Ευθύγραμμο τμήμα
αγγλικά : Line segment
γαλλικά : Segment
γερμανικά : Strecke
Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι εκείνο το γεωμετρικό σχήμα που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων Α και Β μίας ευθείας ε.
Η δε ευθεία ε καλείται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία Α και Β, άκρα του.
Είδη ευθυγράμμου τμήματος
Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε ονομάζεται ανοιχτό ευθύγραμμο τμήμα.
Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σ΄ αυτό ονομάζεται κλειστό ευθύγραμμο τμήμα.
Τέλος όταν τα άκρα Α και Β συμπίπτουν, (Α=Β), τότε ονομάζεται μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα.
Άλλα στοιχεία
Μήκος ευθυγράμμου σχήματος, ονομάζεται η μεταξύ απόσταση των δύο άκρων.
Μέσο ευθυγράμμου τμήματος, ονομάζεται το σημείο του εκείνο, (Μ), που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε ΜΑ=ΜΒ.
Αξίωμα: Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο
Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων
Ας είναι ΑΒ και ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα με φορείς ε και δ αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις ε και δ έτσι ώστε το Α να συμπίπτει με το Γ.
Αν το Δ συμπίπτει με το Β λέμε ότι το ΑΒ είναι ίσο με το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ = ΓΔ.
Αν το Δ βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος ΑΒ τότε λέμε ότι το ΑΒ είναι μεγαλύτερο από το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ > ΓΔ.
Τέλος, αν το Δ βρίσκεται στην ημιευθεία ΑΒ, αλλά όχι ανάμεσα στα Α και Β, τότε λέμε ότι το ΑΒ είναι μικρότερο από το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ < ΓΔ.
Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.
Ιδιότητες ισότητας
Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
Ανακλαστική όπου ΑΒ=ΑΒ
Συμμετρική: αν ΑΒ=ΓΔ τότε ισχύει και ΓΔ=ΑΒ
Μεταβατική: αν ΑΒ=ΓΔ και ΓΔ=ΔΕ τότε ισχύει και ΑΒ=ΔΕ
Κάθε σχέση για την οποία ισχύουν οι τρεις αυτές ιδιότητες λέγεται σχέση ισοδυναμίας
Επίσης η σχέση ΑΒ > ΓΔ ή ΑΒ < ΓΔ λέγεται σχέση ανισότητας. Στη σχέση αυτή ισχύει και η εξής ιδιότητα: (Μεταβατική) αν ΑΒ>ΓΔ και ΓΔ>ΔΕ τότε και ΑΒ>ΔΕ. Σημειώνεται πως η σχέση της ανισότητας δεν είναι συμμετρική, δηλαδή δεν ισχύει ΑΒ>ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ.
Κάθε σχέση που είναι μεταβατική, αλλά όχι συμμετρική αλλά ούτε και ανακλαστική λέγεται σχέση γνήσιας διάταξης. Συνεπώς η σχέση της ανισότητας είναι σχέση γνήσιας διάταξης.
Πράξεις επί ευθυγράμμων τμημάτων
Πρόσθεση
Έστω ΑΒ, ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα ΚΛ, ΛΜ τέτοια ώστε ΚΛ = ΑΒ και ΛΜ = ΓΔ. Τότε άθροισμα των ΑΒ και ΓΔ θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΚΜ και θα γράφουμε ΚΜ = ΑΒ + ΓΔ.
Για να βρεθεί το άθροισμα περισσοτέρων ευθυγράμμων τμημάτων, μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
Αντιμεταθετική: δηλαδή α+β=β+α και
Προσεταιριστική: δηλαδή (α+β)+γ=α+(β+γ)
Επίσης υπάρχει και το ουδέτερο στοιχείο που είναι το μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα όπου α+0=0+α = α.
Γενικά η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων είναι πράξη μονότροπη και εσωτερική του συνόλου των τμημάτων και αποτελεί ένα συνολικό ευθύγραμμο τμήμα.
Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:
Αν για παράδειγμα ΑΒ > ΒΓ και ΓΔ > ΔΕ τότε ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΔΕ (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων).
Αν επίσης ΑΒ > ΒΓ τότε συνεπάγεται ότι ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΓΔ (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας).
Αφαίρεση
Έστω ΑΒ > ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα ΚΛ = ΑΒ και ΚΜ = ΓΔ με το σημείο Μ να κείται στο εσωτερικό του ΚΛ. Τότε διαφορά του ΓΔ από το ΑΒ θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα ΜΛ και θα γράφουμε ΜΛ = ΑΒ - ΓΔ.
Πολλαπλασιασμός
Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ επί ένα φυσικό αριθμό, έστω 3, λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ που γίνεται από το ΑΒ αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή ΑΓ = 3ΑΒ
Έστω ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα και ν ένας φυσικός αριθμός. Αν ΚΛ είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο \( {\displaystyle \mathrm {K} \Lambda =\underbrace {\mathrm {A} \mathrm {B} +\cdots +\mathrm {A} \mathrm {B} } _{\nu }} \), τότε λέμε ότι το ΚΛ είναι το ν-πλάσιο γινόμενο του ΑΒ και γράφουμε \( {\displaystyle \mathrm {K} \Lambda =\nu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B} } \), καθώς και ότι το ΑΒ είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο του ΚΛ, και γράφουμε \( {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} ={\frac {1}{\nu }}\mathrm {K} \Lambda } \). Τέλος αν για μ φυσικό αριθμό είναι \( {\displaystyle \Gamma \Delta =\mu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B} } \) τότε μπορούμε να γράψουμε \( {\displaystyle \Gamma \Delta ={\frac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda } \) και το τμήμα ΓΔ ονομάζεται γινόμενο του ρητού αριθμού μ/ν με το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ.
Με τη μέτρηση ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ. Αν ισχύει \( {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} ={\frac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda } \), τότε λέμε ότι το μήκος του ΑΒ ως προς το ΚΛ είναι μ/ν, ή ότι η απόσταση του Α από το Β είναι μ/ν.
Διαίρεση
Πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ δι΄ ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το ΑΒ, όπου και θα ισχύει η σχέση ΑΓ = ΑΒ/3
Δείτε ακόμη
Διάνυσμα
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
