Εξισώσεις Rabinovich–Fabrikant
αγγλικά : Rabinovich–Fabrikant equations
γαλλικά :
γερμανικά :
Οι εξισώσεις Rabinovich-Fabrikant είναι ένα σύνολο τριών συζευγμένων συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων που εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά για ορισμένες τιμές των παραμέτρων. Ονομάστηκαν από τους Mikhail Rabinovich και Anatoly Fabrikant, που τους περιέγραψαν το 1979.
Περιγραφή συστήματος
Οι εξισώσεις είναι:
\( {\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\, \)
\( {\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\, \)
\( {\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\, \)
όπου α, γ είναι σταθερές που ελέγχουν την εξέλιξη του συστήματος. Για ορισμένες τιμές α και γ, το σύστημα είναι χαοτικό, αλλά για άλλα τείνει σε σταθερή περιοδική τροχιά.
Οι Danca και Chen σημειώνουν ότι το σύστημα Rabinovich – Fabrikant είναι δύσκολο να αναλυθεί (λόγω της παρουσίας τετραγωνικών και κυβικών όρων) και ότι μπορούν να ληφθούν διαφορετικοί ελκυστέες για τις ίδιες παραμέτρους χρησιμοποιώντας διαφορετικά μεγέθη βημάτων στην ολοκλήρωση. Επίσης, πρόσφατα, ένα κρυφό ελκυστικό ανακαλύφθηκε στο σύστημα Rabinovich – Fabrikant
Σημεία ισορροπίας
Γράφημα των περιοχών για τις οποίες τα σημεία ισορροπίας \( {\tilde {{\mathbf {x}}}}_{{1,2,3,4}} \) υπάρχουν.
Το σύστημα Rabinovich – Fabrikant έχει πέντε σημεία υπερβολικής ισορροπίας, ένα στην αρχή και τέσσερα εξαρτάται από τις παραμέτρους του συστήματος α και γ:
\( {\tilde {{\mathbf {x}}}}_{0}=(0,0,0) \)
\( {\tilde {{\mathbf {x}}}}_{{1,2}}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right) \)
\( {\tilde {{\mathbf {x}}}}_{{3,4}}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right) \)
όπου
q_{{\pm }}={\sqrt {{\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}}
Αυτά τα σημεία ισορροπίας υπάρχουν μόνο για συγκεκριμένες τιμές α και γ> 0.
γ = 0,87, α = 1,1
Ένα παράδειγμα χαοτικής συμπεριφοράς λαμβάνεται για γ = 0,87 και α = 1,1 με αρχικές συνθήκες (−1, 0, 0,5). Η διάσταση συσχέτισης βρέθηκε να είναι 2,19 ± 0,01. Οι εκθέτες Lyapunov, λ είναι περίπου 0.1981, 0, −0.6581 και η διάσταση Kaplan – Yorke, DKY ≈ 2.3010
γ = 0,1
Οι Danca και Romera έδειξαν ότι για γ = 0,1, το σύστημα είναι χαοτικό για α = 0,98, αλλά προχωρά σε έναν σταθερό κύκλο ορίου για α = 0,14.
3D παραμετρική γραφική παράσταση της λύσης των εξισώσεων Rabinovich-Fabrikant για α = 0,14 και γ = 0,1 (ο κύκλος ορίου εμφανίζεται με την κόκκινη καμπύλη)
Δείτε επίσης
Λίστα χαοτικών χαρτών
βιβλιογραφικές αναφορές
Rabinovich, Mikhail I.; Fabrikant, A. L. (1979). "Stochastic Self-Modulation of Waves in Nonequilibrium Media". Sov. Phys. JETP. 50: 311. Bibcode:1979JETP...50..311R.
Danca, Marius-F.; Chen, Guanrong (2004). "Birfurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium". International Journal of Bifurcation and Chaos. World Scientific Publishing Company. 14 (10): 3409–3447. Bibcode:2004IJBC...14.3409D. doi:10.1142/S0218127404011430.
Danca M.-F.; Kuznetsov N.; Chen G. (2017). "Unusual dynamics and hidden attractors of the Rabinovich-Fabrikant system". Nonlinear Dynamics. 88 (1): 791–805. arXiv:1511.07765. doi:10.1007/s11071-016-3276-1.
Sprott, Julien C. (2003). Chaos and Time-series Analysis. Oxford University Press. p. 433. ISBN 0-19-850840-9.
Grassberger, P.; Procaccia, I. (1983). "Measuring the strangeness of strange attractors". Physica D. 9 (1–2): 189–208. Bibcode:1983PhyD....9..189G. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1.
Danca, Marius-F.; Romera, Miguel (2008). "Algorithm for Control and Anticontrol of Chaos in Continuous-Time Dynamical Systems". Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series B: Applications & Algorithms. Watam Press. 15: 155–164. hdl:10261/8868. ISSN 1492-8760.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
