εάν το πεδίο είναι κατανοητό.
Γενικότερα ακόμα, η γενική γραμμική ομάδα ενός διανύσματος χώρου GL (V) είναι η αφηρημένη ομάδα αυτομορφισμού, όχι απαραίτητα γραμμένη ως πίνακες.
Η ειδική γραμμική ομάδα, γραμμένη SL (n, F) ή SLn (F), είναι η υποομάδα του GL (n, F) που αποτελείται από πίνακες με ορίζουσα 1.
Η ομάδα GL (n, F) και οι υποομάδες της καλούνται συχνά γραμμικές ομάδες ή ομάδες πίνακα (η αφηρημένη ομάδα GL (V) είναι γραμμική ομάδα αλλά όχι ομάδα πίνακα). Αυτές οι ομάδες είναι σημαντικές στη θεωρία των αναπαραστάσεων των ομάδων, και προκύπτουν επίσης στη μελέτη των χωρικών συμμετριών και των συμμετριών των διανυσμαρικών χώρων γενικά, καθώς και στη μελέτη των πολυωνύμων. Η modular ομάδα μπορεί να πραγματοποιηθεί ως πηλίκο της ειδικής γραμμικής ομάδας SL (2, Z).
Εάν n ≥ 2, τότε η ομάδα GL (n, F) δεν είναι Αβελιανή.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
