Τετραγωνισμός του τετραγώνου
αγγλικά : Quadratic equation
γαλλικά :
γερμανικά :
Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Μερικές φορές αναφέρεται και ως τετραγωνική εξίσωση.
Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:
\( \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,\, \)
όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με
\( \alpha \neq 0\, \)
Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.
Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου
Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση \( {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad } \) στη μορφή \( (ax+b)^{2}=c \) ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.
Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με x2 και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ:
\( {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)=-\gamma \qquad (1)} \)
Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:
\( {\displaystyle (1)\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+2{\frac {\beta }{2\alpha }}x+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}-\,\alpha \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \qquad (2)} \)
και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:
\( {\displaystyle (2)\quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }{4\alpha }}\qquad (3)} \)
Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:
( \( {\displaystyle (3)\quad \iff \quad (2\alpha )^{2}\left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (4)} \)
Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: \( {\displaystyle \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (5)} \)
Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:
\( {\displaystyle (4),(5)\quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\Delta \qquad (6)} \)
Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:
\( {\displaystyle (6)\quad \iff \quad 2\alpha x+\beta =\pm {\sqrt {\Delta }}\quad \iff \quad x={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\qquad (7)} \)
Από την \( {\displaystyle (7)} \) προκύπτει, ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το \( {\displaystyle +{\sqrt {\Delta }}} \) και μία που περιέχει το \( {\displaystyle -{\sqrt {\Delta }}.} \) Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας \( {\displaystyle \Delta ,} \) διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:
Αν Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} {\displaystyle \Delta >0}, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
\( {\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}} \)
\( {\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}} \)
Αν \( {\displaystyle \Delta =0}, \) τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:
\( {\displaystyle x_{\pm }={\frac {-\beta }{2\alpha }}} \)
Αν \( {\displaystyle \Delta <0} \) , τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως \( {\displaystyle \Delta =i^{2}|\Delta |} \) , όπου i η φανταστική μονάδα με \( {\displaystyle i^{2}:=-1} \) και \( {\displaystyle |\Delta |} \) η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα, η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:
\( {\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}} \)
\( {\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}} \)
Από τα παραπάνω συνάγεται, ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει \( \Delta \geq 0 \), επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα \( \Delta \) (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.
Οι τύποι του Βιέτ
Οι τύποι του Βιέτ[1] ( Φρανσουά Βιέτ, François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:
\( x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }} \)
και
\( x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }} \)
Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με P το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:
\( x^{2}-Sx+P=0\ \)
όπου
\( S=x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }} \)
και
\( {\displaystyle P=x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}} \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
