Εξίσωση του Pell
αγγλικά : Pell’s Equation
γαλλικά :
γερμανικά :
Η εξίσωση του Pell, που ονομάζεται επίσης εξίσωση Pell - Fermat, κάθε διοφαντική εξίσωση της μορφής
\( x ^ 2-ny ^ 2 = 1 \)
όπου το n είναι δεδομένος θετικός μη τετραγωνικός ακέραιος αριθμός και αναζητούνται ακέραιες λύσεις για x και y. Στις καρτεσιανές συντεταγμένες, η εξίσωση έχει τη μορφή υπερβολής; λύσεις είναι αυτές όπου η καμπύλη περνά από ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες x και y είναι και οι δύο ακέραιοι, όπως η ασήμαντη λύση με x = 1 και y = 0. Ο Joseph Louis Lagrange απέδειξε ότι, εφόσον το n δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο, η εξίσωση του Pell έχει απεριόριστα πολλές διαφορετικές ακέραιες λύσεις. Αυτές οι λύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ακριβή προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του n με ρητούς αριθμούς της μορφής x / y.
Για παράδειγμα, το πρόβλημα των βοοειδών του Αρχιμήδη είναι ισοδύναμο με την εξίσωση Pell \( x^{2}-410286423278424y^{2}=1 \), η θεμελιώδης λύση της οποίας έχει 206545 ψηφία . Ωστόσο, η λύση είναι επίσης ίση με
\( x_1+y_1\sqrt n=u^{2329}, \)
όπου
\( {\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4729494}}=(300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}})^{2}} \)
και \( {\displaystyle x'_{1}} \) και \( {\displaystyle y'_{1}} \) έχουν μόνο 45 και 41 δεκαδικά ψηφία, αντίστοιχα.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
