Στην οπτική, ο αριθμός διαφράγματος ανοίγματος (ή αριθμός #F) είναι ο λόγος της ενεργής εστιακής απόστασης προς τη διάμετρο της κόρης εισόδου.[1] Είναι ένας αδιάστατος αριθμός, που εκφράζει ποσοτικά το μέγεθος της μέγιστης διαμέτρου του διαφράγματος του φακού και τελικά τον φωτισμό του ειδώλου.
Ορισμός
Ο αριθμός #F δίνεται από τον τύπο F = f D {\displaystyle F={\frac {f}{D}}} όπου f f είναι η εστιακή απόσταση και D D είναι η διάμετρος της κόρης εισόδου.[1] Για παράδειγμα,αν το εστιακό μήκος ενός φακού είναι 10 mm και η διάμετρος της κόρης εισόδου του ειναι 5mm,τότε ο αριθμός f f είναι 2 και το μέγεθος του ανοίγματος θα πρέπει να εκφράζεται ως f/2 . Όσο μεγαλώνει ο αριθμός #F, αγνοώντας τις διαφορές στην διαπερατότητα, ένας φακός σχηματίζει όλο και σκοτεινότερα είδωλα. Αναλυτικότερα η φωτεινότητα του ειδώλου είναι αντιστρόφος ανάλογη του τετραγώνου του αριθμού #F. Διπλασιάζοντας τον αριθμό #F μειώνεται η σχετική φωτεινότητα στο ένα τέταρτο, έτσι για να διατηρήσουμε την ίδια φωτογραφική έκθεση ο χρόνος έκθεσης θα πρέπει να τετραπλασιαστεί. Οι περισσότεροι φακοί έχουν ένα ρυθμιζόμενο διάφραγμα (ίριδα), το οποίο αλλάζει το μέγεθος του διαφράγματος ανοίγματος, και συνεπώς το μέγεθος της κόρης εισόδου. Η διάμετρος της κόρης της εισόδου δεν είναι απαραίτητα ίση με τη διάμετρο του διαφράγματος ανοίγματος, λόγω των μεγενθυντικών ιδιοτήτων των στοιχείων του φακού τα οποία βρίσκονται μπροστά από το διάφραγμα. Για παράδειγμα, ένας φακός f/4 εστιακής απόστασης 100 mm έχει διάμετρο της κόρης εισόδου 25 mm, ενώ ένας φακός f/4 εστιακής απόστασης 200 mm έχει διάμετρο της κόρης εισόδου 50 mm. Ο φακός με διάμετρο 50 mm (εστιακή απόσταση 200 mm) συλλέγει τετραπλάσια ποσότητα φωτός, συγκρινόμενος με τον φακό διαμέτρου 25 mm (εστιακή απόσταση 100 mm), από κάθε αντικείμενο που βρίσκεται στο οπτικό του πεδίο. Ωστόσο σε σύγκριση με τον φακό των 100 mm, ο φακός των 200 mm προβάλλει στο είδωλο μια εικόνα του αντικειμένου διπλάσια σε ύψος και πλάτος, καλύπτοντας τετραπλάσια επιφάνεια, και έτσι και οι δύο φακοί παράγουν τελικά είδωλα ίδιας φωτεινότητας.
Ανοίγματα, αριθμοί ανοίγματος και έκθεση του φωτός
Canon 7 με ένα φακό 50 χιλιοστών με f / 0.95 {\displaystyle f/0.95}
Ένας φακός 35 χιλιοστών έχει ρυθμιστεί σε f / 11 {\displaystyle f/11}, όπως υποδεικνύεται από τη λευκή κουκίδα πάνω από την κλίμακα f-stop επί του δακτυλίου διαφράγματος. Αυτός ο φακός έχει ένα εύρος τιμών διαφράγματος ανοίγματος από f / 2 {\displaystyle f/2} έως f / 22 {\displaystyle f/22}
Η λέξη άνοιγμα (στοπ) έχει πολλαπλές χρήσεις. Το άνοιγμα μπορεί να είναι ένα φυσικό αντικείμενο: ένα μέρος ενός οπτικού συστήματος, που περιορίζει τις διερχόμενες ακτίνες. Στη φωτογραφική, ο όρος στόπ είναι επίσης μία μονάδα που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της έκθεσης του φωτός όπου κάθε προστιθέμενο στοπ του φωτός μειώνει την έκθεση κατά ένα παράγοντα 2 και κάθε αφαιρούμενο στοπ την αυξάνει κατά έναν παράγοντα δύο. Τα στοπ μετρούνται επίσης και σε μονάδες EV, που αντιστοιχούν σε τιμή της έκθεσης. Σε μία φωτογραφική μηχανή, το διάφραγμα ανοίγματος ρυθμίζεται συνήθως σε διακριτά βήματα γνωστά σαν f-στόπ. Κάθε ‘στόπ’ χαρακτηρίζεται από ένα αντίστοιχο αριθμό διαφράγματος ανοίγματος (αριθμό #F) και αντιπροσωπεύει την μείωση της φωτεινότητας του ειδώλου από το προηγούμενο στοπ κατά ένα δεύτερο.
Οι μοντέρνοι φακοί χρησιμοποιούν μία συγκεκριμένη κλίμακα αριθμών #F η οποία είναι μία γεωμετρική ακολουθία αριθμών που αντιστοιχεί κατά προσέγγιση στην ακολουθία των δυνάμεων της τετραγωνικής ρίζας του 2: f/1, f/1.4, f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16, f/22, f/32, f/45, f/64, f/90, f/128, κ.τ.λ. Κάθε στοιχείο της ακολουθίας είναι κατά ένα stop μειωμένο σε σχέση με το στοιχείο στα αριστερά του και ακολουθως κατά ένα stop αυξημένο σε σχέση με το δεξί του στοιχείο. Οι τιμές των αναλογιών είναι στρογγυλοποιημένες, ώστε να δώσουν αυτούς τους συγκεκριμένους συμβατούς αριθμούς για να είναι πιο εύκολη η απομνημόνευση και η καταγραφή τους. Η παραπάνω ακολουθία αποκτάται μέσω μιας προσέγγισης της παρακάτω ακριβούς γεωμετρικής ακολουθίας:
f / 1 {\displaystyle f/1} = f / 1 ( 2 ) 0 {\displaystyle {\frac {f/1}{({\sqrt {2}})^{0}}}}, f / 1.4 {\displaystyle f/1.4} = f / 1 ( 2 ) 1 {\displaystyle {\frac {f/1}{({\sqrt {2}})^{1}}}}, f / 2 {\displaystyle f/2} = f / 1 ( 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {f/1}{({\sqrt {2}})^{2}}}}, f / 2.8 {\displaystyle f/2.8} = f / 1 ( 2 ) 3 {\displaystyle {\frac {f/1}{({\sqrt {2}})^{3}}}} ...
Με τον ίδιο τρόπο, όπως ένα f-στόπ αντιστοιχεί σε ένα παράγοντα 2 της φωτεινότητας του ειδώλου, οι ταχύτητες του φωτοφράχτη καταγράφονται έτσι ώστε κάθε ρύθμιση να διαφέρει σε διάρκεια κατά έναν παράγοντα περίπου 2 από την προηγούμενη. Το άνοιγμα του διαφράγματος φακού κατά ένα stop (δηλ. μείωση του αριθμού #F κατά ένα στόπ) διπλασιάζει τον φωτισμό στο φίλμ. Συνεπώς για να έχουμε την ίδια έκθεση στο φίλμ, θα πρέπει η διάρκεια ανοίγματος του φωτοφράχτη να μειωθεί στο μισό (ή αντίστοιχα να διπλασιαστεί η ταχύτητα). Το παραπάνω βασίζεται στο ότι το φίλμ θα ανταποκριθεί το ίδιο τρόπο στην ίδια συνολική έκθεση, δηλαδή στο ίδιο γινόμενο χρόνου έκθεσης με την φωτεινότειτα του ειδώλου. Αυτό παύει να ισχύει για υπερβολικά μεγάλες ή υπερβολικά μικρές έκθεσεις, όπου έχουμε αποτυχία αυτής της αναλογικότητας. Συνοψίζοντας, το διάφραγμα, η ταχύτητα του φωτοφράχτη και η ευαισθησία του φίλμ είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους: για σταθερή τιμή φωτεινότητας, το να μειώνεται κατά ένα στόπ η τιμή του αριθμού #F του διαφράγματος, να μειώνεται στο μισό η ταχύτητα του φωτοφράχτη (διπλασιάζοντας το χρόνο ανοίγματος) ή να χρησιμοποιείται ένα φίλμ με διπλάσια ευαισθησία έχει πρακτικά το ίδιο αποτέλεσμα στην εικόνα.
Απόλυτος αριθμός διαφράγματος ανοίγματος ή T-στόπ
Ο απόλυτος αριθμός διαφράγματος (t-στόπ) είναι στην πραγματικότητα ένας κανονικοποιημένος αριθμός #F που λαμβάνει υπόψη την διαπερατότητα του οπτικού συστήματος. Ένας φακός με ένα t-στόπ που αντιστοιχεί σε Ν προβάλλει μία εικόνα, η οποία έχει την ίδια φωτεινότητα με έναν ιδανικό φακό με 100% διαπερατότητα και ένα f-number που είναι Ν. Ένας φακός f/2,για παράδειγμα με 75% διαπερατότητα έχει 2.3 t-στόπ. Αν T T είναι η διαπερατότητα του φακού (σε κλίμακα από 0 έως 1) τότε το t-στόπ (#t) δίνεται από την σχέση:
\( {\displaystyle (\#t)={\frac {{(\#F})}{\sqrt {T}}}\ } \)
Εφόσον οι πραγματικοί φακοί έχουν διαπερατότητα μικρότερη των 100% ( T < 1 {\displaystyle T<1}), ένα t-στόπ ενός φακού είναι πάντα μεγαλύτερο από τον αριθμό #F του.[2]
Διαπερατότητες φακών από 60% μέχρι 90% είναι συνήθεις,[3] έτσι ώστε τα t-στόπ να χρησιμοποιούνται μερικές φορές για εξακρίβωση έκθεσης με μεγαλύτερη ακρίβεια αντί για των αριθμών #F, ιδιαίτερα κατά τη χρήση εξωτερικών φωτομέτρων.[4] Τα t-στόπ χρησιμοποιούνται συνήθως στην κινηματογραφία, όπου πολλές εικόνες προβάλλονται με γρήγορη αλληλουχία, η μία μετά την άλλη και η παραμικρή αλλαγή στην προβολή μπορεί να γίνει αντιληπτή. Οι φακοί των κινηματογραφικών καμερών είναι συνήθως βαθμονομημένοι με t-στόπ και όχι με αριθμούς #F.
Η επίδραση του αριθμού #F στην ευκρίνεια εικόνας
Σύγκριση των f/32 (επάνω αριστερή γωνία) και f/5 (κάτω δεξιά γωνία).
Μικρή εστίαση με ανοιχτό φακό.
Το βάθος του πεδίου αυξάνει καθώς αυξάνει και το αριθμός #F, όπως απεικονίζεται στην παραπάνω εικόνα. Αυτό σημαίνει ότι οι φωτογραφίες που έχουν παρθεί με χαμηλό αριθμό #F απεικονίζουν μόνο τα αντικείμενα στην εστία απεικονίζονται ευκρινώς. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά σε φωτογραφίες φύσης ή πορτρέτα επειδή ένα θολό υπόβαθρο θεωρείται αισθητικά ευχάριστο και επικεντρώνει το βλέμμα του θεατή στο κύριο αντικείμενο στο προσκήνιο. Το βάθος του πεδίου μιας εικόνας εξαρτάται εξίσου και από άλλες παραμέτρους, στις οποίες συμπεριλαμβάνονται η εστιακή απόσταση, η απόσταση του αντικειμένου και το είδος του φίλμ ή του αισθητήρα που χρησιμοποιείται για την λήψη της εικόνας.
Το διάφραγμα ανοίγματος, οπότε και ο αριθμός #F, επηρεάζει την ευκρίνεια μιας εικόνας μέσω δύο μηχανισμών. Κατ’ αρχάς με όρους γεωμετρικής οπτικής η αύξηση της διαμέτρου του διαφράγματος ανοίγματος (αντίστοιχα η μείωση του αριθμού #F) οδηγεί στην αύξηση των σφάλματα απεικόνισης και στην μείωση της ευκρίνειας. Από την άλλη πλευρά λόγω της κυματικής φύσης του φωτός, η αύξηση της διαμέτρου του διαφράγματος οδηγεί στην μείωση των διαστάσεων της περίθλαση άρα και σε βελτίωση της ευκρίνειας.[5] . Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα ανταγωνισμού των σφαλμάτων απεικόνισης με την περίθλαση στην ευκρίνεια του ειδώλου μπορεί να δει κανείς στην απλή περίπτωση της κάμερας οπής. Η δράση των σφαλμάτων απεικόνισης στην ευκρίνεια ενός οπτικού συστήματος στο μικρότερο αριθμό #F μετριάζεται σχεδιάζοντας κατάλληλα τα συστήματα φακών που αποτελούν το σύστημα. Απ’ την άλλη πλευρά, αυξάνοντας τον αριθμό #F έως μια βέλτιστη τιμή μπορούμε να μειώσουμε δραστικά την δράση των σφαλμάτων απεικόνισης χωρίς να μειωθεί σημαντικά η ευκρίνεια λόγω περίθλασης. Στους τους μοντέρνους φωτογραφικούς φακούς, οι οποίοι έχουν τουλάχιστον 6 ή 7 στοιχεία, η ευκρινέστερη εικόνα επιτυγχάνεται περίπου στο f/5.6-f/8, ενώ για παλαιότερους φωτογραφικούς φακούς, οι οποίοι αποτελούνται από περίπου 4 στοιχεία, η ευκρινέστερη εικόνα θα επιτευχθεί περίπου στο f/11. Ο μεγαλύτερος αριθμός των στοιχείων που συναντάται στους μοντέρνους φακούς επιτρέπει στον σχεδιαστή να μειώσει τα σφάλματα απεικόνισης, και έτσι να πετύχει υψηλής ευκρίνειας εικόνες σε μικρότερους αριθμούς #F.
Εστιακή αναλογία στα τηλεσκόπια
250pxΔιάγραμμα της εστιακής αναλογίας ενός απλού οπτικού συστήματος,όπου f f είναι η εστιακή απόσταση και D D είναι η διάμετρος του στόχου.
Στην αστρονομία ο αριθμός #F αναφέρεται συχνά ως εστιακή αναλογία και συμβολιζεται με Ν. Ορίζεται ως η εστιακή απόσταση του αντικειμεντικού φακού διαιρεμένη από την διάμετρο του D ή από την διάμετρο του διαφράγματος ανοίγματος στο σύστημα.
\( D {\displaystyle {\textit {N}}={\frac {f}{D}}{\xrightarrow[{}]{\times D}}f=ND} \)
Στην αστρονομία το οπτικό τηλεσκόπιο απεικονίζει τα μακρινά άστρα ώς κηλίδες περίθλασης με φωτεινότητα που εξαρτάται από την ολική επιφάνεια του διαφράγματος ανοίγματος και όχι από την εστιακή απόσταση. Η εστιακή απόσταση επηρεάζει την συνολική μεγέθυνση, το γωνιακό πεδίο που παρουσιάζεται στο εστιακό επίπεδο σε ένα προσοφθάλμιο, στην πλάκα του φιλμ ή μια CCD κάμερα. Για παράδειγμα, το τηλεσκόπιο SOAR 4m έχει ένα μικρό οπτικό πεδίο (αντιστοιχεί σε περίπου f/16), το οποίο είναι χρήσιμο για τις αστρικές μελέτες.Το LSST 8.4m τηλεσκόπειο το οποίο μπορεί να καλύψει ολόκληρο τον ουρανό κάθε 3 μέρες έχει ένα αρκετά ευρύ οπτικό πεδίο. Η σχετικά μικρή εστιακή απόσταση των 10.3 μέτρων επιτυγχάνεται λόγω ενός ενεργού προσαρμοστικού συστήματος διόρθωσης εικόνας.[6]
Ενεργός αριθμός #F
Ο αριθμός #F αναφέρεται στον φωτισμό του ειδώλου όταν το αντικείμενο βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από τον φακό.[7] Στη φωτογραφία, τις περισσότερες φορές τα αντικείμενα βρίσκονται σε σχετικά μεγάλη απόσταση οπότε μπορεί να χρησιμοποιεί κανείς τον αριθμό #F. Από την άλλη πλευρά όταν το αντικείμενο βρίσκεται κοντά στον φακό θα πρέπει η τιμή του αριθμού #F να διορθωθεί οπότε στην θέση του χρησιμοποιείται ο ενεργός αριθμός #F. Ένα πρακτικό παράδειγμα του παραπάνω είναι ότι όταν γίνεται η εστίαση πιο κοντά, ο φωτισμός του ειδώλου μειώνεται οπότε ενεργός αριθμός #F αυξάνεται π.χ. παράδειγμα από f/22 και φτάνει μέχρι f/45. Ο ενεργός αριθμός #F N w {\displaystyle N_{w}} δίνεται από την παρακάτω σχέση:
\( {\displaystyle {\textit {N}}_{w}\equiv {\frac {1}{2NA_{i}}}\approx (1+\left|m\right|)N} \) όπου N είναι ο αριθμός #F χωρίς διόρθωση,
\( {\displaystyle NA_{i}} \) είναι το αριθμητικό άνοιγμα του φακού στο χώρο του ειδώλου και το
\( {\displaystyle \left|m\right|} \) είναι η απόλυτη τιμή της μεγέθυνσης για ένα αντικείμενο σε μια συγκεκριμένη απόσταση.[7]
Ιστορία
Η ποσοτική περιγραφή του διάφραγματος ανοίγματος μέσω των αριθμών #F αναπτύχθηκε στα τέλη του 19ου αιώνα και επιλέχθηκε ανάμεσα σε διάφορους άλλους τρόπους περιγραφής.
Απαρχή του σχετικού διαφράγματος ανοίγματος
Το 1867 οι Sutton και Dawson όρισαν την ‘αναλογία διαφράγματος’ (‘apertal ratio’) που πρόκειται ουσιαστικά για το αντίστροφο του σημερινού αριθμού #F.[8]
Το 1874 ο John Dallmeyer ονόμασε την σχέση
\( {\displaystyle 1/N} ‘ \) ntensity ratio’ δηλαδή αναλογία έντασης των φακών: Η “ταχύτητα” του κάθε φακού εξαρτάται από τη σχέση του “ενεργού” διαφράγματος με την αντίστοιχη εστιακή απόσταση.[9]
Παρ’όλο που ο Dallmeyer δεν είχε καμία πρόσβαση στη θεωρία του Ernst Abbe που πραγματεύεται τα διαφράγματα ανοίγματος και την κόρη εισόδου [10]( η οποία θεωρία βέβαια έγινε ευρέως γνωστή από τον Siegfried Czapski το 1893[11] ) γνώριζε ότι το ενεργό διάφραγμα δεν ήταν το ίδιο με την φυσική διάμετρο του διαφράγματος.[9]
Πρέπει να τονιστεί βέβαια, ότι για να βρεθεί η πραγματική “αναλογία έντασης”, θα πρέπει να είναι γνωστή και συγκεκριμένη η διάμετρος του ενεργού διαφράγματος, κάτι που μπορεί επιτευχθεί εύκολα στην περίπτωση των απλών ή διπλών φακών που χρησιμοποιούνται στο μέγιστο τους άνοιγμα. Αλλά κατά την χρήση τριπλού συνδυασμού φακών, ανάμεσα στους οποίους έχουν εισαχθεί διαφράγματα, η διαδικασία είναι πιο περίπλοκη.
Αυτό ακριβώς το σημείο τονίζεται από τον Czapski το 1893[11] σύμφωνα με την αγγλική έκδοση του βιβλίου το 1894 με τίτλο 'Τhe necessity of clearly distinguishing between effective aperture and diameter of physical stp is strongly insisted upon'.[12]
Ο όρος “αναλογία έντασης” χρησιμοποιήθηκε το 1899 από τον γιο του J.H.Dallmeye,τον Thomas Rudolphus Dallmeyer, εφευρέτη του τηλεφακός.[13]
Σύστηματα αρίθμησης του διαφράγματος ανοίγματος
Μία Kodak του 1922 με U.S stops.
Την ίδια στιγμή δημιουργήθηκαν και συστήματα αρίθμησης του διαφράγματος ανοίγματος, που σχεδιαστηκαν με στόχο να κάνουν τον το χρόνο έκθεσης ανάλογο ή αντιστρόφος ανάλογο με το διάφραγμα αντί του τετραγώνου του αριθμού #F ή το αντίστροφο τετράγωνο του “λόγου διαφράγματος” ή της “αναλογίας έντασης”. Βέβαια όλα αυτά τα συστήματα περιείχαν μια αυθαίρετη σταθερά, σε αντίθεση με τον αριθμό #F. Για παράδειγμα, το 1880 υιοθετήθηκε από την φωτογραφική κοινότητα της Μεγάλης Βρετανίας το ενιαίο σύστημα μονάδων (U.S) των διαφραγμάτων.[14] Ο Bothamley to 1891 είπε ότι “τα στοπ των καλύτερων κατασκευαστών είναι τώρα ενταγμένα σε αυτό το σύστημα”. To U.S 16 είναι για παράδειγμα το ίδιο διάφραγμα με το f / 16 {\displaystyle f/16}, αλλά βέβαια τα διαφράγματα τα οποία είναι μεγαλύτερα ή μικρότερα από κατά ένα στόπ χρησιμοποιύν αντιστοιχούν σε διπλάσιο ή μισό αριθμό U.S. Συγκεκριμένα το f/11 διάφραγμα είναι το αντίστοιχο U.S. 8 και το
\( {\displaystyle f/8} \) είναι το αντίστοιχο U.S. 4 . Ο χρόνος έκθεσης είναι σε αυτή την περίπτωση ανάλογος με τον αριθμό U.S. Ο Eastman Kodak χρησιμοποίησε το 1920 στις κάμερες του ως επί το πλείστον U.S στόπ.
To 1895 ο Hodges έρχεται σε αντίθεση με τον Bothamley λέγοντας ότι το σύστημα των αριθμών #F έχει επικρατήσε: “Αυτό ονομάζεται f/x σύστημα και τα διαφράγματα όλων των σύγχρονων φακών καλής κατασκευής έχουν αυτό το σύστημα”. Παρακάτω βλέπουμε την κατάσταση κατά το 1899:[15]
Αριθμοί διαφράγματος
Ο Piper to 1901[16] αναλύει 5 διαφορετικά συστήματα ποσοτικού χαρακτηρισμού του διαφράγματος: τα παλιά και τα νέα οπτικά συστήματα Zeiss βασίζονται στην πραγματική τιμή της έντασης (αντιτρόφος ανάλογο του τετραγώνου του αριθμού #F); και τα συστήματα U.S.,C.I. και Dallmeyer βασίζονται στην έκθεση της ακτινοβολίας ( ανάλογο του τετραγώνου του αριθμού #F). Ο Piper oνόμασε τον αριθμό #F ‘αριθμό αναλογίας’, ‘αριθμό αναλογίας διαφράγματος’ και ‘αναλογία διαφράγματος’.Επίσης ονόμασε εκφράσεις ,όπως το
\( {\displaystyle f/8} ‘ \) κλασματική διάμετρο’ του διαφράγματος, παρόλο που στην κυριολεξία πρόκειται για την απόλυτη διάμετρο, την οποία διακρίνει ως ξεχωριστό όρο.Τέλος χρησιμοποιεί μερικές φορές εκφράσεις όπως ‘ένα διάφραγμα f 8’ χωρίς το σύμβολο της διαίρεσης.
Οι Beck kai Andrews το 1902 έκαναν λόγο για το πρότυπο της Βασιλικής φωτογραφικής κοινότητας των
\( {\displaystyle f/4} \),
\( {\displaystyle f/5.6} \),
\( {\displaystyle f/8} \),
\( {\displaystyle f/11.3} \), κτλ.[17] Το R.P.S άλλαξε το το όνομα τους και κατήργησε το ενιαίο σύστημα U.S. κάπου ανάμεσα στο 1895 και 1902.
Παραπομπές
Smith, Warren Modern Optical Engineering, 4th Ed. 2007 McGraw-Hill Professional
Light transmission Αρχειοθετήθηκε 2013-10-04 στο Wayback Machine., DxOMark
Marianne Oelund, "Lens T-stops", dpreview.com, 2009
Eastman Kodak, "H2: Kodak Motion Picture Camera Films" Αρχειοθετήθηκε 2002-10-02 στο Wayback Machine., November 2000 revision. Retrieved 2 September 2007.
Michael John Langford (2000). Basic PhotographyΑπαιτείται δωρεάν εγγραφή. Focal Press. ISBN 0-240-51592-7.
Charles F. Claver; et al. (19 March 2007). LSST Reference Design. LSST Corporation, σελ. 45–50. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2009-03-06. Ανακτήθηκε στις 10 January 2011.
Greivenkamp, John E. (2004). Field Guide to Geometrical Optics. SPIE Field Guides vol. FG01. SPIE. ISBN 0-8194-5294-7. p. 29.
Thomas Sutton and George Dawson, A Dictionary of Photography, London: Sampson Low, Son & Marston, 1867, (p. 122).
John Henry Dallmeyer, Photographic Lenses: On Their Choice and Use – Special Edition Edited for American Photographers, pamphlet, 1874.
Southall, James Powell Cocke (1910). The principles and methods of geometrical optics: Especially as applied to the theory of optical instruments.
Siegfried Czapski, Theorie der optischen Instrumente, nach Abbe, Breslau: Trewendt, 1893.
Henry Crew, "Theory of Optical Instruments by Dr. Czapski," in Astronomy and Astro-physics XIII pp. 241–243, 1894.
Thomas R. Dallmeyer, Telephotography: An elementary treatise on the construction and application of the telephotographic lens, London: Heinemann, 1899.
C. H. Bothamley, Ilford Manual of Photography, London: Britannia Works Co. Ltd., 1891.
John A. Hodges, Photographic Lenses: How to Choose, and How to Use, Bradford: Percy Lund & Co., 1895.
C. Welborne Piper, A First Book of the Lens: An Elementary Treatise on the Action and Use of the Photographic Lens, London: Hazell, Watson, and Viney, Ltd., 1901.
Conrad Beck and Herbert Andrews, Photographic Lenses: A Simple Treatise, second edition, London: R. & J. Beck Ltd., c. 1902.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
