Mittelalterliches Portrait Euklids von Alexandria

Euklid von Alexandria (griech. Eukleides) war ein griechischer Mathematiker, der im dritten Jahrhundert vor Christus in Alexandria lebte. Sein berühmtestes Werk ist "die Elemente", ein Buch, in dem er die Eigenschaften von geometrischen Objekten und ganzen Zahlen aus einer Menge von Axiomen (Elementaraussagen) herleitet und in dem er das mathematische Wissen seiner Zeit zusammengetragen hat. Damit nahm er die axiomatische Methode der modernen Mathematik vorweg. Viele der Resultate, die Euklid in den Elementen präsentiert, stammen von früheren Mathematikern - eine seiner Leistungen besteht aber eben auch darin, dass er sie sammelte und in einer einheitlichen Form darstellte. Als historische Persönlichkeit ist Euklid nicht gesichert; so gibt es auch die These, dass die Elemente nicht von einer Person, sondern von einem Expertenkreis kompiliert wurden (vgl. Homer, Bourbaki).

Die Elemente waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts.

Euklid von Alexandria

Neben der Behandlung der Geometrie enthalten Euklids Elemente auch die Anfänge der Zahlentheorie, wie die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers sowie auch einen Algorithmus, um ihn zu bestimmen, den euklidischen Algorithmus. Euklid weist auch nach, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (Satz von Euklid) und dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist (Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2).

Das bekannte fünfte Axiom der Euklidischen Geometrie, das Parallelen-Axiom, fordert, dass für jede beliebige Gerade und für jeden beliebigen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, eine eindeutige Gerade existiert, die durch diesen Punkt geht und die erste Gerade nicht schneidet.

Man hat lange Zeit angenommen, dass man das Parallelen-Axiom aus den anderen Axiomen herleiten kann. Im 19. Jahrhundert fanden János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski jedoch heraus, dass auch die Negation dieses Axioms in sich konsistente so genannte nichteuklidische Geometrien liefert. Diese wurden unter anderem durch Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski und Bernhard Riemann weiterentwickelt.

Ende des 19. Jahrhunderts entdeckten Mathematiker wie Moritz Pasch Lücken im Euklidischen Axiomensystem. David Hilbert behob diese Mängel 1899 in seinem epochemachenden Werk "Grundlagen der Geometrie".

Euklidische Algorithmus

Der euklidische Algorithmus ist der älteste bekannte nicht-triviale Algorithmus. Das Verfahren wurde von Euklid um 300 v. Chr. in seinem Werk „Die Elemente“ (Buch VII, Proposition 1 und 2) beschrieben. Er nannte es antepheiresis (Wechselwegnahme) und formulierte es als geometrisches Problem: Er suchte ein gemeinsames „Maß“ zweier Strecken. Das Verfahren wurde jedoch wahrscheinlich nicht von Euklid erfunden, sondern war schon bis zu 200 Jahre früher bekannt. Es war mit annähernder Sicherheit Eudoxos von Knidos (um 375 v. Chr.) bekannt und auch Aristoteles (um 330 v. Chr.) wies auf dieses Verfahren in seinem Werk „Topik“ (158b, 29-35) hin.[1]

Der klassische Algorithmus

Wenn CD aber AB nicht misst, und man nimmt bei AB, CD abwechselnd immer das kleinere vom größeren weg, dann muss (schließlich) eine Zahl übrig bleiben, die die vorangehende misst.

(Aus Euklid, Die Elemente, Herausgegeben von Clemens Thaer, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, VII Buch, §2)

Das Prinzip des euklidischen Algorithmus wird auch gegenseitige Wechselwegnahme genannt.

Wie aus dem obigen Zitat ersichtlich formulierte Euklid das Problem seinerzeit geometrisch. Er suchte nach einem gemeinsamen „Maß“ für die Längen zweier Linien. Euklid löste das Problem, indem er wiederholt die kleinere der beiden Längen von der größeren abzog.

Zitate

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Literatur

• Euklid: Die Elemente. Bücher I-XIII. Hrsg. u. übs. v. Clemens Thaer. Frankfurt a.M.: Harri Deutsch, 4. Aufl. 2003. (= Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235.) (die Übersetzung erschien zuerst 1933-1937) ISBN 3-8171-3413-4
  
• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-22471-8 (S.49-65) - Die Elemente Euklids und andere Schriften sowie im weiteren Verlauf des Buches deren Kontext und Rezeption in der weiteren Entwicklung der Geometrie.
  
• Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der "Elemente" des Euklid um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke 16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.

Weblinks

• Euclid's Elements (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html)
  
• http://www.anderegg-web.ch/phil/euklid.htm
  
• http://www.dynageo.de/ Geometrie-Software zur Erstellung dynamischer Konstruktionen