.

Αναμενόμενη τιμή
αγγλικά : Expected value
γαλλικά : Espérance mathématique
γερμανικά : Erwartungswert

Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής X συμβολίζεται συνήθως με \(E(X),\; \mu X_ \) ή \( \mu. \)

Ορισμός

Η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας. Έστω ο χώρος πιθανότητας \( (\Omega, \mathcal F, P) \) και ο μετρήσιμος χώρος \((\bar \mathbb R, \mathcal B) \) , όπου \(\bar \mathbb R = \mathbb R \cup\{-\infty,\infty\} \) και \(\mathcal B \) η Borel σ-άλγεβρα. Αν η \( \,X \) είναι P- ολοκληρώσιμη, τότε η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως

\( E(X) = \int_\Omega X \, dP = \int_\Omega X(\omega)P(d\omega)\, \) .

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές

Έστω \(\,X \) μία διακριτή ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές \( x_i, i \in N, N \sub \N \) με αντίστοιχες πιθανότητες \(\,p_i=P(X=x_i) \) . Η αναμενόμενη τιμή της μεταβλητής είναι:

\( E(X)=\sum_{i \in N}x_ip_i. \)

Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:

\( \sum_{i \in N}|x_i|p_i<\infty. \)

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Έστω \( \,X \) μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας \( \,f(x) \) η αναμενόμενη της τιμή είναι:

\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx\,. \)

Ιδιότητες

Έστω \( \,X \) μία ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή και \( a,b \in \mathbb{R}: \)

\( \operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,. \)

Έστω \(\,X, Y ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

\( \operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,. \)

Έστω \( \,X, Y \) δύο ανεξάρτητες ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές: