.
Η τροχαλία (Pulley) ειναι κυκλικός δίσκος περιστρεφόμενος γύρω από άξονα διερχόμενο από το κέντρο του δίσκου και κάθετο στο επίπεδό του. Ο άξονας αυτός συνήθως είναι γερά συνδεμένος με το δίσκο και στηρίζεται στη λεγόμενη τροχαλιοθήκη. Κατά μήκος της περιφέρειας της τροχαλίας υπάρχει αυλάκι (λαιμός), εντός του οποίου διέρχεται σκοινί ή συρματόσχοινο ή αλυσίδα ή ιμάντας, στα άκρα του οποίου εφαρμόζεται δύναμη ή αντίσταση. Χρησιμεύει για την έλξη ή την ανύψωση βαρών και διακρίνεται σε δύο είδη κύρια είδη: στην πάγια και στην ελεύθερη τροχαλία.
Τροχαλίες, Λεονάρντο ντα Βίντσι
Η πάγια τροχαλία έχει μόνιμο άξονα και διευκολύνει την ανύψωση βαρών μόνο με την αλλαγή της διεύθυνσης της ελκτικής δύναμης που χρειάζεται γι' αυτό και όχι με τη μείωση της απαιτουμένης δύναμης. Αντίθετα, η ελεύθερη τροχαλία έχει άξονα που μετατίθεται στο χώρο. Σ' αυτήν το προς ανύψωση βάρος εξαρτάται από την τροχαλιοθήκη με άγκιστρο: το ένα άκρο του σχοινιού στερεώνεται ακλόνητα, ενώ στο άλλο εφαρμόζεται η ανυψωτική δύναμη. Στην ελεύθερη τροχαλία επιτυγχάνεται μείωση της απαιτουμένης δύναμης κατά το μισό του ανυψούμενου βάρους. Με συνδυασμό παγίων κι ελευθέρων τροχαλιών σχηματίζονται τα πολύσπαστα.
Σύστημα ιμάντα-τροχαλίας
Στο σχήμα φαίνεται σύστημα μετάδοσης με δύο τροχαλίες συνδεδεμένες με ιμάντα. Το μήκος του ιμάντα με βάση τις διαμέτρους τροχαλιών και τη μεταξύ τους απόσταση δίνεται από τη σχέση
\( L=2a + \frac{\pi}{2}(D1+D2)+\frac{(D2-D1)^2}{4a} \)
(Απόδειξη)
Μήκος ιμάντα σε ζεύγος τροχαλιών
Έστω το παρακάτω σχήμα ζεύγους τροχαλιών:
Σχήμα
Για πολύ μικρές γωνίες θ μπορούμε να πούμε ότι ισχύει προσεγγιστικά:
\( \theta\approx\sin \theta= \frac{D2-D1}{2a} \)
Σύμφωνα με το σχήμα για τις γωνίες α1 και α2 ισχύει:
\( \alpha1= \pi-2\theta= \pi -\frac{D2-D1}{a} \)
\( \alpha2= \pi+2\theta= \pi +\frac{D2-D1}{a} \)
οπότε το συνολικό μήκος L του ιμάντα θα είναι: \( L=\widehat{ab}+2bc+\widehat{cd} \)
όπου
\( \widehat{ab}= (\pi -\frac{D2-D1}{a})\frac{D1}{2} και \widehat{cd}= (\pi +\frac{D2-D1}{a})\frac{D2}{2} \)
άρα έχουμε:
\( \widehat{ab}+\widehat{cd}=\frac{\pi}{2}(D1+D2)+ \frac{(D2-D1)^2}{2a} \)
Για το τμήμα bc ισχύει: \( bc=a\cdot cos\theta \)
Ισχύει όμως:
\( cos\theta=(1-sin^2\theta)^\frac{1}{2}\approx(1-\theta^2)^\frac{1}{2}= 1 - \frac{1}{2}\theta^2 + ... \)
Η τελευταία ισότητα προκύπτει από σειρά Taylor για \mid x\mid\ll 1 που είναι:
\( (1+x)^\frac{1}{2}=1+ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2\cdot4}x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6}x^3 - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8}x^4+ ... \)
oπότε αν λάβουμε υπόψην μόνο τους δύο πρώτους όρους της σειράς, θα έχουμε: \( cos\theta=1-\frac{(D2-D1)^2}{8a^2}
Σύμφωνα με τα προηγούμενα το τμήμα 2bc θα είναι:
\( 2bc=2acos\theta=2a(1-\frac{(D2-D1)^2}{8a^2})=2a -\frac{(D2-D1)^2}{4a} \)
Επομένως το μήκος του ιμάντα θα δίνεται από τη σχέση:
\( L=2a + \frac{\pi}{2}(D1+D2)+\frac{(D2-D1)^2}{4a} \)
LP Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το αντίστοιχο λήμμα της Live-Pedia. (ιστορικό).
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
