Απεικόνιση Ikeda

Απεικόνιση Ikeda
αγγλικά : Ikeda map
γαλλικά :
γερμανικά :

Στη φυσική και τα μαθηματικά, η απεικόνιση Ikeda είναι ένα δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου που δίνεται από την μιγαδική απεικόνιση

\( z_{{n+1}}=A+Bz_{n}e^{{i(|z_{n}|^{2}+C)}} \)

Η αρχική απεικόνιση προτάθηκε πρώτα από τον Kensuke Ikeda ως μοντέλο φωτός που διασχίζει ένα μη γραμμικό οπτικό αντηχείο (κοιλότητα δακτυλίου που περιέχει ένα μη γραμμικό διηλεκτρικό μέσο) σε μια πιο γενική μορφή. Μειώνεται στην παραπάνω απλουστευμένη "κανονική" μορφή από τους Ikeda, Daido και Akimoto \( z_{n} \) σημαίνει το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στον αντηχείο στο n-οστό βήμα της περιστροφής στον αντηχείο και το A και C είναι παράμετροι που χαρακτηρίζουνε το φως λέιζερ που εφαρμόζεται από το εξωτερικό και την γραμμική φάση κατά μήκος του αντηχείου, αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, η παράμετρος \( B\leq 1 \) ονομάζεται μη διατηρητική παράμετρος που χαρακτηρίζει την απώλεια αντηχείου και στο όριο του B = 1 η απεικόνιση Ikeda γίνεται συντηρητική απεικόνιση.

Η αρχική απεικόνιση Ikeda χρησιμοποιείται συχνά σε άλλη τροποποιημένη μορφή προκειμένου να ληφθεί υπόψη το φαινόμενο κορεσμού του μη γραμμικού διηλεκτρικού μέσου:

\( z_{{n+1}}=A+Bz_{n}e^{{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}} \) \)

Ένα 2D πραγματικό παράδειγμα της παραπάνω μορφής είναι:

\( x_{{n+1}}=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n}),\, \)

\( y_{{n+1}}=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}),\, \)

όπου u είναι μια παράμετρος και

\( t_{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}. \)

Για το \( u\geq 0.6, \), αυτό το σύστημα διαθέτει χαοτικό ελκυστήρα.

Οι τροχιές 2000 τυχαίων σημείων σε μια απεικόνιση Ikeda με u = 0,918.

u = 0.7 , u = 0.9

Κωδικός Octave/MATLAB

% u = ikeda parameter
% option = what to plot
%  'trajectory' - plot trajectory of random starting points
%  'limit' - plot the last few iterations of random starting points
function ikeda(u, option)
    P = 200; % how many starting points
    N = 1000; % how many iterations
    Nlimit = 20; % plot these many last points for 'limit' option
 
    x = randn(1, P) * 10; % the random starting points
    y = randn(1, P) * 10;
 
    for n = 1:P,
        X = compute_ikeda_trajectory(u, x(n), y(n), N);
     
        switch option
            case 'trajectory' % plot the trajectories of a bunch of points
                plot_ikeda_trajectory(X); hold on;
             
            case 'limit'
                plot_limit(X, Nlimit); hold on;
             
            otherwise
                disp('Not implemented');
        end
    end
 
    axis tight; axis equal
    text(- 25, - 15, ['u = ' num2str(u)]);
    text(- 25, - 18, ['N = ' num2str(N) ' iterations']);
end

% Plot the last n points of the curve - to see end point or limit cycle
function plot_limit(X, n)
    plot(X(end - n:end, 1), X(end - n:end, 2), 'ko');
end

% Plot the whole trajectory
function plot_ikeda_trajectory(X)
    plot(X(:, 1), X(:, 2), 'k');
    % hold on; plot(X(1,1),X(1,2),'bo','markerfacecolor','g'); hold off
end

% u is the ikeda parameter
% x,y is the starting point
% N is the number of iterations
function [X] = compute_ikeda_trajectory(u, x, y, N)
    X = zeros(N, 2);
    X(1, :) = [x y];
 
    for n = 2:N
     
        t = 0.4 - 6 / (1 + x ^ 2 + y ^ 2);
        x1 = 1 + u * (x * cos(t) - y * sin(t));
        y1 = u * (x * sin(t) + y * cos(t));
        x = x1;
        y = y1;
     
        X(n, :) = [x y];
     
    end
end

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License