.
Ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonard Euler, 15 Απριλίου 1707 – 18 Σεπτεμβρίου 1783) ήταν πρωτοπόρος Ελβετός μαθηματικός και φυσικός. Έκανε σημαντικές ανακαλύψεις σε τομείς όπως ο απειροελάχιστος λογισμός και η θεωρία γραφημάτων. Επίσης καθιέρωσε την μοντέρνα μαθηματική ορολογία και σημειογραφία, κυρίως στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης, όπως την έννοια της μαθηματικής συνάρτησης.[1] Επίσης είναι φημισμένος για τη δουλειά του στη μηχανική, τη ρευστοδυναμική, την οπτική και την αστρονομία. Ο Όιλερ πέρασε μεγάλο μέρος της ενήλικης ζωής του στο St. Petersburg στη Ρωσία και στο Βερολίνο, Πρωσία. Θεωρείται ως ο κατ' εξοχήν μαθηματικός του 18ου αιώνα, και ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς που έχουν υπάρξει ποτέ. Είναι επιπλέον ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς όλων των εποχών, τα άπαντά του καταλαμβάνουν 60-80 οκτασέλιδους τόμους.[2] Μία δήλωση που έγινε από τον Πιέρ Σιμόν Λαπλάς εκφράζει την επίδραση του Όιλερ στα μαθηματικά : «διαβάστε Όιλερ, διαβάστε Όιλερ, είναι ο κύριος όλων μας».[3]
Βιογραφία
Old Swiss 10 Franc banknote honoring Euler
Τα πρώτα χρόνια
Ο Όιλερ γεννήθηκε στη Βασιλεία της Ελβετίας στις 15 Απριλίου 1707 και ήταν γιος του Πάουλ Όιλερ ενός πάστορα της αναμορφωμένης εκκλησίας και της Μαργκερίτε Μπρούκερ, (Marguerite Brucker), κόρης πάστορα. Είχε δύο μικρότερες αδερφές τις Άννα Μαρία και Μαρία Μαγδαληνή. Μετά τη γέννησή του, η οικογένειά του μετακόμισε από τη Βασιλεία στο Ρίχεν (Riehen), όπου πέρασε και το μεγαλύτερο μέρος της παιδικής του ηλικίας. Ο πατέρας του ήταν φίλος με την οικογένεια Μπερνούλι και ειδικότερα με τον Γιόχαν Μπερνούλι ο οποίος τότε θεωρούνταν ως ο καλύτερος μαθηματικός της Ευρώπης, θα αποτελέσει τελικά την πιο σημαντική επιρροή στον νεαρό Λέοναρντ. Η πρώτη επίσημη εκπαίδευση του Όιλερ ξεκινά στην Βασιλεία, όπου είχε σταλθεί για να μείνει μαζί με τη γιαγιά του. Σε ηλικία δεκατριών ετών εγγράφηκε στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας και το 1723 έλαβε μάστερ στη φιλοσοφία με διατριβή στη σύγκριση των φιλοσοφιών των Ρενέ Ντεκάρτ και Νιούτον. Εκείνη την περίοδο έκανε μαθήματα με τον Γιόχαν Μπερνούλι, ο οποίος γρήγορα ανακάλυψε το απίστευτο ταλέντο του νέου του μαθητή στα μαθηματικά.[4] Ο Όιλερ εκείνη την εποχή σπούδαζε Ελληνική και Εβραϊκή θεολογία, ύστερα από προτροπή του πατέρα του, με σκοπό να γίνει πάστορας, αλλά ο Μπερνούλι κατάφερε να πείσει τον Πάουλ Όιλερ ότι ο Λέοναρντ επρόκειτο να γίνει ένας σπουδαίος μαθηματικός. Το 1726 ο Όιλερ ολοκλήρωσε τη διατριβή του στη διάδοση του ήχου με τίτλο De Sono (Περί Ήχου).[5]Τότε ήταν που επιχείρησε εντελώς αποτυχημένα να αποκτήσει μία θέση στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας. Το 1727, πήρε μέρος για πρώτη φορά στο Paris academy στο διαγωνισμό Prize problem. Το ζητούμενο εκείνης της χρονιάς ήταν οι διαγωνιζόμενοι να βρουν τον καλύτερο τρόπο να τοποθετηθούν τα κατάρτια σε ένα πλοίο. Ο Πιέρ Μπουγκέ (Pierre Bouguer) έγινε γνωστός ως "ο πατέρας της ναυτικής αρχιτεκτονικής" και κέρδισε, ενώ ο Όιλερ πήρε τη δεύτερη θέση. Ο Όιλερ αργότερα κέρδισε αυτό το ετήσιο βραβείο 12 φορές.[6]
Αγία Πετρούπολη
Σε αυτήν την περίοδο,οι δύο γιοι του Γιόχαν Μπερνούλι, Ντάνιελ και Νίκολας, εργάζονταν στην Αυτοκρατορική Ρωσική Ακαδημία Επιστημών στην Αγία Πετρούπολη. Στις 10 Ιουλίου του 1726 ο Νίκολας πέθανε από σκωληκοειδίτιδα αφού είχε παραμείνει για ένα χρόνο στη Ρωσία και, όταν ο Ντάνιελ ανέλαβε τη θέση του αδελφού του στα μαθηματικά / φυσική διαίρεση, συνέστησε ότι η θέση στη φυσιολογία που είχε εκκενωθεί από τον ίδιο θα έπρεπε να συμπληρωθεί από τον φίλο του Όιλερ. Τον Νοέμβριο του 1726 ο Όιλερ αποδέχτηκε διακαώς την προσφορά, αλλά καθυστέρησε να κάνει το ταξίδι στην Αγία Πετρούπολη καθώς είχε κάνει ανεπιτυχώς αίτηση για μια θέση καθηγητή φυσικής στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας.[7]
Γραμματόσημο του 1957 στην ΕΣΣΔ ως αναμνηστικό για τα 250ά γεννέθλια του Όιλερ. Το κείμενο γράφει: 250 χρόνια από την γέννηση του μεγάλου μαθηματικού, ακαδημαϊκού Λέοναρντ Όιλερ.
Ο Όιλερ έφτασε στη ρωσική πρωτεύουσα στις 17 του Μάη του 1727. Προήχθη από την κατώτερη θέση του στο ιατρικό τμήμα της ακαδημίας σε μια θέση στο Τμήμα Μαθηματικών. Κατατέθηκε[ασαφές] με τον Ντάνιελ Μπερνούλι με τον οποίο είχε συχνά στενή συνεργασία. Ο Όιλερ έμαθε τη ρωσική γλώσσα και προσαρμόστηκε στη ζωή στην Αγία Πετρούπολη. Ανέλαβε επίσης πρόσθετη εργασία ως γιατρός στο Ρωσικό Ναυτικό. [8]
Η Ακαδημία στην Αγία Πετρούπολη, που είχε ιδρυθεί από τον Πέτρο το Μεγάλο, είχε ως στόχο να βελτιώσει την εκπαίδευση στη Ρωσία και να κλείσει το επιστημονικό χάσμα με τη Δυτική Ευρώπη. Ως εκ τούτου, είχε γίνει ιδιαίτερα ελκυστική για τους ξένους μελετητές όπως ο Όιλερ. Η ακαδημία διέθετε άφθονους οικονομικούς πόρους και μια περιεκτική βιβλιοθήκη που προερχόταν από τις ιδιωτικές βιβλιοθήκες του ίδιου του Πέτρου και της αριστοκρατίας. Πολύ λίγοι μαθητές φοιτούσαν στην ακαδημία, προκειμένου να περιοριστεί το βάρος της διδασκαλίας της σχολής, και η ακαδημία έδινε έμφαση στη έρευνα και προσέφερε στη σχολή της τόσο το χρόνο όσο και την ελευθερία να επιδιώξει επιστημονικές ερωτήσεις.[6]
Η ευεργέτιδα της Ακαδημίας, Αικατερίνη Α΄, η οποία συνέχισε τις προοδευτικές πολιτικές του πρώην συζύγου της, πέθανε την ημέρα της άφιξης του Όιλερ. Κατόπιν, η ρωσική αριστοκρατία απέκτησε εξουσία μετά την ενθρόνιση του δωδεκάχρονου Πέτρου Β΄. Η αριστοκρατία ήταν καχύποπτη απέναντι στους ξένους επιστήμονες της ακαδημίας, και ως εκ τούτου έκοψε τη χρηματοδότηση και προκάλεσε άλλες δυσκολίες στον Όιλερ και τους συνεργάτες του.
Οι συνθήκες βελτιώθηκαν ελαφρώς μετά το θάνατο του Πέτρου Β΄, και ο Όιλερ γρήγορα αναδείχθηκε μέσω των τάξεων στην ακαδημία και έγινε καθηγητής της φυσικής το 1731. Δύο χρόνια αργότερα, ο Ντάνιελ Μπερνούλλι, ο οποίος είχε αγανακτήσει με τη λογοκρισία και την εχθρότητα που αντιμετώπιζε στην Αγία Πετρούπολη, έφυγε για τη Βασιλεία. Ο Όιλερ τον διαδέχθηκε ως επικεφαλής του τμήματος μαθηματικών.[9]
Στις 7 Ιανουαρίου του 1734, παντρεύτηκε την Katharina Gsell (1707–1773), κόρη του Georg Gsell, ενός ζωγράφου από το Ακαδημαϊκό Γυμνάσιο. Το νεαρό ζευγάρι αγόρασε ένα σπίτι δίπλα στον ποταμό Νέβα. Από τα δέκα παιδιά τους, μόνο πέντε επέζησαν στην παιδική ηλικία.[10]
Βερολίνο
Γραμματόσημο της πρώην Ανατολικής Γερμανίας προς τιμήν των 200 ετών από τον θάνατο του Όιλερ
Ανήσυχος για τη συνεχή αναταραχή στη Ρωσία, ο Όιλερ έφυγε απλο την Αγία Πετρούπολη στις 17 Ιουνίου του 1741 για να αναλάβει μία θέση στην Ακαδημία του Βερολίνου, η οποία του είχε προσφερθεί από τον Φρειδερίκο Β΄ της Πρωσίας. Έζησε για εικοσιπέντε χρόνια στο Βερολίνο, όπου έγραψε πάνω από 380 άρθρα. Στο Βερολίνο δημοσίευσε δύο δουλειές του, για της οποίες θα γινόταν πιο γνωστός: την εισαγωγή στην analysin infinitorum, ένα κείμενο για συναρτήσεις το οποίο δημοσιεύτηκε το 1748 και το Institutiones calculi differentialis[11] ,που δημοσιεύτηκε το 1755 στο differential calculus[12]. Το 1755 εκλέχθηκε ως εξωτερικό μέλος στη Σουηδική Βασιλική Ακαδημία των Επιστημών.
Επιπρόσθετα, ζητήθηκε από τον Όιλερ να διδάξει την πριγκίπισσα του Άνχαλτ-Ντεσσάου (Anhalt-Dessau), ανεψιά του Φρειδερίκου. Ο Όιλερ της έγραψε πάνω από 200 γράμματα στις αρχές του 1760, τα οποία αργότερα συγχωνεύθηκαν σε έναν best-selling τόμο με τίτλο Γράμματα του Όιλερ για διάφορα θέματα στην φυσική φιλοσοφία προς μία Γερμανίδα πριγκίπισσα.[13] Αυτή η δουλειά περιείχε την έκθεση του Όιλερ σε ποικίλα θέματα που αφορούσαν τόσο τη φυσική και τα μαθηματικά, όσο πρόσφεραν πολύτιμες ιδέες για την προσωπικότητα και τα θρησκευτικά πιστεύω του Όιλερ. Αυτό το βιβλίο διαβάστηκε περισσότερο από κάθε μια από τις μαθηματικές του εργασίες και εκδόθηκε σε όλη την Ευρώπη και τις Η.Π.Α. Η δημοσιότητα των "γραμμάτων" αποδεικνύει την ικανότητα του Όιλερ να επικοινωνεί για επιστημονικά θέματα αποτελεσματικά σε ένα ευρύ κοινό, μία σπάνια ικανότητα για έναν αφοσιωμένο ερευνητή επιστήμονα.[12]
Παρά την τεράστια συμβολή του Όιλερ στο κύρος της Ακαδημίας, ήταν τελικά αναγκασμένος να εγκαταλείψει το Βερολίνο. Αυτό ήταν εν μέρει λόγω της σύγκρουσης προσωπικοτήτων με τον Φρειδερίκο, ο οποίος θεωρούσε τον Όιλερ μη-εκλεπτυσμένο, ειδικά σε σύγκριση με τον κύκλο των φιλοσόφων που ο Γερμανός βασιλιάς έφερε στην Ακαδημία. Ο Βολταίρος ήταν μεταξύ αυτών των υπαλλήλων του Φρειδερίκου, και ο Γάλλος απολάμβανε μια εξέχουσα θέση μέσα στο κοινωνικό κύκλο του βασιλιά. Ο Όιλερ, ένας απλός θρησκευόμενος και σκληρά εργαζόμενος άνθρωπος, ήταν πολύ συμβατικός στις πεποιθήσεις και τα γούστα του. Ήταν με πολλούς τρόπους το αντίθετο του Βολταίρου. Ο Όιλερ είχε περιορισμένη εκπαίδευση σε ρητορική, και είχε την τάση να συζητά θέματα για τα οποία γνώριζε λίγα, καθιστώντας τον ένα συχνό στόχο του πνεύματος του Βολταίρου.[12] Ο Φρειδερίκος εξέφρασε επίσης την απογοήτευσή του σχετικά με τις πρακτικές ικανότητες του Όιλερ στην μηχανική:
Ήθελα να έχω ένα πίδακα νερού στον κήπο μου: ο Όιλερ υπολόγισε την απαραίτητη δύναμη των τροχών έτσι ώστε να αυξηθεί το νερό σε μια δεξαμενή, από όπου θα πρέπει να υποχωρήσει πάλι πίσω στα κανάλια, και τελικά να αναβλύζει στο Sanssouci . Ο μύλος μου διεξήχθη γεωμετρικά και δεν μπορούσαν να συγκεντρώσουν μια γουλιά νερό σε απόσταση μικρότερη από πενήντα βήματα προς τη δεξαμενή. Ματαιότης ματαιοτήτων! Ματαιότης της γεωμετρίας! [14]
Πορτραίτο του 1753 από τον Εμάνουελ Χάντμαν (Emanuel Handmann). Σε αυτό εμφαίνεται το πρόβλημα του δεξιού βλεφάρου και πιθανός στραβισμός. Το αριστερό μάτι, το οποίο απεικονίζεται υγιές, αργότερα προσβλήθηκε από καταρράκτη.[15]
Επιδείνωση της όρασης
H όραση του Όιλερ επιδεινώθηκε κατά τη διάρκεια της μαθηματικής του σταδιοδρομίας. Τρία χρόνια μετά υπέφερε από ένα σχεδόν θανατηφόρο πυρετό το 1735, σχεδόν τυφλώθηκε από το δεξί του μάτι, αλλά ο Όιλερ δεν κατηγόρησε το επίπονο έργο για τη χαρτογράφηση που πραγματοποιήθηκε για την Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης για την κατάστασή του. Η όραση του Όιλερ στο μάτι επιδεινώθηκε κατά τη διάρκεια της παραμονής του στη Γερμανία, στο βαθμό που ο Φρειδερίκος αναφέρονται σε αυτόν ως «Κύκλωπα». Ο Όιλερ αργότερα ανέπτυξε καταρράκτη στο αριστερό μάτι του, καθιστώντας τον σχεδόν εντελώς τυφλό λίγες εβδομάδες μετά την ανακάλυψή του το 1766. Ωστόσο, η κατάστασή του φάνηκε να έχει μικρή επίδραση στην παραγωγικότητα του, όμως ο ίδιος αποζημιώθηκε για αυτό με ψυχικές ικανότητες υπολογισμού και φωτογραφική μνήμη. Για παράδειγμα, ο Όιλερ μπορούσε να επαναλάβει την Αινειάδα του Βιργιλίου από την αρχή μέχρι το τέλος, χωρίς δισταγμό, και για κάθε σελίδα στην έκδοση μπορούσε να δείξει ποια γραμμή ήταν η πρώτη και ποια η τελευταία. Με τη βοήθεια των γραφέων του, η παραγωγικότητα του Όιλερ σε πολλούς τομείς της μελέτης του αυξήθηκε. Παρήγαγε κατά μέσο όρο, μια μαθηματική μελέτη κάθε εβδομάδα κατά το έτος 1775.[2]
Επιστροφή στη Ρωσία
Η κατάσταση στη Ρωσία είχε βελτιωθεί σημαντικά μετά τον ερχομό στο θρόνο της Μεγάλης Αικατερίνης , και το 1766 ο Όιλερ αποδέχθηκε πρόσκληση για να επιστρέψει στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης και πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του στη Ρωσία. Ωστόσο, η δεύτερη διαμονή του στη χώρα αμαυρώθηκε από μία τραγωδία. Μια πυρκαγιά στην Αγία Πετρούπολη το 1771 του κόστισε σπίτι του, και σχεδόν τη ζωή του. Το 1773, έχασε τη γυναίκα Katharina μετά από 40 χρόνια γάμου. Τρία χρόνια μετά το θάνατο της συζύγου του, ο Όιλερ παντρεύτηκε την ετεροθαλή αδελφή της, Salome Abigail Gsell (1723-1794). [16] Αυτός ο γάμος διήρκεσε μέχρι το θάνατό του.
Στην Αγία Πετρούπολη στις 18 Σεπτεμβρίου 1783 μετά από ένα γεύμα με την οικογένειά του, κατά τη διάρκεια μιας συνομιλίας του με έναν πρώην συνάδελφό του, τον ακαδημαϊκό Anders Johan Lexell, για τον πρόσφατα ανακαλυφθέντα πλανήτη Ουρανό και την τροχιά του ο Όιλερ υπέστη εγκεφαλική αιμορραγία και πέθανε λίγες ώρες αργότερα.[17] Μια σύντομη νεκρολογία για τη Ρωσική Ακαδημία Επιστημών γράφτηκε από τον Jacob von Staehlin-Storcksburg και ένα πιο λεπτομερές εγκώμιο [18] γράφτηκε και παραδόθηκε σε μια συνάντηση σε ένα μνημείο από τον Ρώσο μαθηματικό Nicolas Fuss , έναn από τους μαθητές του Όιλερ. Στο εγκώμιο, γραμμένο για την Γαλλική Ακαδημία από τη Γαλλίδα μαθηματικό και φιλόσοφο Marquis de Condorcet, σχολίασε:
...il cessa de calculer et de vivre—... έπαυσε να υπολογίζει και να ζει.[19]
Τάφηκε δίπλα στο Katharina στο Λουθηρανικό νεκροταφείο του Σμολένσκ στο νησίΒασιλιέφσκι (Vasilievsky). Το 1785, η Ρωσική Ακαδημία Επιστημών τοποθετεί μια μαρμάρινη προτομή του Όιλερ σε ένα βάθρο δίπλα στο κάθισμα του διευθυντή και, το 1837, τοποθετήθηκε μια επιτύμβια στήλη στον τάφο του Όιλερ. Για να γιορτάσει την 250η επέτειο από τη γέννηση του Όιλερ, η επιτύμβια στήλη μεταφέρθηκε το 1956, μαζί με τα λείψανά του, στην νεκρόπολη του 18ου αιώνα στο Μοναστήρι Αλεξάντρ Νιέφσκι . [20]
Ο μαθηματικός και φιλόσοφος Ντε Κοντορσέ είπε στον επικήδειο: «Ο Όιλερ σταμάτησε να ζει και να υπολογίζει».[21]
Ο τάφος του Όιλερ στη μονή Αλεξάντρ Νιέφσκι
Συνεισφορές στα μαθηματικά και τη φυσική
Ο Όιλερ εργάστηκε σε όλους σχεδόν τους τομείς των μαθηματικών: γεωμετρία , απειροελάχιστο λογισμό, τριγωνομετρία, άλγεβρα και θεωρία αριθμών καθώς και στη συνεχή φυσική τη σεληνιακή θεωρία και σε άλλους τομείς της φυσικής. Είναι δημιουργική φυσιογνωμία στην ιστορία των μαθηματικών: Αν τυπώνονταν, τα έργα του, πολλά από τα οποία είναι θεμελιώδους συμφέροντος, θα καταλάμβαναν μεταξύ 60 και 80 τόμους μεγέθους "quarto".[2] το όνομα του Όιλερ συνδέεται με μεγάλο αριθμό θεμάτων.
Ο Όιλερ είναι ο μόνος μαθηματικός για τον οποίο δύο αριθμοί έχουν ονομαστεί προς τιμήν του: ο πάρα πολύ σημαντικός αριθμός του Όιλερ στον λογισμό, e, περίπου ίσο με 2,71828, και η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι (Euler-Mascheroni Constant) γ ( γάμμα ), μερικές φορές αναφέρεται απλά ως «η σταθερά του Όιλερ", περίπου ίση σε 0,57721. Δεν είναι γνωστό αν το γ είναι λογική ή όχι.[22]
Μαθηματική σημειογραφία
Ο Όιλερ εισήγαγε και διέδωσε αρκετούς συμβατικούς συμβολισμούς μέσα από τα πολυάριθμα και ευρείας κυκλοφορίας εγχειρίδιά του. Πιο συγκεκριμένα, εισήγαγε την έννοια της συνάρτησης [1] ,και ήταν ο πρώτος που έγραψε το f ( x ), το οποίο χαρακτηρίζει τη συνάρτηση f που εφαρμόζεται στην μεταβλητή x. Εισήγαγε επίσης τη σύγχρονη σημειογραφία για τις τριγωνομετρικές λειτουργίες, το γράμμα e για τη βάση του φυσικού λογαρίθμου (γνωστό σήμερα και ως αριθμός του Euler ), το ελληνικό γράμμα Σ για τα αθροίσματα και το γράμμα i να υποδηλώσει την φανταστική μονάδα. [23] Η χρήση του ελληνικού γράμματοςπ για να υποδηλώσει την αναλογία περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του επίσης διαδόθηκε από τον Όιλερ, αν και δεν προέρχεται από αυτόν. [24]
Ανάλυση
Η ανάπτυξη του απειροελάχιστου λογισμού ήταν στην πρώτη γραμμή της μαθηματικής έρευνας του 18ου αιώνα, και η οικογένεια Μπερνούλι -οικογενειακοί φίλοι της οικογένειας Όιλερ- ήταν υπεύθυνη σε μεγάλο βαθμό για την πρόωρη ανάπτυξη αυτού του τομέα. Χάρη στην επιρροή της, η μελέτη των μαθηματικών έγινε το επίκεντρο του έργου του Όιλερ. Ενώ μερικές από τις αποδείξεις του Όιλερ δεν είναι αποδεκτές από τα σύγχρονα πρότυπα της μαθηματικής ακρίβειας [25] (ειδικότερα η στήριξή του στην αρχή της γενικότητας της άλγεβρας), οι ιδέες του οδήγησαν σε πολλές μεγάλες προόδους. Ο Euler είναι γνωστός στην ανάλυση για τη συχνή χρήση και την ανάπτυξη τηςδυναμοσειράς, την έκφραση των συναρτήσεων ως αθροίσματα άπειρων όρων, όπως
\( e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right). \)
Ο Όιλερ απέδειξε άμεσα τη δυναμοσειρά για το e και τη συνάρτηση της αντίστροφης εφαπτομένης (Η τεχική για την έμμεση απόδειξη μέσω της δυναμοσειράς δόθηκε από τους Νεύτωνα και Λάιμπνιτς μεταξύ του 1670 και του 1680). Η τόλμη του να χρησιμοποιήσει αυτή τη δυναμοσειρά τον βοήθησε να λύσει το διάσημο πρόβλημα του Basel το 1735(το οποίο παρείχε ένα πιο περίτεχνο επιχείρημα το 1741):[25]
\( \sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}. \)
A geometric interpretation of Euler's formula
Ο Όιλερ εισήγαγε τη χρήση της εκθετικής συνάρτησης και των λογαρίθμων σε αναλυτικές αποδείξεις. Ανακάλυψε τρόπους για να εκφράσει τις διάφορες λογαριθμικές συναρτήσεις με δυναμοσειρές, και αυτός όρισε με επιτυχία τους λογάριθμους των αρνητικών και των μιγαδικών αριθμών, διευρύνοντας έτσι σημαντικά το πεδίο των μαθηματικών εφαρμογών των λογαρίθμων. [23] Όρισε επίσης την εκθετική συνάρτηση για τους μιγαδικούς αριθμούς, και ανακάλυψε της σχέση της με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για κάθε πραγματικό αριθμό φ (μετρημένο σε ακτίνια), ο τύπος του Όιλερ αναφέρει ότι η σύνθετη εκθετική συνάρτηση ικανοποιεί τη σχέση:
\( e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.\, \)
Μια ειδική περίπτωση του παραπάνω τύπου είναι γνωστή ως ταυτότητα του Όιλερ,
\( e^{i \pi} +1 = 0 \, \)
και χαρακτηρίστηκε «ο πιο αξιοσημείωτος μαθηματικός τύπος" από τον Ριτσαρντ Φάινμαν (Richard P. Feynman) για την ενιαία χρήση των εννοιών της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού,της ύψωσης σε δύναμη, και της ισότητας, και των ενιαίων χρήσεων των σημαντικών σταθερών 0, 1, e , i και π. [26]
Το 1988, οι αναγνώστες του Mathematical Intelligencer την ψήφισαν ως «τον πιο όμορφο μαθηματικό τύπο που υπήρξε ποτέ». [27] .[27]Συνολικά, ο Όιλερ ήταν υπεύθυνος για τους τρεις από τους πέντε κορυφαίους τύπους σε αυτή τη δημοσκόπηση.
Ο τύπος του De Moivre είναι μια άμεση συνέπεια του τύπου του Όιλερ.
Επιπλέον, ο Όιλερ επεξεργάστηκε τη θεωρία των τριτοβάθμιων υπερβατικών συναρτήσεων με την εισαγωγή της συνάρτησης γάμμα και εισήγαγε μια νέα μέθοδο για την επίλυση Quartic εξισώσεων. Βρήκε επίσης έναν τρόπο για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων με πολύπλοκα όρια, προαναγγέλλοντας την ανάπτυξη της σύγχρονης σύνθετης ανάλυσης. Εφηύρε επίσης τον λογισμό των μεταβολών, συμπεριλαμβανομένου και του πασίγνωστου αποτέλεσματός της, την εξίσωση Euler-Lagrange.
Ο Όιλερ πρωτοστάτησε επίσης στη χρήση αναλυτικών μεθόδων για την επίλυση των προβλημάτων της θεωρίας αριθμών. Με αυτό τον τρόπο, ένωσε δύο διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών και εισήγαγε ένα νέο πεδίο μελέτης, την αναλυτική θεωρία αριθμών. Κατά το σπάσιμο του εδάφους για αυτό το νέο πεδίο, ο Euler δημιούργησε τη θεωρία της υπεργεωμετρικής σειράς , q-series , τις υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις και την αναλυτική θεωρία των συνεχών κλασμάτων. Για παράδειγμα, απέδειξε την απειρία των πρώτων αριθμών με την απόκλιση τηςαρμονικής σειράς, και χρησιμοποίησε αναλυτικές μεθόδους για να κατανοήσει τον τρόπο διάταξης των πρώτων αριθμών. Το έργο του Όιλερ στον τομέα αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη του θεώρημα πρώτων αριθμών¡Θεωρήματος των πρώτων αριθμών. [28]
Θεωρία των αριθμών
Το ενδιαφέρον του Όιλερ για την αριθμητική θεωρία μπορεί να αποδοθεί στην επίδραση του Κρίστιαν Γκόλντμπαχ, φίλου του από την Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. Ένα μεγάλο μέρος του αρχικού έργου του Όιλερ στην αριθμητική θεωρία βασίστηκε στο έργο του Πιέρ ντε Φερμά. Ο Όιλερ ανέπτυξε κάποιες από τις ιδέες του Fermat και διέψευσε κάποιες από τις εικασίες του.
Ο Όιλερ συνέδεσε τη μορφή της κατάταξης των πρώτων αριθμών με ιδέες στην ανάλυση. Απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει. Με αυτό τον τρόπο, ανακάλυψε τη σχέση μεταξύ της Ζήτα συνάρτησης και των πρώτων αριθμών, και αυτό είναι γνωστό ως τύπος του Όιλερ για τη Ζήτα συνάρτηση.
Ο Όιλερ απέδειξε τις ταυτότητες του Νεύτωνα , το μικρό θεώρημα του Φερμά , το θεώρημα του Φερμά για το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών, και συνέβαλε σημαντικά στο θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων του Λαγκράνζ. Επίσης εφηύρε τη συνάρτηση totient φ ( n ),όπου ο αριθμός των θετικών ακεραίων είναι μικρότερος ή ίσος με του αριθμού n των σχετικά πρώτων ακεραίων. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες αυτής της λειτουργίας, ο ίδιος γενίκευσε το μικρό θεώρημα του Φερμά σε αυτό που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα του Όιλερ. Συνέβαλε σημαντικά στη θεωρία των τέλειων αριθμών, η οποία είχε συναρπάσει τους μαθηματικούς από την εποχή του Ευκλείδη. Ο Όιλερ διατύπωσε επίσης τον νόμο της τετραγωνικής αμοιβαιότητας. Η έννοια αυτή θεωρείται ως το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των αριθμών, και οι ιδέες του, άνοιξαν το δρόμο για το έργο του Καρλ Φρίντριχ Γκάους . [29]
Από το 1772 ο Όιλερ απέδειξε ότι 2 31 - 1 = 2,147,483,647 είναι Mersenne πρώτος αριθμός. Μπορεί να παρέμεινε ο πιο γνωστός πρώτος αριθμός έως το 1867. [30]
Θεωρία γράφων
Χάρτης του Κένιγκσμπεργκ της εποχής του Όιλερ.
Το 1736, Όιλερ έλυσε το πρόβλημα που είναι γνωστό ως Επτά Γέφυρες του Königsberg. [31] Η πόλη του Κένιγκσμπεργκ, στην Πρωσία χτίστηκε στον ποταμό Πρέγκελ, και περιλάμβανε δύο μεγάλα νησιά που συνδέονταν μεταξύ τους και με την ηπειρωτική χώρα με επτά γέφυρες. Το πρόβλημα είναι να αποφασίσει κατά πόσον είναι δυνατόν να ακολουθήσει μια διαδρομή που διασχίζει κάθε γέφυρα ακριβώς μια φορά και να επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης. Δεν είναι δυνατόν: δεν υπάρχει μονοπάτι του Όιλερ. Η λύση αυτή θεωρείται ότι είναι το πρώτο θεώρημα της θεωρίας γραφημάτων, ειδικότερα της θεωρίας του επίπεδου γραφήματος.[31]
V − E + F = 2
Ο Όιλερ επινόησε επίσης τον τύπο V - Ε + F = 2, που συσχετίζει τον αριθμό των κορυφών, των ακμών και των εδρών ενός κυρτού πολυέδρου[32], και ως εκ τούτου ενός επίπεδου γραφήματος. Η σταθερά στον τύπο αυτό είναι σήμερα γνωστή ως το χαρακτηριστικό Όιλερ για το γράφημα (ή άλλο μαθηματικό αντικείμενο), και σχετίζεται με το γένος του αντικειμένου. [33] Η μελέτη και η γενίκευση αυτού του τύπου, ειδικά από Cauchy [34] και L'Huillier , [35], αποτελεί την προέλευση της τοπολογίας.
V − E + F = 2
Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Μερικές από τις μεγαλύτερες επιτυχίες του Όιλερ ήταν στην επίλυση πραγματικών προβλημάτων αναλυτικά, και στην περιγραφή πολυάριθμων εφαρμογών των αριθμών Bernoulli, των σειρών Φουριέ, των διαγραμμάτων Venn, των αριθμών Όιλερ, των σταθερών e και π, και στη συνέχεια κλασμάτων και ολοκληρωμάτων. Ενσωμάτωσε στον διαφορικό λογισμό του Λάιμπνιτς, τη μέθοδο των συνεχών αλλαγών του Νεύτωνα και ανέπτυξε εργαλεία που έκαναν ευκολότερη την εφαρμογή του λογισμού σε προβλήματα φυσικής. Έκανε μεγάλα βήματα για τη βελτίωση της αριθμητικής προσέγγισης των ολοκληρωμάτων, εφευρίσκοντας αυτό που είναι σήμερα γνωστό ως προσεγγίσεις Euler. Η πιο αξιοσημείωτη από αυτές τις προσεγγίσεις είναι η μέθοδος του Euler και ο τύπος Euler-Maclaurin. Διευκόλυνε επίσης τη χρήση των διαφορικών εξισώσεων, ιδίως εισάγοντας τη σταθερά Euler-Mascheroni:
\( \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right). \)
Ένα από τα πιο ασυνήθιστα ενδιαφέροντα του Όιλερ ήταν η εφαρμογή των μαθηματικών ιδεών στη μουσική. Το 1739 έγραψε το Tentamen novae Musicae theoriae, ελπίζοντας να ενσωματώσει τελικά τη θεωρία της μουσικής ως μέρος των μαθηματικών. Αυτό το μέρος του έργου του, όμως, δεν έλαβε μεγάλη προσοχή και είχε κάποτε περιγραφεί ως πολύ μαθηματικό για τους μουσικούς και πολύ μουσικό για τους μαθηματικούς. [36]
Φυσική και Αστρονομία
Ο Όιλερ βοήθησε στην ανάπτυξη της εξίσωσης δοκού Euler-Bernoulli, η οποία έγινε ο ακρογωνιαίος λίθος της μηχανικής. Εκτός από την επιτυχή εφαρμογή των αναλυτικών εργαλείων του στα προβλήματα της κλασικής μηχανικής, ο Όιλερ εφάρμοσε αυτές τις τεχνικές και στα ουράνια προβλήματα. Το έργο του στην αστρονομία αναγνωρίστηκε με μια σειρά βραβείων από την Ακαδημία του Παρισιού κατά τη διάρκεια της καριέρας του. Επιτεύγματά του περιλαμβάνουν τον προσδιορισμό με μεγάλη ακρίβεια των τροχιών των κομητών και άλλων ουράνιων σωμάτων, την κατανόηση της φύσης των κομητών, καθώς και τον υπολογισμό της παράλλαξης του ήλιου. Οι υπολογισμοί του συνέβαλαν επίσης στην ανάπτυξη των ακριβών πινάκων γεωγραφικού μήκους .[37]
Επιπλέον, ο Όιλερ συνέβαλε σημαντικά στην οπτική. Διαφώνησε με την σωματιδιακή θεωρία του Νεύτωνα του φωτός στα Opticks, η οποία ήταν τότε η επικρατούσα θεωρία. Το 1740 τα χαρτιά του σχετικά με την οπτική βοήθησαν να διασφαλιστεί ότι η θεωρία των κυμάτων του φωτός που προτείνει ο Κρίστιαν Χόιχενς θα γίνει ο κυρίαρχος τρόπος σκέψης, τουλάχιστον μέχρι την ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας του φωτός. [38]
Το 1757 δημοσίευσε ένα σημαντικό σύνολο εξισώσεων για την ροή ιδανικού υγρού χωρίς τη χρήση ιξώδους, που είναι γνωστές σήμερα ως εξισώσεις Euler.
Λογική
Στον Όιλερ επίσης οφείλεται η χρήση κλειστών καμπυλών για να τονίσει τη συλλογιστική λογική (1768). Αυτά τα διαγράμματα έχουν γίνει γνωστά ως διαγράμματα Όιλερ . [39]
Προσωπική ιδεολογία και θρησκευτικές πεποιθήσεις
Ο Όιλερ και ο φίλος του Ντάνιελ Μπερνούλι ήταν αντίπαλοι του Λάιμπνιτς για τον μοναδισμό και τη φιλοσοφία του Κρίστιαν Βολφ. Ο Όιλερ επέμεινε ότι η γνώση είναι εν μέρει βάσιμη, βάσει ακριβών ποσοτικών νόμων, κάτι που ο μοναδισμός και η θεωρία του Βολφ δεν ήταν σε θέση να παράσχουν. Οι θρησκευτικές τάσεις του Όιλερ ίσως επίσης να ευθύνονταν για την απέχθεια του δόγματος, έφτασε σε τέτοιο σημείο ώστε να ονομάσει τις ιδέες του Βολφ ως «ειδωλολατρικές και αθεϊστικές» [40]
Πολλά από όσα είναι γνωστά για τις θρησκευτικές πεποιθήσεις του Όιλερ μπορεί να συναχθούν από τις Επιστολές προς μια Γερμανίδα πριγκίπισσα και μια προηγούμενη εργασία, την Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Άμυνα της Θείας Αποκάλυψης κατά των κατηγοριών των Freethinkers). Τα έργα αυτά δείχνουν ότι ο Όιλερ ήταν ένας αφοσιωμένος Χριστιανός που πίστευε στην Αγία Γραφή για να εμπνευστεί, η Rettung ήταν κυρίως ένα επιχείρημα για την θεοπνευστία της Αγίας Γραφής. [41]
Υπάρχει ένας διάσημος μύθος [42], εμπνευσμένος από τα επιχειρήματα του Euler σε κοσμικούς φιλοσόφους πάνω στη θρησκεία, που ειπώθηκαν κατά τη διάρκεια της δεύτερης θητείας του Euler στην ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης. Ο Γάλλος φιλόσοφος Ντενί Ντιντερό είχε επισκεφθεί τη Ρωσία μετά από πρόσκληση της Μεγάλης Αικατερίνης. Ωστόσο, η αυτοκράτειρα είχε θορυβηθεί ότι τα επιχειρήματα του φιλοσόφου για την αθεΐα επηρέαζαν τα μέλη του δικαστηρίου της και έτσι ο Όιλερ κλήθηκε να αντιμετωπίσει τον Γάλλο. Ο Ντιντερό ενημερώθηκε ότι ένας ειδικευμένος μαθηματικός είχε προσκομίσει μια απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού: συμφώνησε να δει την απόδειξη, όπως αυτή παρουσιάστηκε στο δικαστήριο. Ο Όιλερ εμφανίστηκε, προχώρησε προς τον Ντιντερό και με έναν τόνο τέλειας καταδίκης ανακοίνωσε αυτό το ανακόλουθο: "Κύριε, ως εκ τούτου, υπάρχει Θεός-απαντήστε!" Ο Ντιντερό, για τον οποίο (όπως λέει η ιστορία) όλα τα μαθηματικά ήταν ασυναρτησίες, στάθηκε αποσβολωμένος καθώς ξέσπασαν δυνατά γέλια στην αίθουσα. Αμήχανος, ζήτησε να φύγει από τη Ρωσία, ένα αίτημα που χορηγήθηκε με ευχαρίστηση από την αυτοκράτειρα. Όσο ψυχαγωγικό μπορεί να είναι αυτό το ανέκδοτο, σε αυτό κρύβεται, ότι στη συνέχεια ο ίδιος ο Ντιντερό έκανε έρευνα στα μαθηματικά .[43] Ο μύθος προφανώς ειπώθηκε για πρώτη φορά από τον [44] , και με σημαντικά διακοσμητικά στοιχεία Augustus De Morgan ..[45][46]
Επέτειοι
Ο Όιλερ απεικονίστηκε στο ελβετικό χαρτονόμισμα των 10 φράγκων και σε πολυάριθμα γραμματόσημα της Ελβετίας, της Γερμανίας και της Ρωσίας. Ο αστεροειδής 2002 Euler ονομάστηκε προς τιμήν του. Επίσης μνημονεύεται από την Λουθηρανική Εκκλησία στο Ημερολόγιο των Αγίων της στις 24 Μαΐου-ήταν ένας αφοσιωμένος Χριστιανός (και πιστός στην αδιαμφισβήτητη αλήθεια της Βίβλου) που έγραψε απολογητική και πολέμησε σθεναρά εναντίον των επιφανών αθεϊστών της εποχής του. [41]
Στις 15 Απριλίου 2013, τα 306α γενέθλια του Όιλερ γιορτάστηκαν με ένα Google Doodle.
Έργο
Διακρίθηκε στα ανώτερα μαθηματικά και κυρίως στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό. Οι σπουδαιότερες εργασίες του αναφέρονται στην ανάλυση των ισοπεριμέτρων, στη συσχέτιση των κυκλικών και των εκθετικών συναρτήσεων, στη θεωρία της περιστροφής σώματος γύρω από σταθερό σημείο, στην αναλυτική γεωμετρία (την οποία συμπλήρωσε και τελειοποίησε), στη θεωρία των αριθμών κ.τ.λ. Ακόμη υπήρξε ο εισηγητής της συντομογραφίας και του συμβολισμού (τριγωνομετρία), κάνοντας πρώτος τη χρήση του συμβόλου e για τον προσδιορισμό της βάσης των φυσικών λογαρίθμων. Πολλοί μαθηματικοί όροι φέρουν το όνομά του, όπως η σταθερά του Όιλερ, ο αριθμός του Όιλερ (το γνωστό e), οι μεταβλητές, η γραμμή και η εξίσωση του Όιλερ κ.ά. Από τα έργα του σπουδαιότερα είναι: Η μηχανή ή η επιστήμη της κίνησης (1736), Θεωρία των κινήσεων πλανητών και κομητών (1744), Εισαγωγή στην ανάλυση των απείρως μικρών (1748, 2 τόμοι), Γενικές αρχές του διαφορικού λογισμού (1755), Γενικές αρχές του ολοκληρωτικού λογισμού (1768 - 1774), Εγχειρίδιο άλγεβρας (1770),Θεωρία των κινήσεων της Σελήνης (1772). Τα έργα του σήμερα ξεπερνούν τους 75 τόμους συνολικά.
Θεωρείται μάλιστα ο "πατέρας" του γνωστού παιχνιδιού σουντόκου, αφού ο ίδιος διατύπωσε πρώτος τους κανόνες του.[47]
Για την ακρίβεια, το έργο του αποτελείται από 75 τόμους, συνολικά 45.000 σελίδες μαθηματικών. Επίσης υπάρχουν 4.000 χειρόγραφα (αλληλογραφία με διάσημους σύγχρονους του μαθηματικούς).
Παραπομπές
Dunham 1999, σελ. 17
Finkel, B. F. (1897). «Biography—Leonard Euler». The American Mathematical Monthly 4 (12): 297–302.
Dunham 1999, σελ. xiii "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."
James, Ioan (2002). Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, σελ. 2. ISBN 0-521-52094-0.
Euler's Dissertation De Sono : E002. Translated & Annotated by Ian Bruce. (PDF) . 17centurymaths.com. Retrieved on 2011-09-14.
Calinger 1996, σελ. 156 Σφάλμα αναφοράς: Invalid <ref> tag; name "prize" defined multiple times with different content
Calinger 1996, σελ. 125
Calinger 1996, σελ. 127
Calinger 1996, σελίδες 128–9
Fuss, Nicolas. «Eulogy of Euler by Fuss». Ανακτήθηκε στις 30 August 2006.
«E212 – Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum». Dartmouth.
Dunham 1999, σελίδες xxiv–xxv
Euler, Leonhard. «Letters to a German Princess on Diverse Subjects of Natural Philosophy». Internet Archive, Digitzed by Google. Ανακτήθηκε στις 15 April 2013.
Frederick II of Prussia (1927). Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778. Richard Aldington. New York: Brentano's.
Calinger 1996, σελίδες 154–5
Gekker & Euler 2007, σελ. 405
A. Ya. Yakovlev (1983). Leonhard Euler. M.: Prosvesheniye.
«Eloge de M. Leonhard Euler. Par M. Fuss». Nova Acta Academia Scientarum Imperialis Petropolitanae 1: 159–212. 1783.
Marquis de Condorcet. «Eulogy of Euler – Condorcet». Ανακτήθηκε στις 30 August 2006.
Επικήδειος
Derbyshire, John (2003). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. Washington, D.C.: Joseph Henry Press, σελ. 422.
Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, σελ. 439–445. ISBN 0-471-54397-7. Σφάλμα αναφοράς: Invalid <ref> tag; name "Boyer" defined multiple times with different content
Wolfram, Stephen. «Mathematical Notation: Past and Future». Ανακτήθηκε στις August 2006.
Wanner, Gerhard; Harrier, Ernst (March 2005). Analysis by its history (1st έκδοση). Springer, σελ. 62.
Feynman, Richard (June 1970). «Chapter 22: Algebra». The Feynman Lectures on Physics: Volume I, σελ. 10.
Wells, David (1990). «Are these the most beautiful?». Mathematical Intelligencer 12 (3): 37–41. doi:10.1007/BF03024015.
Wells, David (1988). «Which is the most beautiful?». Mathematical Intelligencer 10 (4): 30–31. doi:10.1007/BF03023741.
See also: Peterson, Ivars. «The Mathematical Tourist». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2007-03-31. Ανακτήθηκε στις March 2008.
Dunham 1999, Ch. 3, Ch. 4
Dunham 1999, Ch. 1, Ch. 4
Caldwell, Chris. The largest known prime by year
Alexanderson, Gerald (July 2006). «Euler and Königsberg's bridges: a historical view». Bulletin of the American Mathematical Society 43 (4): 567. doi:10.1090/S0273-0979-06-01130-X.
Cromwell, Peter R. (1999). Polyhedra. Cambridge University Press, σελ. 189–190. ISBN 978-0-521-66405-9.
Gibbons, Alan (1985). Algorithmic Graph Theory. Cambridge University Press, σελ. 72. ISBN 978-0-521-28881-1.
Cauchy, A. L. (1813). «Recherche sur les polyèdres—premier mémoire». Journal de l'École Polytechnique 9 (Cahier 16): 66–86.
L'Huillier, S.-A.-J. (1861). «Mémoire sur la polyèdrométrie». Annales de Mathématiques 3: 169–189.
Calinger 1996, σελίδες 144–5
Youschkevitch, A P; Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).
Home, R. W. (1988). «Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light». Annals of Science 45 (5): 521–533. doi:10.1080/00033798800200371.
Baron, M. E. (May 1969). «A Note on The Historical Development of Logic Diagrams». The Mathematical Gazette LIII (383): 113–125.
Calinger 1996, σελίδες 153–4
Euler, Leonhard (1960). Orell-Fussli. επιμ. «Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister». Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3) 12.
Brown, B. H. (May 1942). «The Euler-Diderot Anecdote». The American Mathematical Monthly 49 (5): 302–303. doi:10.2307/2303096.; Gillings, R. J. (February 1954). «The So-Called Euler-Diderot Incident». The American Mathematical Monthly 61 (2): 77–80. doi:10.2307/2307789.
Marty, Jacques. «Quelques aspects des travaux de Diderot en Mathematiques Mixtes.».
Brown, B.H. (May 1942). «The Euler-Diderot Anecdote». American Mathematical Monthly 49 (5): 302–303.
Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics (3rd revised έκδοση). Dover Books, σελ. 129. ISBN 0486602559.
Gillings, R.J. (Feb 1954). «The So-Called Euler-Diderot Anecdote». American Mathematical Monthly 61 (2): 77–80.
Ιστορία του sudoku
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Βιογραφία
Ιστορία του su doku.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
