Αλλαγή Βάσης
αγγλικά : Change of basis
γαλλικά :
γερμανικά :
Η αλλαγή βάσης ή ο μετασχηματισμός βάσης είναι ένας όρος από τον μαθηματικό κλάδο της γραμμικής άλγεβρας. Περιγράφει τη μετάβαση μεταξύ δύο διαφορετικών βάσεων ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένων διαστάσεων σε ένα σώμα Κ. Αυτό αλλάζει γενικά τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και τους πίνακες απεκόνισης των γραμμικών απεικονίσεων. Επομένως, μια αλλαγή βάσης είναι μια ειδική περίπτωση μετασχηματισμού συντεταγμένων.
Η αλλαγή βάσης μπορεί να περιγραφεί από έναν πίνακα που ονομάζεται πίνακας αλλαγής βάσης, πίνακας μετασχηματισμού ή πίνακας μετάβασης. Αυτό μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των συντεταγμένων για τη νέα βάση. Εάν τα διανύσματα βάσης της παλαιάς βάσης παρουσιάζονται ως γραμμικοί συνδυασμοί των διανυσμάτων της νέας βάσης, τότε οι συντελεστές αυτών των γραμμικών συνδυασμών σχηματίζουν τα στοιχεία του πίνακα αλλαγής βάσης.
Έστω ένα διάνυσμα \( v\in V \) σε σχέση με τη βάση ( B = (b_1, \dots, b_n) \) έχει τις συντεταγμένες \( x_{1},\dots ,x_{n} \), δηλαδή
\( v = x_1 b_1 + x_2 b_2+ \dots + x_n b_n = \sum_i x_i \, b_i, \)
και σε σχέση με τη νέα βάση \( B' = (b_1', \dots, b_n') \) οι συντεταγμένες είναι \( x_1', \dots, x_n' \), δηλαδή
\( v = x_1{}' b_1{}' + x_2{}' b_2{}'+ \dots + x_n{}' b_n{}' =\sum_j x_j{}' \,b_j{}'. \)
Εάν, όπως παραπάνω, τα διανύσματα \( b_{j} \) της παλιάς βάσης παρουσιάζονται ως γραμμικός συνδυασμός της νέας βάσης, έχουμε
\( v = \sum_j x_j b_j = \sum_j x_j \sum_i a_{ij} \,b_i{}' = \sum_i \left(\sum_j a_{ij} \, x_j\right) b_i{}' \)
Τα \( a_{ij} \) είναι τα στοιχέια του πίνακα αλλαγής βάσης \( T_{B'}^{B} \) που ορίζεται παραπάνω.
Συγκρίνοντας τους συντελεστές έχουμε
\( x_i{}' = \sum_{j=1}^n a_{ij} \, x_j, \)
\( {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}{}'\\\vdots \\x_{n}{}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} \)
ή σύντομα:
\( x{}' = T_{B'}^B \,x \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
