Άθροιση
αγγλικά : Summation
γαλλικά : Somme (arithmétique)
γερμανικά : Summe
Η Άθροιση είναι η πρόσθεση ενός συνόλου αριθμών. Το αποτέλεσμα της είναι το άθροισμα. Οι "αριθμοί" προς πρόσθεση μπορεί να είναι φυσικοί αριθμοί, μιγαδικοί αριθμοί, πίνακες, ή ακόμη πιο περίπλοκα αντικείμενα. Ένα άπειρο άθροισμα είναι μια λεπτή διαδικασία γνωστή ως σειρά.
Συμβολισμός
Το άθροισμα των 1, 2 και 5 είναι 1 + 2 + 5 = 8. Αφού για την πρόσθεση ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα, δεν παίζει ρόλο αν ερμηνεύουμε το "1 + 2 + 5" ως (1 + 2) + 5 ή ως 1 + (2 + 5). Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, οπότε οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται σε ένα άθροισμα. Η πρόσθεση είναι επίσης αντιμεταθετική πράξη, οπότε η σειρά με την οποία γράφονται οι αριθμοί δεν επηρεάζει το άθροισμα.
Εάν ένα άθροισμα έχει πάρα πολλούς όρους, αντί να γραφτούν όλοι ξεχωριστά, το άθροισμα μπορεί να γραφτεί με ένα σύμβολο αποσιωπητικών, ώστε να σημειωθούν οι παραλειπόμενοι όροι. Κατά αυτό τον τρόπο, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 είναι 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
Τα αθροίσματα μπορούν να αναπαρασταθούν με το σύμβολο της άθροισης, ένα κεφαλαίο σίγμα. Αυτό ορίζεται ως εξής:
\( {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.} \)
Η υπόστιξη δίνει το σύμβολο για μιά μεταβλητή-δείκτη (dummy variable), το i. Εδώ, το i εκπροσωπεί τον δείκτη της άθροισης· το m είναι το κάτω όριο της άθροισης, και το n είναι το πάνω όριο της άθροισης. Άρα, για παράδειγμα:
\( {\displaystyle \sum _{x=2}^{6}x^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90.} \)
Κάποιος συχνά βλέπει γενικεύσεις αυτού του συμβολισμού στην περίπτωση στην οποία παρέχεται μια αυθαίρετη λογική συνθήκη, και το άθροισμα κρίνεται σκόπιμο να αναχθεί σε όλες τις τιμές που αντιπροσωπεύουν την συνθήκη. Για παράδειγμα, το:
\( {\displaystyle \sum _{0\leq x<100}f(x)} \)
είναι το άθροισμα της f(x) για όλους τους (ακέραιους) αριθμούς x στον συγκεκριμένο διάστημα, το
\( {\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)} \)
είναι το άθροισμα της f(x) για όλους τους ακέραιους αριθμούς x σε ένα σύνολο S, και το
\( {\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)} \)
είναι το άθροισμα της μ(d) για όλους τους ακέραιους αριθμούς d που διαιρούν τον n.
Υπάρχουν επίσης τρόποι για την γενίκευση της χρήσης των διαφόρων συμβόλων σίγμα. Για παράδειγμα, το
\( {\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}} \)
είναι το ίδιο με το
\( {\displaystyle \sum _{\ell }\sum _{\ell '}.} \)
Υπολογιστικός συμβολισμός
Τα αθροίσματα μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν σε μια προγραμματιστική γλώσσα. Το ∑ i = m n x i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}} {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}}
υπολογίζεται από το ακόλουθο πρόγραμμα σε C / C++ / Javascript:
sum=0;
for(i=m; i<=n; i++)
sum += x[i];
και το ακόλουθο πρόγραμμα σε Pascal:
sum:=0;
for i:=m to n do
sum:=sum+x[i];
ή, απλούστερα, σε Ψευδοκώδικα:
sum ← 0
ΓΙΑ i ΑΠΟ m ΕΩΣ n ΕΠΑΝΑΛΑΒΕ
sum ← sum+x[i]
ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
Ειδικές περιπτώσεις
Είναι δυνατό να προστεθούν λιγότεροι από 2 αριθμοί:
Αν προστεθεί ο μόνος όρος x, τότε το άθροισμα είναι x.
Αν προστεθούν μηδενικοί όροι, τότε το άθροισμα είναι μηδέν, αφού το μηδέν είναι ο ουδέτερος όρος (identity element) για την πρόσθεση. Αυτό είναι γνωστό σαν το κενό άθροισμα.
Αυτές οι εκφυλισμένες περιπτώσεις συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο όταν ο συμβολισμός της πρόσθεσης δίνει ένα εκφυλισμένο αποτέλεσμα σε μια ειδική περίπτωση. Για παράδειγμα, αν m = n στον παραπάνω ορισμό, τότε υπάρχει μόνο ένας όρος στο άθροισμα· αν m = n + 1, τότε δεν υπάρχει κανένας.
Προσέγγιση με ορισμένα ολοκληρώματα
Πολλές τέτοιες προσεγγίσεις μπορούν να ανακτηθούν από την ακόλουθη σύνδεση μεταξύ αθροισμάτων και ολοκληρωμάτων, η οποία ισχύει για κάθε αύξουσα συνάρτηση f.
\( {\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds.} \)
Για πιό γενικές προσεγγίσεις, βλέπε Τύπος Euler-Maclaurin.
Για συναρτήσεις οι οποίες είναι ολοκληρώσιμες στο διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} [a,b], το Ρημάνειο άθροισμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση του ορισμένου ολοκληρώματος. Για παράδειγμα, ο ακόλουθος τύπος είναι το Ρημάνειο άθροισμα με ίση κατάτμηση του διαστήματος:
\( {\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\,dx.} \)
Η ακρίβεια μια τέτοιας προσέγγισης αυξάνει με τον αριθμό n των υποδιαστημάτων.
Ταυτότητες
Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες ταυτότητες:
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x=nx} \)
\( {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}} \)
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}} \)(βλέπε αριθμητικές σειρές)
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} \)
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}} \)
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}} \)
όπου B k {\displaystyle B_{k}} {\displaystyle B_{k}} είναι ο k-οστός αριθμός Bernoulli.
\( {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-x^{m}}{x-1}}} \)(βλέπε γεωμετρικές σειρές)
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}} \) (ειδική περίπτωση της παραπάνω όπου m = 0)
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}} \)(βλέπε δυωνυμικός συντελεστής)
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}} \)
\( {\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}\right)\left(\sum _{j}b_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}} \)
\( {\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}\right)^{2}=2\sum _{i}\sum _{j<i}a_{i}a_{j}+\sum _{i}a_{i}^{2}} \)
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Θεωρούμε το σύνολο
\( {\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},\ldots )|x_{i}\in \mathbb {K} ,i\in \mathbb {N} \}.} \)
Ορίζουμε το μηδενικό διάνυσμα \( {\displaystyle {\tilde {0}}\in \mathbb {K} ^{\infty }} \) ώστε \( {\displaystyle {\tilde {0}}=(0,0,\ldots )} \)
Οι πράξεις οριζόνται κατά συνιστώσα: εάν \( {\displaystyle {\tilde {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots )} \) , \( {\displaystyle {\tilde {y}}=(y_{1},y_{2},\ldots )} και z ~ = ( z 1 , z 2 , … ) {\displaystyle {\tilde {z}}=(z_{1},z_{2},\ldots )} {\displaystyle {\tilde {z}}=(z_{1},z_{2},\ldots )} \)
τότε για κάθε \( {\displaystyle {\tilde {x}},{\tilde {y}},{\tilde {z}}\in \mathbb {K} ^{\infty }} \) :
\( {\displaystyle {\tilde {0}}\dotplus {\tilde {0}}={\tilde {0}}\dotplus (-{\tilde {0}})={\tilde {0}}.} \)
\( {\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {0}}\dotplus {\tilde {x}}={\tilde {x}}\dotplus {\tilde {0}}=(x_{1}+0,x_{2}+0,\ldots ).} \)
\( {\displaystyle {\tilde {x}}\dotplus {\tilde {y}}={\tilde {y}}\dotplus {\tilde {x}}=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ).} \)
\( {\displaystyle ({\tilde {x}}\dotplus {\tilde {y}})\dotplus {\tilde {z}}={\tilde {x}}\dotplus ({\tilde {y}}\dotplus {\tilde {z}}).} \)
\)
\( {\displaystyle {\tilde {x}}\dotplus (-{\tilde {x}})={\tilde {0}}.}
Για κάθε \( {\displaystyle a\in \mathbb {K} } \)
\( {\displaystyle a\cdot ({\tilde {x}}\dotplus {\tilde {y}})=a\cdot {\tilde {x}}\dotplus a\cdot {\tilde {y}}.} \)
Επίσης, τα αθροίσματα διανυσμάτων \( {\displaystyle {\tilde {x}}_{i}} \) στο \( {\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty },} \) ορίζοται ως
\( {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }{\tilde {x}}_{i}={\tilde {x}}_{1}\dotplus {\tilde {x}}_{2}\dotplus \cdots \dotplus {\tilde {x}}_{n}\dotplus \cdots .} \)
\( {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }{\tilde {x}}_{i}\dotplus {\tilde {y}}_{i}=\sum _{i\in \mathbb {N} }{\tilde {y}}_{i}\dotplus {\tilde {x}}_{i}=({\tilde {x}}_{1}\dotplus {\tilde {y}}_{1})\dotplus ({\tilde {x}}_{2}\dotplus {\tilde {y}}_{2})\dotplus \cdots \dotplus ({\tilde {x}}_{n}\dotplus {\tilde {y}}_{n})\dotplus \cdots .} \)
\( {\displaystyle \left(\sum _{i\leq N}{\tilde {x}}_{i}\right)\dotplus \left(\sum _{j\leq N}{\tilde {y}}_{j}\right)=\sum _{i,j\leq N}({\tilde {x}}_{i}\dotplus {\tilde {y}}_{j}).} \)
Μια δυναμοσειρά μεταβλητής t με συντελεστές στο \( {\mathbb {K}} \) είναι ένα τυπικό άθροισμα
\( {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}t^{i},} \) όπου \( ,i\in \mathbb {N} _{0}.} \)
Η πρόσθεση δυναμοσειρών, ορίζονται ως εξής
\( {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}t^{i}\right)\dotplus \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}t^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}\dotplus b_{k})t^{k}.} \)
Ρυθμοί αύξησης
Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες προσεγγίσεις (χρησιμοποιώντας συμβολισμό theta):
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})} \) για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του -1
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)} \)
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})} \) για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του 1
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})} \) για μη αρνητικό πραγματικό αριθμό c
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})} \) για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς c, d
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})} \) για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς b > 1, c, d
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
