.
Η Διαφορική γεωμετρία είναι ένας σπουδαίος κλάδος, σχεδόν σύγχρονος της Γεωμετρίας που άρχισε ν΄ αναπτύσσεται περί τον 17ο αιώνα ως μαθηματικός κλάδος του απειροστικού λογισμού. Έχοντας υπόψη ότι η έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης ουσιαστικά είναι ταυτόσημη με αυτή της εφαπτομένης μιας καμπύλης, το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ερμηνεύεται γεωμετρικά ως το εμβαδόν που περικλείουν οι άξονες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Έτσι με εφαρμογή του απειροστικού λογισμού η γεωμετρία καμπυλών και επιφανειών ανέδειξε νέες έννοιες καμπυλότητας.
Πρωτοπόροι
Πρωτοπόροι μαθηματικοί που συνέβαλαν στη ανάπτυξη αυτού του κλάδου ήταν ο Ελβετός Λεονάρδος Όιλερ και ο Γάλλος Γάσπαρ ή Γκασπάρ Μονζ τους οποίου ακολούθησαν ο Γερμανός Φρειδερίκος Γκάους και ο Βερνάρδος Ρήμαν που το 1854 θεμελίωσε τη λεγόμενη "γεωμετρία Ρήμαν" που βασίζεται σε δοσμένη τετραγωνική διαφορική μορφή η οποία υπόψη προσφέρεται και ως μοντέλο του σύμπαντος στη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν.
Ο Μπέρναρντ Ρίμαν πριν γίνει καθηγητής πανεπιστημίου στην έδρα του Γκαίτιγκεν 28 ετών τότε υπέβαλε στον Γκάους τρία θέματα για τη διδακτορική διατριβή του. Ο Γκάους εξέλεξε το τρίτο, ένα σκοτεινό θέμα, που έχει σχέση με τις θεμελιώδεις υποθέσεις κάθε γεωμετρίας. Για να επεξεργασθεί το θέμα ο Ρίμαν χρησιμοποίησε τη σύλληψη μιας μη ευκλείδιας γεωμετρίας που είχε φαντασθεί ο Γκάους για τη μέτρηση των καμπυλών επιφανειών. Από τον συνδυασμό αυτό δημιούργησε ένα μαθηματικό αριστούργημα τη διαφορική γεωμετρία η οποία ανακάλυψε νέες μεθόδους μετρήσεων σε διαστήματα οποιασδήποτε καμπυλότητας και οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων. Θα περάσει μισός αιώνας πριν ο κόσμος αντιληφθεί τη σημασία της ανακάλυψης της γεωμετρίας του Ρίμαν.
Σύγχρονη εφαρμογή
Η σύγχρονη Διαφορική Γεωμετρία βασίζεται ουσιαστικά στην παραδοχή ότι τα αντικείμενα μελέτης της αποτελούν δομικά μια ιδιαίτερη κλάση χώρων που χαρακτηρίζονται πολλαπλότητες οι οποίες φέρουν επιπρόσθετες δομές που προσδιορίζουν τις ιδιότητες εκείνες ώστε να ορίζουν ενότητα. Το όλο θέμα του αντικειμένου της έχει να κάνει ουσιαστικά με συντεταγμένες του χώρου, για τον λόγο αυτό και η τοπολογία ως εργαλείο παίζει ιδιαίτερα σπουδαίο ρόλο.
Βασικά θέματα του κλάδου αυτού είναι: Οι πολλαπλότητες και οι τανυσματικές δέσμες και τα εξ αυτών τανυσματικά πεδία, οι συνοχές μεταξύ ιδιοτήτων (τοπικών και ολικών), ο τύπος Γκάους-Μπονέ, κάποια θεωρήματα, κλάσεις μορφών καμπυλοτήτων καθώς και οι μιγαδικές πολλαπλότητες.
Θεωρία Καμπύλων
* Η έννοια της καμπύλης στη Διαφορική Γεωμετρία,
* εγγύτατο επίπεδο.
* Στρέψη.
* Τύποι Fernet.
* Πρωτεύουσες ευθείες και πρωτεύοντα επίπεδα,
* Τρίεδρο του Frenet.
* Καμπυλότητα
* Κέντρο και κύκλος καμπυλότητας
* Εγγύτατος κύκλος.
* Εγγύτατη σφαίρα.
* Σφαιρική δείκτρια
* Ενειλιγμένες, εξειλιγμένες φυσικές εξισώσεις
* Περιβάλλουσα οικογενειακών γραμμών
* Τάξη επαφής γραμμών
* Ανώμαλα σημεία γραμμών.
* Εφαρμογές στη Φυσική.
Θεωρία Επιφανειών
* Η έννοια της γεωμετρίας του Riemann
* Θεωρία τανυστών.
* Τανυστικές πυκνότητες.
* Εφαρμογές στη Φυσική.
* Παραμετρικές γραμμές επιφάνειας -
* Περιβάλλουσα οικογένειας επιφανειών -
* Αναπτυκτέες επιφάνειες -
* Πρώτη και δεύτερη τετραγωγική μορφή -
* Καμπυλότητα γραμμών επί επιφανείας -
* Γραμμές καμπυλότητας -
* Ασυμπτωτικές γραμμές -
* Γεωδαισιακές γραμμές -
* Δείκτρια του Dupin -
* Κανονική μορφή της εξισώσεως επιφανείας -
* Απεικόνιση επιφανειών και εφαρμογές αυτών -
* Θεώρημα των Gauss-Bonnet.
* Διαφορίσιμα πολυπτύγματα (πολλαπλότητες),
* Εμβαπτίσεις,
* εμφυτεύσεις,
* υποπολυπτύγματα.
* Διανυσματικά πεδία.
* Προσανατολισμός. Χώροι κάλυψης.
* Διαμερισμός της μονάδας.
* Πολυπτύγματα Riemann,
* συνοχή Levi-Civita,
* τανυστής καμπυλότητος,
* γεωδαιτικές. Yποπολυπτύγματα,
* δεύτερη θεμελιώδης μορφή,
* υπερεπιφάνειες,
* Εξίσωση Gauss,
* Εξίσωση Codazzi και
* Εξίσωση Ricci.
Πηγές
Εγκυκλοπαίδεια life
Ξένη βιβλιογραφία
Wolfgang Kühnel (2005). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed. έκδοση). ISBN 0-821-83988-8.
Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (2nd ed. έκδοση). ISBN 0-521-53927-7.
Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (3rd Edition έκδοση).
do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7. Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-48-666721-9. Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry.
McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint.
Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry.
Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed. έκδοση).
Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry.
ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Σε ξένες γλώσσες
B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University
Michael Murray's online differential geometry course, 1996
A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003
Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery
Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry
Modern Differential Geometry for Maple
N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
