.

Αναμενόμενη τιμή
αγγλικά : Expected value
γαλλικά : Espérance mathématique
γερμανικά : Erwartungswert

Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής X συμβολίζεται συνήθως με $E(X),\; \mu X_$ ή $\mu.$

Ορισμός

Η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας. Έστω ο χώρος πιθανότητας $(\Omega, \mathcal F, P)$ και ο μετρήσιμος χώρος $(\bar \mathbb R, \mathcal B)$ , όπου $\bar \mathbb R = \mathbb R \cup\{-\infty,\infty\}$ και $\mathcal B$ η Borel σ-άλγεβρα. Αν η $\,X$ είναι P- ολοκληρώσιμη, τότε η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως

$E(X) = \int_\Omega X \, dP = \int_\Omega X(\omega)P(d\omega)\,$ .

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές

Έστω $\,X$ μία διακριτή ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές $x_i, i \in N, N \sub \N$ με αντίστοιχες πιθανότητες $\,p_i=P(X=x_i)$ . Η αναμενόμενη τιμή της μεταβλητής είναι:

$E(X)=\sum_{i \in N}x_ip_i.$

Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:

$\sum_{i \in N}|x_i|p_i<\infty.$

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Έστω $\,X$ μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $\,f(x)$ η αναμενόμενη της τιμή είναι:

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx\,.$

Ιδιότητες

Έστω $\,X$ μία ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή και $a,b \in \mathbb{R}:$

$\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,.$

Έστω \(\,X, Y ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

$\operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,.$

Έστω $\,X, Y$ δύο ανεξάρτητες ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές: