Εικασία όγκου του Ehrhart
αγγλικά : Ehrhart's volume conjecture
γαλλικά :
γερμανικά :
Στη γεωμετρία των αριθμών, η εικασία του όγκου του Ehrhart δίνει ένα ανώτερο όριο στον όγκο ενός κυρτού σώματος που περιέχει μόνο ένα σημείο πλέγματος στο εσωτερικό του. Είναι ένα είδος αντίστροφο με το θεώρημα του Minkowski, το οποίο εγγυάται ότι ένα κεντρικό συμμετρικό κυρτό σώμα K πρέπει να περιέχει ένα σημείο πλέγματος μόλις η ένταση υπερβαίνει το \( {\displaystyle 2^{n}} 2^{n} \). Η εικασία δηλώνει ότι ένα κυρτό σώμα Κ που περιέχει μόνο ένα σημείο δικτυωτού πλέγματος στο εσωτερικό του στο βαρύκεντρο του δεν μπορεί να έχει όγκο μεγαλύτερο από {\ displaystyle (n + 1) ^ {n} / n!}:
\( {\displaystyle \operatorname {Vol} (K)\leq {\frac {(n+1)^{n}}{n!}}.} \)
Η ισότητα επιτυγχάνεται σε αυτήν την ανισότητα όταν το {\ displaystyle {\ displaystyle K = (n + 1) \ Delta _ {n}} είναι ένα αντίγραφο του τυπικού simplex στον Ευκλείδειο χώρο , του οποίου οι πλευρές κλιμακώνονται από έναν παράγοντα n + 1. Ομοίως, το \( {\displaystyle K=(n+1)\Delta _{n}} \) είναι σύμφωνο με το κυρτό κύτος των διανυσμάτων \( {\displaystyle -\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}} \) και \( {\displaystyle n\mathbf {e} _{i}} \). Με αυτόν τον τρόπο, η αρχή είναι το μόνο εσωτερικό σημείο πλέγματος στο κυρτό σώμα Κ.
Η εικασία, επιπλέον, ισχυρίζεται ότι η ισότητα επιτυγχάνεται στην παραπάνω ανισότητα εάν και μόνο εάν το Κ είναι μοναδιαία ισοδύναμο με το \( {\displaystyle (n+1)\Delta _{n}} \).
Ο Έρχαρτ απέδειξε την εικασία στη διάσταση 2 και στην περίπτωση απλουστεύσεων.
βιβλιογραφικές αναφορές
Benjamin Nill; Andreas Paffenholz (2014), "On the equality case in Erhart's volume conjecture", Advances in Geometry, 14 (4): 579–586, arXiv:1205.1270, doi:10.1515/advgeom-2014-0001, ISSN 1615-7168.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
