Εξισώσεις του Weingarten
αγγλικά : Weingarten equations
γαλλικά :
γερμανικά :
Οι εξισώσεις του Weingarten δίνουν επέκταση της παραγώγου του κάθετου μοναδιαίου διανύσματος σε μια επιφάνεια με όρους των πρώτων παραγώγων του διανύσματος θέσης αυτής της επιφάνειας. Αυτοί οι εξισώσεις καθορίστηκαν το 1861 από τον Γερμανό μαθηματικό Julius Weingarten. [1]
Ορισμός στην κλασική διαφορική γεωμετρία
Έστω το S μια επιφάνεια σε τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο που παραμετροποιείται με το διάνυσμα θέσης r (u, v) της επιφάνειας. Έστω το P = P (u, v) να είναι ένα σταθερό σημείο σε αυτήν την επιφάνεια. Τότε
\ ({\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}}, \ quad \ mathbf {r} _ {v} = {\ frac { \ partial \ mathbf {r}} {\ partial v}}} \)
είναι δύο εφαπτομενικά διανύσματα στο σημείο Ρ.
Έστω n τπ κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα και (E, F, G) και (L, M, N) ι οι συντελεστές της πρώτης και δεύτερης θεμελιώδους μορφής αυτής της επιφάνειας, αντίστοιχα. Η εξίσωση Weingarten δίνει την πρώτο παράγωγο του κάθετου μοναδιαίου διανύσματος n στο σημείο P σε όρους εφαπτομενικών διανυσμάτων ru και rv:
\ ({\ displaystyle \ mathbf {n} _ {u} = {\ frac {FM-GL} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FL-EM } {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}} \)
\ ({\ displaystyle \ mathbf {n} _ {v} = {\ frac {FN-GM} {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {u} + {\ frac {FM-EN } {EG-F ^ {2}}} \ mathbf {r} _ {v}} \)
Αυτό μπορεί να εκφραστεί σμε υμπαγή τρόπο στη σημειογραφία δεικτών ως
\ ({\ displaystyle \ partial _ {a} \ mathbf {n} = K_ {a} ^ {~ b} \ mathbf {r} _ {b}}, \)
όπου \(K_ {a} ^ {~ b} \) είναι τα στοιχεία του τανυστή καμπυλότητας της επιφάνειας.
Σημειώσεις
J. Weingarten (1861). "Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flächen". Εφημερίδα für die Reine und Angewandte Mathematik. 59: 382–393.
βιβλιογραφικές αναφορές
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
