Euklid führte einen Beweis dafür, dass die Quadratwurzel von 2 eine irrationale Zahl ist. Der (hier angeführte) Beweis stammt von Euklid aus Buch X in den Elementen. Irrationale Zahlen waren aber vermutlich schon den Pythagoreern bekannt. Das Weltbild der Pythagoreer, die die Zahl als das Maß aller Dinge betrachteten, war durch die Entdeckung der Irrationalität in Frage gestellt.

Ein geometrischer Beweis dafür, dass Diagonale und Seite im Quadrat oder im regelmäßigen Fünfeck keine gemeinsame Maß-Teilstrecke haben können, war bereits etwa 100 Jahre vorher von Hippasos entdeckt worden.

Der zahlentheoretische Beweis Euklids wird indirekt durch Widerspruch geführt.

Behauptung

Die Quadratwurzel von 2 ist eine irrationale Zahl.

Beweis

Die Beweisführung ist indirekt, d.h. es wird gezeigt, dass die Annahme des Gegenteils zu einem Widerspruch führt (lateinisch: reductio ad absurdum).

Wir nehmen also an, dass die Quadratwurzel von 2 rational ist. In anderen Worten: Es existiert ein Bruch P / Q , dessen Quadrat 2 ist.

Falls Zähler und Nenner des Bruchs einen gemeinsamen Teiler haben, kann der Bruch durch diesen Teiler gekürzt werden. Es gibt also zwei teilerfremde natürliche Zahlen p und q für die gilt:

( p / q )² = 2

oder umgeformt

p² = 2q²

Da die rechte Seite der Gleichung gerade ist, ist auch die linke Seite p² gerade. Daraus folgt, dass bereits die Zahl p gerade ist.

Wir bezeichnen die ganze Zahl ( p / 2 ) als r und erhalten

2q² = p² = (2r)² = 4r²

und hieraus nach der Division durch 2

q² = 2r².

Mit der gleichen Argumentation wie zuvor folgt, dass q² und damit auch q gerade Zahlen sind.

Der Bruch kann durch 2 gekürzt werden bzw. 2 ist ein gemeinsamer Teiler von p und q. Dies ist ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung, dass p und q teilerfremd sind.

Die Annahme, die Behauptung wäre falsch, führt also zu einem Widerspruch. Damit ist die Behauptung richtig und der Beweis ist abgeschlossen.