Αναπαράσταση ομάδας

Αναπαράσταση ομάδας
αγγλικά : Group representation
γαλλικά :
γερμανικά :

Στο μαθηματικό πεδίο της θεωρίας αναπαράστασης, οι αναπαραστάσεις ομάδας περιγράφουν αφηρημένες ομάδες με όρους αμφίδρομων γραμμικών μετασχηματισμών (δηλαδή αυτομορφισμών) διανυσμάτων χώρων. Ειδικότερα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση στοιχείων ομάδας ως αντιστρέψιμων πινάκων έτσι ώστε η πράξη της ομάδας να μπορεί να αναπαρασταθεί με πολλαπλασιασμό πίνακα. Οι αναπαραστάσεις των ομάδων είναι σημαντικές επειδή επιτρέπουν τη μείωση πολλών θεωρητικών προβλημάτων σε προβλήματα γραμμικής άλγεβρας, η οποία είναι καλά κατανοητή. Είναι επίσης σημαντικά στη φυσική γιατί, για παράδειγμα, περιγράφουν πώς η ομάδα συμμετρίας ενός φυσικού συστήματος επηρεάζει τις λύσεις εξισώσεων που περιγράφουν αυτό το σύστημα..

Παράδειγμα

Έδτω ο μιγαδικός αριθμό u = e^{2πi / 3} που έχει την ιδιότητα u³ = 1. Η κυκλική ομάδα C₃ = {1, u, u²} έχει μια αναπαράσταση ρ στο C² που δίνεται από:

\( \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}. \)

Αυτή η αναπαράσταση είναι πιστή επειδή το ρ είναι μια προς μια απεικόνιση .

Μια άλλη αναπαράσταση για το C₃ στο C²,, ισομορφική με την προηγούμενη, είναι σ που δίνεται από:


\( {\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.} \)

Η ομάδα C₃ μπορεί επίσης να εκπροσωπηθεί πιστά στο R² από τ που δίνεται από:

\( {\displaystyle \tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}} \)

όπου

\( a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}. \)

Θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License