Αβελιανή ανισότητα
αγγλικά : Abel's inequality
γαλλικά :
γερμανικά :
Στα μαθηματικά, η ανισότητα του Abel, που πήρε το όνομά του από τον Niels Henrik Abel, παρέχει μια απλή δέσμευση στην απόλυτη τιμή του εσωτερικού προϊόντος δύο διανυσμάτων σε μια σημαντική ειδική περίπτωση.
Μαθηματική περιγραφή
Έστω τα {a1, a2,...} είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών που είναι είτε αύξουσα ή φθίνουσα και τα {b1, b2, ...} είναι μια ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών. Εάν η {an} είναι φθίνουσα , τότε ισχύει
\( \left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| (|a_n| + a_n - a_1), \)
και αν η {an} είναι αύξουσα , τότε ισχύει
\( \left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| (|a_n| - a_n + a_1), \)
όπου
\( B_k =b_1+\cdots+b_k. \)
Συγκεκριμένα, εάν η ακολουθία {an} είναι φθίνουσα και μη αρνητική, ακολουθεί
\( \left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| a_1, \)
Σχέση με τον μετασχηματισμό του Άμπελ
Η ανισότητα του Abel προκύπτει εύκολα από τον μετασχηματισμό του Abel, ο οποίος είναι η διακριτή έκδοση ολοκλήρωσης ανά μέρη: Εάν τα {a1, a2, ...} και {b1, b2, ...} είναι ακολουθίες πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών, τότε
\( \sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_{k+1} - a_k). \)
βιβλιογραφικές αναφορές
Weisstein, Eric W. "Abel's inequality". MathWorld.
Abel's inequality in Encyclopedia of Mathematics
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
