Αρχική ρίζα modulo n
αγγλικά : Primitive root modulo n
γαλλικά : Racine primitive modulo n
γερμανικά : Primitivwurzel
Στην Αριθμητική υπολοίπων, ένας κλάδος της θεωρίας αριθμών, ο αριθμός g είναι μια Αρχική ρίζα modulo n εάν κάθε αριθμός σχετικά πρώτος στο n είναι ισουπόλοιπος με την δύναμη του g modulo n. Δηλαδή, g είναι μια αρχική ρίζα modulo n εάν για κάθε ακέραιο ένα σχετικά πρώτο στο n, υπάρχει ένας ακέραιος k έτσι ώστε gk ≡ a (mod n). Μια τέτοια τιμή k ονομάζεται δείκτης ή διακριτός λογάριθμος του α προς τη βάση g mod n. Σημειώστε ότι το g είναι μια Αρχική ρίζα modulo n εάν και μόνο εάν το g είναι γεννήτρια της πολλαπλασιαστικής ομάδας ακέραιων mod n.
Ο g είναι αρχική ρίζα modulo n ακριβώς τότε όταν οι δυνάμεις g, g2 ,..., gφ(n) αποτελούν ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων των πρώτων κλάσεων υπολοίπων modn.
Ο Gauss καθόρισε τις Αρχικές ρίζες στο άρθρο 57 του Disququises Arithmeticae (1801), όπου αναγνώρισε τον Euler με την επινόηση του όρου. Στο άρθρο 56 ανέφερε ότι ο Lambert και ο Euler τους γνώριζαν, αλλά ήταν ο πρώτος που απέδειξε αυστηρά ότι οι Αρχικές ρίζες υπάρχουν για έναν πρώτο αριθμό n. Στην πραγματικότητα, οι Disquisitiones περιέχουν δύο αποδείξεις: αυτή στο άρθρο 54 είναι απόδειξη μη δημιουργικής ύπαρξης, ενώ το άλλο στο άρθρο 55 είναι απόδειξη δημιουργική.
Παραδειγμα ο 3 είναι Αρχική ρίζα modulo 7, επειδή 3 ≡ 31 (mod 7), 2 ≡ 32 (mod 7), 6 ≡ 33 (mod 7), 4 ≡ 34 (mod 7), 5 ≡ 35 (mod 7), 1 ≡ 36 (mod 7),
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
