Τρίγωνο Ρελώ

Η ονομασία τρίγωνο Ρελώ (αγγλικά: Reuleaux triangle, γερμανικά: Reuleaux-Dreieck, [ʁœlo]) αναφέρεται στο σχήμα που κατασκευάζεται από την τομή των τριών κυκλικών δίσκων, που ο καθένας έχει το κέντρο του στο όριο των άλλων δύο. Είναι μια καμπύλη σταθερού πλάτους, η απλούστερη και δημοφιλέστερη καμπύλη εκτός από τον κύκλο.[1] Σταθερό πλάτος σημαίνει ότι ο διαχωρισμός των δύο παράλληλων υποστηρικτικών γραμμών είναι ο ίδιος, ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό τους. Επειδή όλες οι διάμετροι είναι ίδιες, το τρίγωνο Ρελώ είναι μία απάντηση στην ερώτηση: "εκτός από έναν κύκλο, τι μορφή μπορεί να έχει ένα καπάκι φρεατίου έτσι ώστε να μην μπορεί να πέσει μέσα στην τρύπα;"[2]

Τα Ρελώ τρίγωνα είναι επίσης γνωστά και ως σφαιρικά τρίγωνα, αλλά αυτός ο όρος πιο σωστά αναφέρεται σε τρίγωνα στην κυρτή επιφάνεια μιας σφαίρας. Πήραν το όνομά τους από τον Φραντς Ρελώ (Frantz Reuleaux),[3]έναν γερμανό μηχανικό που έζησε τον 19ο αιώνα και πρωτοστάτησε στην μελέτη μηχανών για τη μεταφορά ενός τύπου κίνησης σε ένα άλλο, και που χρησιμοποίησε Ρελώ τρίγωνα στα σχέδιά του.[4] Ωστόσο, αυτά τα σχήματα ήταν γνωστά ήδη από τα προηγούμενα χρόνια, μέσα από τους σχεδιαστές του προτύπου των παραθύρων μιας Γοτθικής εκκλησίας , αλλά και απο τον Λεονάρντο ντα Βίντσι ο οποίος το χρησιμοποίησε για να σχεδιάσει έναν χάρτη, ακόμα και από τον Leonhard Euler στη μελέτη του για τα σταθερού πλάτους σχήματα. Άλλες εφαρμογές του τριγώνου Ρελώ συμπεριλαμβάνουν τη μορφοποίηση κιθάρας, μολυβιών, και τρυπάνι bits για τη διάτρυση τρυπών τετράγωνης διατομής, καθώς και για το γραφιστικό σχέδιο με τα σχήματα ορισμένων σημάτων και εταιρικών λογοτύπων.

Μεταξύ σχημάτων σταθερού πλάτους, σχήματων με ένα συγκεκριμένο πλάτος, το Ρελώ τρίγωνο έχει το ελάχιστο εμβαδόν και την καθαρότερη δυνατή γωνία (120°) στις κορυφές του. Από πολλές αριθμητικές μετρήσεις είναι το σχήμα που αποκλίνει στο να είναι ένα από τα κεντρικά συμμετρικά. Παρέχει το μεγαλύτερο σταθερού πλάτους σχήμα, αποφεύγοντας τα σημεία ενός ακέραιου πλέγματος, και είναι στενά συνδεδεμένη με το σχήμα του τετράπλευρου αν μεγιστοποιήσουμε το λόγο της περιμέτρου προς τη διάμετρο. Μπορεί να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή μέσα σε ένα τετράγωνο, ενώ ανά πάσα στιγμή κρατάει την επαφή με όλες τις τέσσερις πλευρές του τετραγώνου, και καταλαμβάνει το μικρότερο δυνατό χώρο σε σχέση με άλλα σχήματα με αυτή την ιδιότητα. Ωστόσο, αν και καλύπτει το μεγαλύτερο μέρος του τετραγώνου σε αυτή την περιστροφική διαδικασία, αποτυγχάνει να καλύψει ένα μικρό μέρος του τετραγώνου, κοντά στις κορυφές του. Λόγω αυτής της ιδιότητάς του ,να περιστρέφεται μέσα σε ένα τετράγωνο, το τρίγωνο Ρελώ είναι επίσης μερικές φορές γνωστό ως Ρελώ δρομέας.[5]

Το τρίγωνο Ρελώ είναι το πρώτο από μια σειρά Ρελώ πολύγωνα, καμπύλες σταθερού πλάτους που σχηματίζονται από κανονικά πολύγωνα με περιττό αριθμό πλευρών. Μερικές από αυτές τις καμπύλες έχουν χρησιμοποιηθεί, όπως τα σχήματα των κερμάτων. Το τρίγωνο Ρελώ μπορεί επίσης να γενικευτεί σε τρεις διαστάσεις με πολλούς τρόπους: το Ρελώ τετράεδρο (η τομή των τεσσάρων σφαιρών των οποίων τα κέντρα βρίσκονται σε ένα κανονικό τετράεδρο) δεν έχουν σταθερό πλάτος, αλλά μπορεί να τροποποιηθεί μέσα από το στρογγύλεμα των άκρων για να σχηματιστεί το Μeissner τετράεδρο, το οποίο έχει. Εναλλακτικά, η επιφάνεια εκ περιστροφής του τρίγωνο Ρελώυ, έχει επίσης σταθερό πλάτος.

Κατασκευή

Γεωμετρική κατασκευή

Το τρίγωνο Ρελώ μπορεί να κατασκευαστεί είτε απευθείας από τρεις κύκλους, είτε από τη στρογγυλοποίηση των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου.[6]

Η κατασκευή με τους τρεις κύκλους μπορεί να πραγματοποιηθεί με έναν και μόνο διαβήτη , χωρίς καν να χρειαστεί χάρακας. Από το θεώρημα του Mohr–Mascheroni το ίδιο ισχύει γενικότερα και για κάθε κατασκευή με διαβήτη και χάρακα,[7] , αλλά ειδικότερα η κατασκευή για το τρίγωνο Ρελώ είναι ιδιαίτερα απλή. Το πρώτο βήμα είναι να επισημάνετε δύο τυχαία σημεία του επιπέδου (τα οποία θα είναι οι κορυφές του τριγώνου), και να χρησιμοποιήσετε τον διαβήτη για να σχεδιάσετε έναν κύκλο με κέντρο το πρώτο σημείο, και ακτίνα πάνω στο δεύτερο σημείο. Μετά, σχεδιάστε ένα δεύτερο κύκλο,με την ίδια ακτίνα, και κέντρο τώρα στο δεύτερο σημείο ,που θα περνάει μέσα από το πρώτο σημείο. Τέλος, σχεδιάστε ένα τρίτο κύκλο, πάλι με την ίδια ακτίνα, με κέντρο σε ένα από τα δύο σημεία τομής των δύο προηγούμενων κύκλων, που διέρχονται από τα δύο τυχαία σημεία.[8] Η κεντρική περιοχή που προκύπτει από την διάταξη των τριών κύκλων θα είναι ένα τρίγωνο Ρελώ.[6]

Εναλλακτικά, ένα τρίγωνο Ρελώ μπορεί να κατασκευαστεί από ένα ισόπλευρο τρίγωνο T σχεδιάζοντας τρία τόξα κύκλων, το καθένα από τα οποία έχει κέντρο μία κορυφή του T και συνδέει τις άλλες δύο κορυφές.[9] Ή, αντίστοιχα, μπορεί να κατασκευαστεί ως η τομή των τριών δίσκων με κέντρο τις κορυφές του T, και ακτίνα ίση με το μήκος της πλευράς του Τ.[10]

Μαθηματικές ιδιότητες

Παράλληλες υποστηρικτικές γραμμές του Ρελώ τριγώνου

Η πιο βασική ιδιότητα του Ρελώ τριγώνου είναι ότι έχει σταθερό πλάτος, με την έννοια ότι κάθε ζεύγος παράλληλων υποστηρικτικών γραμμών (δύο γραμμές που έχουν την ίδια κλίση, εφάπτονται στο σχήμα χωρίς να τέμνουν κάποιο σημείο της επιφάνειάς του), έχει την ίδια Ευκλείδεια απόσταση, ανεξάρτητα από την κλίση του.[9] Σε κάθε ζεύγος παράλληλωνυποστηρικτικών γραμμών, η μία από τις δύο γραμμές αναγκαστικά θα αγγίξει το τρίγωνο σε μία από τις κορυφές του. Η άλλη γραμμή μπορεί να αγγίξει το τρίγωνο σε οποιοδήποτε σημείο στο απέναντι τόξο, και η απόσταση των γραμμών (το πλάτος του τρίγωνο Ρελώυ) ισούται με την ακτίνα του τόξου.[11]

Ο πρώτος μαθηματικός που ανακάλυψε την ύπαρξη των καμπυλών σταθερού πλάτους, και παρατήρησε ότι το τρίγωνο Ρελώ έχει σταθερό πλάτος, πρέπει να ήταν ο Λέοναρντ Όιλερ .[5] Σε ένα έγγραφο που παρουσίασε το 1771 και δημοσιεύθηκε το 1781 με τίτλο De curvis triangularibus, ο 'Οιλερ ασχολήθηκε με τα καμπυλωτά τρίγωνα, καθώς και τις καμπύλες σταθερού πλάτους, τις οποίες ονόμασε orbiforms.[12][13]

Εξαιρετικές μετρήσεις

Από πολλά διαφορετικά μέτρα, το τρίγωνο Ρελώ είναι μία από τις πιο ακραίες καμπύλες σταθερού πλάτους.

Από το Blaschke–Lebesgue θεώρημα, το τρίγωνο Ρελώ έχει το μικρότερο δυνατό εμβαδόν από κάθε καμπύλη με δεδομένο σταθερό πλάτος. Αυτή η περιοχή είναι

\( {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.70477s^{2},} \)

όπου s είναι το σταθερό πλάτος. Μία μέθοδος για την εξαγωγή αυτού του τύπου είναι να αποσυνθέσεις το τρίγωνο Ρελώ σε ένα εσωτερικό ισόπλευρο τρίγωνο και τρεις καμπυλόγραμμες περιοχές μεταξύ αυτού του εσωτερικού τριγώνου και των τόξων που σχηματίζει το τρίγωνο Ρελώ, και, στη συνέχεια,να προσθέσεις τις περιοχές αυτών των τεσσάρων συνόλων. Στο άλλο άκρο, η καμπύλη σταθερού πλάτους που έχει το μέγιστο δυνατό εμβαδόν είναι ο κυκλικός δίσκος, το οποίο έχει την περιοχή π s 2 / 4 ≈ 0.78540 s 2 {\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.78540s^{2}} {\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.78540s^{2}}.[14]

Οι γωνίες που σχηματίζονται από κάθε ζευγάρι τόξα στις κορυφές του Ρελώ τριγώνου είναι όλες ίσες με 120°. Αυτή είναι η ευκρινέστερη δυνατή γωνία, σε οποιαδήποτε κορυφή κάθε καμπύλης σταθερού πλάτους.[9] Επιπλέον, μεταξύ των καμπυλών σταθερού πλάτους, το τρίγωνο Ρελώ είναι το μόνο με το μεγαλύτερο και το μικρότερο χαραγμένο ισόπλευρο τρίγωνο.[15] Το μεγαλύτερο ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο Ρελώ είναι αυτό που συνδέει τις τρεις γωνίες, και το μικρότερο είναι αυτό που συνδέει τα τρία μέσα των πλευρών του. Το υποσύνολο του Ρελώ τριγώνου που αποτελείται από τρία ή περισσότερα αντιδιαμετρικά σημεία γίνεται μέγιστο με το εσωτερικό του μεγαλύτερου από αυτά τα δύο τρίγωνα που αναφέραμε παραπάνω, επίσης, ορίζει τη μεγαλύτερη περιοχή από το σύνολο τριών αντιδιαμετρικών σημείων οποιασδήποτε άλλης καμπύλη σταθερού πλάτους.[16]

Συμμετρικά σχήματα ως προς το κέντρο μέσα και έξω από ένα τρίγωνο Ρελώ, χρησιμοποιούνταιι για να μετρήσουν την ασυμμετρία

Αν και το τρίγωνο Ρελώ έχει εξαπλή διεδρική συμμετρία, όπως ακριβώς και ένα ισόπλευρο τρίγωνο, δεν έχει κέντρο συμμετρίας. Το τρίγωνο Ρελώ είναι η μικρότερη συμμετρική καμπύλη σταθερού πλάτους, σύμφωνα με δύο διαφορετικά μέτρα κεντρικής ασυμμετρίας, του Kovner–Besicovitch μέτρου (αναλογία του εμβαδού προς το μεγαλύτερο συμμετρικό σχήμα που περικλείεται από την καμπύλη) και του Estermann μέτρου (αναλογία του εμβαδού προς το μικρότερο συμμετρικό σχήμα που περικλείεται από την καμπύλη). Για το τρίγωνο Ρελώ, τα δύο κεντρικά συμμετρικά σχήματα που καθορίζουν τα μέτρα ασυμμετρίας είναι και τα δύο εξάγωνα, αν και στο εσωτερικό τους έχουν καμπύλες πλευρές.[17] Το τρίγωνο Ρελώ έχει διαμέτρους που το χωρίζουν σε άνισα κομμάτια περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη καμπύλη σταθερού πλάτους. Δηλαδή, η μέγιστη αναλογία από κάθε πλεύρα της διαμέτρου, ένα ακόμα μέτρο ασυμμετρίας, είναι μεγαλύτερη για το τρίγωνο Ρελώ απ' ό,τι για τις άλλες καμπύλες σταθερού πλάτους.[18]

Ανάμεσα σε όλα τα σχήματα σταθερού πλάτους που αποφεύγουν όλα τα σημεία ενός ακέραιου δικτυωτού πλέγματος, το μόνο με το μεγαλύτερο πλάτος είναι το τρίγωνο Ρελώ. Έχει έναν από τους άξονες συμμετρίας του παράλληλο προς τους άξονες συντεταγμένων μιας ημιακέραιας γραμμής . Το πλάτος, περίπου 1.545, είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου 6ου βαθμού με ακέραιους συντελεστές.[17][19][20]

Ακριβώς όπως είναι δυνατόν για έναν κύκλο να περιβάλλεται από έξι εφαπτόμενους κύκλους ,έτσι είναι επίσης δυνατόν να σχεδιαστούν επτά σύμφωνα Ρελώ τρίγωνα, έτσι ώστε όλα να επικοινωνούν με το κεντρικό τρίγωνο Ρελώ με το ίδιο μέγεθος. Αυτός είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός για κάθε καμπύλη σταθερού πλάτους.[21]

Ένας χαρταετός με ίσες διαγωνίους που μεγιστοποιεί το λόγο της περιμέτρου προς τη διάμετρο, που εγγράφεται σε ένα τρίγωνο Ρελώ

Ανάμεσα σε όλα τα τετράπλευρα, το σχήμα που έχει τη μεγαλύτερη αναλογία της περιμέτρου προς τη διάμετρο είναι ένας χαρταετός με ίσες διαγωνίους που μπορούν να εγγραφούν σε ένα τρίγωνο Ρελώ.[22]
Άλλα μέτρα

Με βάση το Θεώρημα του Μπαρμπιέ όλες οι καμπύλες ίσου πλάτους ανάμεσά τους και το Ρελώ τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Συγκεκριμένα η περίμετρος ισούται με την περίμετρο του κύκλου με το ίδιο πλάτος, που είναι πs

Οι ακτίνες από τον μεγαλύτερο εγγεγραμμένο κύκλο του τρίγωνο Ρελώ με το πλάτος s, και του περιγεγραμμένου κύκλου του ίδιου τριγώνου, είναι

\( {\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.42265s} \) και \( {\displaystyle \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.57735s} \)

αντίστοιχα, το άθροισμα αυτών των ακτίνων ισούται με το πλάτος του Ρελώ τριγώνου. Γενικότερα, για κάθε καμπύλη σταθερού πλάτους, ο μεγαλύτερος εγγεγραμμένος κύκλος και ο μικρότερος περιγεγραμμένος είναι ομόκεντροι, και το άθροισμα των ακτινών τους δίνει το σταθερό πλάτος της καμπύλης.[23]

Η βέλτιστη χωριτικότητα που μπορεί να περικλείσει ενα τρίγωνο Ρελώ στο επίπεδο παραμένει αναπόδεικτη, αλλά εικάζεται να είναι

η οποία είναι η χωρητικότητα ενός δυνατού διπλού πλέγματος. Το μεγαλύτερο αποδεδειγμένο άνω φράγμα για την πυκνότητα συσκευασίας είναι περίπου 0.947275.[24] Επίσης, εικάζεται, αλλά δεν έχει αποδειχθεί, ότι τα Ρελώ τρίγωνα μπορούν να περικλείσουν την μεγαλύτερη χωρητικότητα από κάθε άλλη καμπύλη σταθερού πλάτους.[25]

Περιστροφή μέσα σε ένα τετράγωνο

Περιστροφή του τρίγωνο Ρελώ μέσα σε ένα τετράγωνο, που δείχνει, επίσης, την καμπύλη που διαγράφεται από τα διάφορα κέντρα των τριγώνων

Κάθε καμπύλη σταθερού πλάτους μπορεί να περιστραφεί μέσα σε ένα τετράγωνο, ένα σχήμα δηλαδή που μπορεί να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή παραμένοντας μέσα στο τετράγωνο και ανά πάσα στιγμή να αγγίζει και τις τέσσερις πλευρές του τετραγώνου. Ωστόσο, το τρίγωνο Ρελώ είναι το περιστρεφόμενο σχήμα που καταλαμβάνει τον ελάχιστο δυνατό χώρο.[9] Καθώς περιστρέφεται, οι άξονες του δεν μένουν σταθεροί σε ένα σημείο, αλλά, αντίθετα, διαγράφουν μια καμπύλη που σχηματίζεται από τα κομμάτια των τεσσάρων ελλείψεων.[26] Λόγω των γωνιών με 120° , το περιστρεφόμενο τρίγωνο Ρελώ δεν μπορεί να "αγγίξει" κάποια σημεία κοντά στις γωνίες που βρίσκονται στις κορυφές του τετραγώνου, αλλά καλύπτει ένα σχήμα με ελαφρώς στρογγυλεμένες γωνίες, και σχηματίζεται από ελλειπτικά τόξα.[9]

Σε οποιοδήποτε σημείο κατά τη διάρκεια αυτής της περιστροφής, δύο από τις γωνίες του Ρελώ τριγώνου εφάπτονται των δύο προσκείμενων πλευρών του τετραγώνου, ενώ η τρίτη γωνία του τριγώνου αφήνει μια καμπύλη κοντά στην απέναντι κορυφή του τετραγώνου. Το σχήμα που διαγράφεται από το περιστρεφόμενο τρίγωνο Ρελώ καλύπτει περίπου 98.77% της επιφάνειας του τετραγώνου.[27]
Ως αντιπαράδειγμα

Το αρχικό κίνητρο του Ρελώ για τη μελέτη του τριγώνου του ήταν,ως αντιπαράδειγμα, να δείξει ότι τα τρία μοναδικά σημεία επαφών δεν μπορούν να είναι αρκετά για να καθορίσουν ένα επίπεδο αντικείμενο σε μια ενιαία θέση.[28]

Η ύπαρξη του Ρελώ πολυγώνου δείχνει ότι οι μετρήσεις της διαμέτρου μόνες τους δεν μπορούν να επαληθεύσουν ότι ένα αντικείμενο έχει μια κυκλική διατομή.[29]Εξετάζοντας ξανά το γεγονός αυτό μπορεί να έπαιξε ένα ρόλο στην καταστροφή του Διαστημικού Λεωφορείου Challenger, όπως στην έναρξη η καμπυλότητα των τμημάτων των πυραύλων δοκιμάστηκε μόνο με τη μέτρηση διαφόρων διαμέτρων,έτσι και τα μη καμπυλωμένα σχήματα μπορεί να προκάλεσαν ασυνήθιστα υψηλή πίεση, ώστε θα μπορούσε να είναι ένας από τους παράγοντες που προκάλεσαν την καταστροφή.[9]

Σε σχέση με το εγγεγραμμένο πρόβλημα του τετραγώνου , ο Eggleston (1958) παρατήρησε ότι το τρίγωνο Ρελώ παρέχει ένα παράδειγμα ενός σχήματος με σταθερό πλάτος στο οποίο κανένα κανονικό πολύγωνο με περισσότερες από τέσσερις πλευρές δεν μπορεί να εγγραφεί, εκτός από το κανονικό εξάγωνο, και περιέγραψε μια μικρή τροποποίηση σε αυτό το σχήμα που διατηρεί σταθερό πλάτος, αλλά ταυτόχρονα αποτρέπει τα κανονικά εξάγωνα να εγγράφονται σε αυτό. Γενίκευσε το αποτέλεσμα αυτό σε τρεις διαστάσεις, χρησιμοποιώντας έναν κύλινδρο με το ίδιο σχήμα όπως η διατομή τους.[30]

Εφαρμογές
Φτάνοντας σε γωνίες

Διάφοροι τύποι μηχανών έχουν πάρει το σχήμα του Ρελώ τριγώνου, με βάση την ιδιότητά του ότι είναι σε θέση να περιστρέφεται μέσα σε ένα τετράγωνο.

Τα Watt Brothers Tool Works κατασκευάζουν τρυπάνια που έχουν το σχήμα ενός Ρελώ τριγώνου, τροποποιημένο με concavities για να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε επιφάνειες κοπής. Όταν τοποθετείται σε μια ειδική εσοχή που επιτρέπει για το κομμάτι που δεν έχει ένα σταθερό κέντρο περιστροφής, να μπορεί να δημιουργεί μια τρύπα που είναι κοντά στο τετράγωνο.[31] Αν και κατοχυρωμένη με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας από τον Henry Watt το 1914, παρόμοιες ασκήσεις που εφευρέθηκαν από άλλους χρησιμοποιήθηκαν προηγουμένως.[9] Άλλα Ρελώ πολύγωνα χρησιμοποιούνται για να δημιουργούν πενταγωνικές, εξαγωνικές, και οκταγωνικές τρύπες.[9][31]

Panasonics RULO ,ρομποτική ηλεκτρική σκούπα, έχει το σχήμα με βάση το τρίγωνο Ρελώ, προκειμένου να διευκολύνει τον καθαρισμό της σκόνης στις γωνίες των δωματίων.[32][33]
Οι κυλιόμενοι κύλινδροι

Σύγκριση κυλινδρικού και Ρελώ τριγώνου κυλίνδρου

Μια άλλη κατηγορία εφαρμογών του Ρελώ τριγώνου περιλαμβάνει τα κυλινδρικά αντικείμενα με σχήμα βάσης το τρίγωνο Ρελώ. Πολλά μολύβια κατασκευάζονται σε αυτό το σχήμα, ακόμα πιο πολλά και από τα περισσότερα παραδοσιακά στρόγγυλα ή εξαγωνικά.[34] Συνήθως προωθούνται ως πιο άνετα ή κατάλληλα για την καλύτερη πρόσφυση, καθώς είναι λιγότερο πιθανό να κυλιστούν σε τραπέζια (δεδομένου ότι το κέντρο βάρους μετακινείται προς τα επάνω και προς τα κάτω περισσότερο από ένα κυλιόμενο εξάγωνο).

Ένα τρίγωνο Ρελώ (μαζί με όλες τις άλλες καμπύλες σταθερού πλάτους) μπορεί να κυλιστεί αλλά κάνει μια 'αδύναμη' τροχιά, επειδή δεν κυλίεται γύρω από ένα σταθερό κέντρο περιστροφής. Ένα αντικείμενο πάνω σε κυλίνδρους, που έχουν ως βάση το τρίγωνο Ρελώ θα κυλήσει ομαλά πάνω στο επίπεδο, αλλά βρίσκοντας μπροστά του έναν άξονα ως εμπόδιο θα αναπηδήσει πάνω και κάτω τρεις φορές ανά στροφή.[9][35] Η έννοια αυτή χρησιμοποιήθηκε σε μια νουβέλα επιστημονικής φαντασίας από τον Poul Anderson, με τίτλο "Τριγωνικός Τροχός".[11] Ένα ποδήλατο με κυμαινόμενους άξονες και ένα πλαίσιο υποστηριζόμενο από την άκρη του τροχού σε σχήμα τρίγωνο Ρελώ χτίστηκε και παρουσιάστηκε το 2009 από τον Κινέζο εφευρέτη Guan Baihua, που ήταν εμπνευσμένο από τα μολύβια με το ίδιο σχήμα.[36]

Μηχανικό σχέδιο

τρίγωνο Ρελώ με βάση ταινία ,μηχανισμός στο Σοβιετικό Luch-2 8 mm προβολέα ταινιών

Μια άλλη κατηγορία εφαρμογών του Ρελώ τριγώνου περιλαμβάνει τη χρήση του ως ένα μέρος της μηχανικής σύνδεσης, που μπορεί να μετατρέψει την περιστροφή γύρω από έναν σταθερό άξονα σε παλινδρομική κίνηση.[10] Οι μηχανισμοί αυτοί μελετήθηκαν από τον Franz Ρελώ. Με τη βοήθεια της εταιρείας του Gustav Voigt ,ο Ρελώ έχτισε περίπου 800 μοντέλα μηχανισμών, πολλά από τα οποία περιλαμβάνουν το τρίγωνο Ρελώ.[37]Ο Ρελώ χρησιμοποίησε τα μοντέλα αυτά με τις πρωτοποριακές επιστημονικές έρευνες των κινήσεων τους.[38] Αν και τα περισσότερα από τα μοντέλα των Ρελώ–Voigt έχουν χαθεί, 219 από αυτά έχουν συλλεχθεί στο Πανεπιστήμιο Cornell, συμπεριλαμβανομένων εννέα με βάση το τρίγωνο Ρελώ.[37][39] Ωστόσο, η χρήση του Ρελώ τριγώνου στο μηχανικό σχέδιο προηγείται του έργου του Ρελώ * για παράδειγμα, ορισμένες μηχανές ατμού είχαν ήδη από το 1830 έναν άξονα σε σχήμα Ρελώ τριγώνου.[40][41]

Μία εφαρμογή αυτής της αρχής προκύπτει σε έναν προβολέα ταινιών. Σε αυτή την εφαρμογή, είναι απαραίτητο να προχωρήσει η ταινία σε σπασμωδικές, σταδιακές κινήσεις, στις οποίες κάθε καρέ της ταινίας σταματά για ένα κλάσμα του δευτερολέπτου μπροστά από το φακό του προβολέα και, στη συνέχεια, πολύ πιο γρήγορα η ταινία κινείται στο επόμενο καρέ. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα μηχανισμό στον οποίο η περιστροφή του Ρελώ τριγώνου μέσα σε ένα τετράγωνο χρησιμοποιείται για να δημιουργήσει ένα μοτίβο κίνησης για να ενεργοποιηθεί ένας μοχλός που τραβά την ταινία γρήγορα σε κάθε νέο καρέ και, στη συνέχεια, παύει τη κίνηση του φιλμ, ενώ το καρέ έχει προβληθεί.[42]

Ο ρότορας του Wankel κινητήρα είναι διαμορφωμένος όπως ένα καμπυλόγραμμο τρίγωνο και συχνά αναφέρεται ως ένα παράδειγμα Ρελώ τριγώνου.[9][41] Ωστόσο, οι καμπύλες πλευρές είναι κάπως πιο επίπεδες από εκείνες του Ρελώ τριγώνου και γι ' αυτό δεν έχουν σταθερό πλάτος.[43]

Αρχιτεκτονική

Παράθυρο της Εκκλησίας της παναγίας, στην Bruges , στο Βέλγιο σε σχήμα Ρελώ τριγώνου

Το Kölntriangle κτίριο έχει ως βάση το τρίγωνο Ρελώ

Σε Γοτθική αρχιτεκτονική, στα τέλη του 13ου αιώνα με αρχές του 14ου αιώνα,[44] το τρίγωνο Ρελώ έγινε μία από τις πολλές καμπυλόγραμμες φόρμες που χρησιμοποιούνταν συχνά για τα παράθυρα, τα περίτεχνα στολίδια των παραθύρων, καθώς και άλλα αρχιτεκτονικά στολίδια.[3] Για παράδειγμα, στην αγγλική Γοτθική αρχιτεκτονική, το σχήμα αυτό ήταν που συνδέονταν με την περίφημη περίοδο της 'Διακόσμησης', τόσο στο γεωμετρικό ύφος της, το 1250-1290 όσο και συνεχίζοντας σε καμπυλόγραμμα στυλ του 1290-1350.[44] Σε αυτό το πλαίσιο, το σχήμα συνηθίζεται να αποκαλείται σφαιρικό τρίγωνο,[44][45][46] αλλά η πιο συνήθης μαθηματική έννοια του σφαιρικού τριγώνου είναι ένα τρίγωνο πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας (ένα σχήμα, επίσης, που χρησιμοποιείται ευρέως στην αρχιτεκτονική ως pendentive). Κατά τη χρήση του στην Γοτθική αρχιτεκτονική της εκκλησίας, το τριγωνικό σχήμα του Ρελώ τριγώνου μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύμβολο της αγίας Τριάδας,[47] και ως "μια πράξη εναντίωσης στη μορφή του κύκλου".[48]

Το τρίγωνο Ρελώ έχει επίσης χρησιμοποιηθεί και σε άλλες μορφές της αρχιτεκτονικής. Για παράδειγμα, ο Λεονάρντο ντα Βίντσι σχεδίασε αυτό το σχήμα,σαν το σχέδιο για οχυρωματικά έργα.[39] Ένα σύγχρονο υψηλών διαστάσεων κτίριο, το Kölntriangle στην Κολωνία, Γερμανία, χτίστηκε έχοντας ως βάση το τρίγωνο Ρελώ. Μαζί με το κυκλικό σχήμα του πυρήνα του, αυτό δίνει ποικίλα βάθη στα δωμάτια του κτιρίου.[49]

Κατασκευή Χαρτών

Μια άλλη πρώιμη εφαρμογή του Ρελώ τριγώνου, από το Leonardo da Vinci, γύρω στο 1514 (ή, ενδεχομένως, από έναν από τους οπαδούς της κατεύθυνσης του), ήταν ένας παγκόσμιος χάρτης στον οποίο η σφαιρική επιφάνεια της γης χωρίζεται σε οκτώ όγδοα, κάθε ένα από τα οποία ήταν πεπλατυσμένα σε σχήμα Ρελώ τριγώνου.[50][51][52]

Ο παγκόσμιος χάρτης του Λεονάρντο ντα Βίντσι σε οκτώ τεταρτημόρια των Ρελώ τριγώνων

Ακόμα, παρόμοιοι χάρτες ,με βάση το τρίγωνο Ρελώ, δημοσιεύθηκαν από τον Oronce Finé το 1551 και από Τζων Ντι το 1580.[52]

Άλλα αντικείμενα
Τρεις Ρελώ τρίγωνα σε σχήμα πέννας για κιθάρα

Πολλές πέννες στην κιθάρα απασχολούν το τρίγωνο Ρελώ, αφού το σχήμα συνδυάζει ένα αιχμηρό σημείο για να παρέχει ισχυρή άρθρωση, με μια μεγάλη άκρη για να παράγει ένα ζεστό ηχόχρωμα. Γιατί και τα τρία σημεία του σχήματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν, είναι πιο εύκολο να προσανατολίσουν και φθείρονται μακροπρόθεσμα σε σύγκριση με μία πέννα με ένα μόνο σημείο.[53]

Η σειρά του 'υποχιλιοστού', με επτά από τις οκτώ κεραίες τοποθετημένες σε ένα κατά προσέγγιση τρίγωνο Ρελώ

Ύστερα από πρόταση του Keto (1997),[54] οι κεραίες της σειράς του 'υποχιλιοστού', ένα αστρονομικό παρατηρητήριο ράδιο-κυμάτων στη Mauna Kea στη Χαβάη, είναι τοποθετημένες σε τέσσερα ένθετα Ρελώ τρίγωνα.[55][56] Τοποθετώντας τις κεραίες σε μια καμπύλη σταθερού πλάτους δίνει τη δυνατότητα στο παρατηρητήριο να έχει την ίδια χωρική ανάλυση προς όλες τις κατευθύνσεις, και παρέχει μια κυκλική παρατήρηση ακτίνων. Ως η πιο ασύμμετρη καμπύλη σταθερού πλάτους, το τρίγωνο Ρελώ οδηγεί στην πιο ομοιόμορφη κάλυψη του επιπέδου όσον αφορά το μετασχηματισμό Fourier του σήματος από την σειρά.[54][56] Οι κεραίες μπορούν να μετακινηθούν από το ένα τρίγωνο Ρελώ στο άλλο για διαφορετικές παρατηρήσεις, σύμφωνα με την επιθυμητή γωνιακή ανάλυση της κάθε παρατήρησης.[55][56] Η ακριβής τοποθέτηση των κεραιών σε αυτά τα Ρελώ τρίγωνα έχει βελτιστοποιηθεί με τη χρήση ενός νευρωνικού δικτύου. Σε ορισμένα μέρη το κατασκευασμένο παρατηρητήριο αφήνει το προτιμώμενο σχήμα του Ρελώ τριγώνου , γιατί αυτό το σχήμα δεν ήταν δυνατόν να υπάρχει εντός της συγκεκριμένης τοποθεσίας.[56]

Σήματα και λογότυπα

Τα σχήματα με ασπίδες που χρησιμοποιούνται για πολλά σήματα και εταιρικά λογότυπα έχουν ως χαρακτηριστικό γνώρισμα τα στρογγυλεμένα τρίγωνα, μερικά από τα οποία είναι πιο συγκεκριμένα Ρελώ τρίγωνα.

Το εταιρικό λογότυπο της Petrolina (Fina), μιας Βελγικής εταιρείας πετρελαίου με σημαντικές επιχειρήσεις στην Ευρώπη, τη Βόρεια Αμερική και την Αφρική, χρησιμοποιεί ένα τρίγωνο Ρελώ με το όνομα της Fina από το 1950 μέχρι τη συγχώνευση της Petrofina με τη Total S. A. το 2000.[57][58] Άλλο εταιρικό λογότυπο που πλαισιώνεται στο τρίγωνο Ρελώ είναι η πυξίδα[1] του Ζυθοποιείου της Βαυαρίας,που ήταν μέρος ενός makeover από την γραφιστική εταιρεία,Total Identity και κέρδισε γι΄αυτό το λόγο το βραβείο SAN 2010 Διαφημιζόμενος της Χρονιάς.[59] Το τρίγωνο Ρελώ, επίσης, χρησιμοποιείται στο λογότυπο του Colorado School of Mines.[60]

Στη φύση

Το τρίγωνο Ρελώ, ως η κεντρική φυσαλίδα σε ένα μαθηματικό μοντέλο του επιπέδου των τεσσάρων-φυσαλίδων σε ένα σύμπλεγμα σαπουνόφουσκας

Σύμφωνα με ότι ισχύει στα οροπέδια, τα κυκλικά τόξα σε ένα σύμπλεγμα δισδιάστατης σαπουνόφουσκας συναντιούνται στις 120°,η ίδια γωνία βρέθηκε στις γωνίες του Ρελώ τριγώνου,. Με βάση αυτό το γεγονός, είναι δυνατόν να κατασκευαστούν συστάδες στις οποίες κάποιες από τις φυσαλίδες μπορούν να λάβουν τη μορφή του Ρελώ τριγώνου.[61]

Το σχήμα εξετάστηκε για πρώτη φορά σε κρυσταλλική μορφή το 2014 σε δίσκους σε σχήμα Ρελώ τριγώνου .[62] Βασικοί δίσκοι από νιτρικό βισμούθιο σε σχήμα Ρελώ τριγώνου σχηματίζονται από την υδρόλυση και την καθίζηση του νιτρικού βισμουθίου σε ένα σύστημα αιθανόλης–νερού με την παρουσία του 2,3-διοξύ(2-πυριδυλο)πυραζίνη.

Γενικεύσεις

Τριγωνικές καμπύλες σταθερού πλάτους με λείες και όχι οξείες γωνίες μπορούν να ληφθούν ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων με σταθερή απόσταση από το τρίγωνο Ρελώ.[63] Άλλες γενικεύσεις του Ρελώ τριγώνου περιλαμβάνουν τρισδιάστατες επιφάνειες, καμπύλες σταθερού πλάτους με περισσότερες από τρεις πλευρές, και τα Yanmouti σύνολα που παρέχουν ακραία παραδείγματα μιας ανισότητας μεταξύ του πλάτους, της διαμέτρου, και της ακτίνας ενός περιγεγραμμένου κύκλου.

Τρισδιάστατη εκδοχή

Τέσσερις σφαίρες αλληλεπιδρούν για να φτιάξουν ένα Ρελώ τετράεδρο

Η διασταύρωση τεσσάρων σφαιρών ακτίνας s με κέντρο τις κορυφές ενός κανονικού τετραέδρου με μήκος πλευράς s ονομάζεται Ρελώ τετράεδρο, αλλά δεν είναι μια επιφάνεια σταθερού πλάτους. Μπορεί, ωστόσο, να κατασκευαστεί από μια επιφάνεια σταθερού πλάτους, η οποία λέγεται τετράεδρο του Μάισνερ. Αυτό μπορεί να γίνει αντικαθιστώντας τα ακριανά τόξα με καμπύλες επιφάνειες, δηλαδή επιφάνειες περιστροφής ενός κυκλικού τόξου. Εναλλακτικά, ο όγκος εκ περιστροφής ενός Ρελώ τριγώνου μέσα από έναν από τους συμμετρικούς του άξονες δημιουργεί μια καμπύλη σταθερού πλάτους, με τον ελάχιστο όγκο σε σχέση με όλα τα γνωστά σχήματα εκ περιστροφής, με δεδομένο το σταθερό τους πλάτος. [64]

Ρελώ πολύγωνα

Ρελώ πολύγωνα

Το τρίγωνο Ρελώ μπορεί να γενικευτεί σε κανονικά πολύγωνα με περιττό αριθμό πλευρών, δίνοντας έτσι ένα Ρελώ πολύγωνο. Αυτά είναι τα μόνα σχήματα σταθερού πλάτους των οποίων τα όρια διαμορφώνονται με πεπερασμένα ισομήκη κυκλικά τόξα .[65]

Το σταθερό πλάτος από αυτά τα σχήματα επιτρέπει τη χρήση τους ως νομίσματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μηχανήματα που δέχονται κέρματα. Για παράδειγμα, το Ηνωμένο Βασίλειο έχει βγάλει νομίσματα αξίας 20-πένες και 50 πένες με τη μορφή του Ρελώ επταγώνου.[9] Το Καναδικό Loonie δολάριο σε κέρμα χρησιμοποιεί ένα άλλο Ρελώ πολύγωνο με 11 πλευρές.[66]

Παρόμοιες μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περικλείσουν ένα οποιοδήποτε απλό πολύγωνο μέσα σε μια καμπύλη σταθερού πλάτους, το πλάτος της οποίας ισούται με τη διάμετρο του δοσμένου πολυγώνου. Το σχήμα που προκύπτει αποτελείται από κυκλικά τόξα (στις περισσότερες φορές όσες είναι οι πλευρές του πολυγώνου), μπορεί να κατασκευαστεί αλγοριθμικά σε γραμμικό χρόνο, και μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη.[67] Αν και τα κανονικά πολύγωνα με βάση Ρελώ πολύγωνα όλα έχουν περιττό αριθμό τοξοειδών πλευρών, είναι δυνατόν να κατασκευαστούν σχήματα σταθερού πλάτους με βάση μη κανονικά πολύγωνα, που έχουν άρτιο αριθμό πλευρών.[68]

Yanmouti σύνολα

Το Yanmouti σύνολα ορίζονται ως ο 'κυρτός φλοιός' ενός ισοπλεύρου τριγώνου μαζί με τρία κυκλικά τόξα, έχουν κέντρο τις κορυφές του τριγώνου και καλύπτουν την ίδια γωνία, όπως το τρίγωνο, έχουν επίσης ίδιες ακτίνες που είναι σχεδόν ίσες με το μήκος της πλευράς του τριγώνου. Έτσι, όταν η ακτίνα είναι αρκετά μικρή, αυτά τα σύνολα εκφυλίζονται στο αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο, αλλά όταν η ακτίνα είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερη τότε γίνονται ίσα με το αντίστοιχο τρίγωνο Ρελώ. Κάθε σχήμα με πλάτος w, διάμετρο d, και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου r (η ακτίνα του μεγαλύτερου δυνατού κύκλου που περιέχεται στο σχήμα) υπακούει την ακόλουθη ανισότητα

και αυτή η ανισότητα γίνεται ισότητα για το Yanmouti σετ, δείχνοντας ότι δεν μπορεί να βελτιωθεί.[69]
Συσχετιζόμενα στοιχεία

Triquetra interlaced για να σχηματίσουν ένα κόμπο τριφυλλιού

Στην κλασική περίπτωση διαγράμματος Venn τρία σύνολα αναπαριστώνται ως τρεις επικαλυπτόμενοι κύκλοι,των οποίων η κεντρική περιοχή (που αντιπροσωπεύει στοιχεία που ανήκουν στην τομή και των τριών συνόλων) παίρνει το σχήμα του τρίγωνο Ρελώυ.[3] Οι ίδιοι τρεις κύκλοι αποτελούν ένα από τα τυποποιημένα σχέδια των δαχτυλιδιών του Μπορομέο , τρία αλληλένδετα δαχτυλίδια που δεν μπορούν, ωστόσο, να αναγνωριστούν ως κύκλοι.[70] Μέρη από αυτούς τους ίδιους κύκλους χρησιμοποιούνται για να σχηματίσουν το triquetra, ένα σχήμα από τρία επικαλυπτόμενα ημικύκλια (κάθε δύο από τα οποία αποτελούν το σχήμα της τομής δύο κυκλικών δίσκων) που και πάλι έχει τρίγωνο Ρελώ στο κέντρο.[71]Όπως οι τρεις κύκλοι στο διάγραμμα Venn μπορούν να αλληλοσυνδεθούν με τα δαχτυλίδια του Μπορομέο , τα τρία κυκλικά τόξα του triquetra μπορούν να αλληλοσυνδεθούν με έναν κόμπο τριφυλλιού.[72]

Συγγενείς του τρίγωνο Ρελώ προκύπτουν στο πρόβλημα της εύρεσης του σχήματος με την ελάχιστη περίμετρο που περικλείει μια σταθερή περιοχή και περιλαμβάνει τρία καθορισμένα σημεία στο επίπεδο. Για ένα ευρύ φάσμα επιλογών της παραμέτρου της περιοχής , η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα αυτό θα είναι ένα κυρτό τρίγωνο του οποίου οι τρεις πλευρές είναι κυκλικά τόξα με ίσες ακτίνες. Ειδικότερα, όταν τα τρία σημεία βρίσκονται σε ίση απόσταση το ένα από το άλλο και η περιοχή που ορίζεται είναι εκείνη του Ρελώ τριγώνου, το τρίγωνο Ρελώ είναι η βέλτιστη περίφραξη.[73]

Κυκλικά τρίγωνα είναι τρίγωνα με κυκλικά τόξα για άκρες, συμπεριλαμβανομένων των Ρελώ τριγώνων καθώς και άλλων σχημάτων. Η Δελτοειδής καμπύλη είναι ένα άλλο είδος καμπυλόγραμμου τριγώνου, στο οποίο βέβαια οι καμπύλες αντικαθιστούν κάθε πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου σε κοίλες παρά σε κυρτές. Δεν αποτελείται από κυκλικά τόξα, αλλά μπορεί να σχηματίζεται από περιστροφή ενός κύκλου μέσα σε ένα άλλο με ακτίνα τρεις φορές μεγαλύτερη.[74] Άλλες επίπεδες μορφές με τρεις καμπύλες πλευρές είναι τα arbelos, που σχηματίζονται από τρία ημικύκλια με συγγραμμικές παραμέτρους,[75] και το Bézier τρίγωνο.[76]

Το τρίγωνο Ρελώ μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως η παραμορφωμένη εικόνα ενός σφαιρικού τριγώνου με 120° .[61] Αυτό το σφαιρικό τρίγωνο είναι ένα από τα Schwarz τρίγωνα (με παραμέτρους 3/2, 3/2, 3/2), τρίγωνα που περικλείονται από ορθοδρομικά τόξα στην επιφάνεια μιας σφαίρας[77]
Παραπομπές

Gardner (2014) calls it the simplest, while Gruber (1983, p. 59) calls it "the most notorious".
Klee, Victor (1971), «Shapes of the future», The Two-Year College Mathematics Journal 2 (2): 14–27, doi:10.2307/3026963.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, Dolciani Mathematical Expositions, 45, Mathematical Association of America, σελ. 155, ISBN 978-0-88385-352-8.
Moon, F. C. (2007), The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century, History of Mechanism and Machine Science, 2, Springer, ISBN 978-1-4020-5598-0.
Bryant, John; Sangwin, Chris (2011), How Round Is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet, Princeton University Press, σελ. 190, ISBN 978-0-691-14992-9.
Hann, Michael (2014), Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice, A&C Black, σελ. 34, ISBN 978-1-4725-8431-1.
Hungerbühler, Norbert (1994), «A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem», American Mathematical Monthly 101 (8): 784–787, doi:10.2307/2974536.
This construction is briefly described by Maor & Jost (2014) and may be seen, for instance, in the video Fun with Reuleaux triangles by Alex Franke, August 21, 2011.
Gardner, Martin (2014), «Chapter 18: Curves of Constant Width», Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens, The New Martin Gardner Mathematical Library, 4, Cambridge University Press, σελ. 223–245, ISBN 978-0-521-75613-6.
Klee, Victor; Wagon, S. (1991), Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, Dolciani mathematical expositions, 11, Cambridge University Press, σελ. 21, ISBN 978-0-88385-315-3.
Maor, Eli; Jost, Eugen (2014), «46 The Reuleaux Triangle», Beautiful Geometry, Princeton University Press, σελ. 154–156, ISBN 978-1-4008-4833-1.
Reich, Karin (2007), «Euler's contribution to differential geometry and its reception», στο: Bradley, Robert E.; Sandifer, Ed, επιμ., Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, Studies in the History and Philosophy of Mathematics, 5, Elsevier, σελ. 479–502, doi:10.1016/S0928-2017(07)80026-0.
Euler, Leonhard (1781), «De curvis triangularibus», Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 1778: 3–30.
Gruber, Peter M. (1983), Convexity and its Applications, Birkhäuser, σελ. 67, ISBN 978-3-7643-1384-5
Makeev, V. V. (2000), «An extremal property of the Reuleaux triangle», Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 267 (Geom. i Topol. 5): 152–155, 329, doi:10.1023/A:1021287302603
Makeev, V. V. (2000), «An extremal property of the Reuleaux triangle», Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 267 (Geom. i Topol. 5): 152–155, 329, doi:10.1023/A:1021287302603
Groemer, H.; Wallen, L. J. (2001), «A measure of asymmetry for domains of constant width», Beiträge zur Algebra und Geometrie 42 (2): 517–521.
Groemer, H.; Wallen, L. J. (2001), «A measure of asymmetry for domains of constant width», Beiträge zur Algebra und Geometrie 42 (2): 517–521.
Gruber (1983, p. 78)
Fejes Tóth, L. (1967), «On the number of equal discs that can touch another of the same kind», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 2: 363–367.
Fejes Tóth, L. (1967), «On the number of equal discs that can touch another of the same kind», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 2: 363–367; Schopp, J. (1970), «Über die Newtonsche Zahl einer Scheibe konstanter Breite», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 5: 475–478.
Ball, D.G. (1973), «A generalisation of π», The Mathematical Gazette 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052; Lay, Steven R. (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, Theorem 11.11, pp. 81–82, ISBN 978-0-486-45803-8.
Blind, G.; Blind, R. (1983), «Eine Abschätzung für die Dichte der dichtesten Packung mit Reuleaux-Dreiecken», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 18 (2-4): 465–469, Theorem 11.8, pp. 80–81.
Blind, G.; Blind, R. (1983), «Eine Abschätzung für die Dichte der dichtesten Packung mit Reuleaux-Dreiecken», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 18 (2-4): 465–469.
Resnikoff, Howard L. (2015), On Curves and Surfaces of Constant Width.
Gleiftner, Winfried; Zeitler, Herbert (May 2000), «The Reuleaux triangle and its center of mass», Results in Mathematics 37 (3-4): 335–344, doi:10.1007/bf03322004.
Pickover, Clifford A. (2009), «Reuleaux Triangle», The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, σελ. 266, ISBN 978-1-4027-5796-9.
Moon (2007), p. 239.
Granovsky, V. A.; Siraya, T. N., «Metrological traceability and quality of industrial tests measurements», στο: Pavese, F.; Bär, M.; Filtz, J.-R. και άλλοι, επιμ., Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing IX, World Scientific, σελ. 194–201.
Eggleston, H. G. (1958), «Figures inscribed in convex sets», American Mathematical Monthly 65: 76–80, doi:10.2307/2308878.
How to drill square hexagon octagon pentagon holes, Wilmerding, Pennsylvania: Watts Brothers Tool Works, 1950–1951 (27 page brochure).
Mochizuki, Takashi (January 22, 2015), «Panasonic Rolls Out Triangular Robot Vacuum», Wall Street Journal.
Coxworth, Ben (March 3, 2015), «Panasonic enters the robo-vac game, with the triangular Rulo», Gizmag.
Gamber, Johnny (April 26, 2006), Review of Staedtler Noris Ergosoft HB, ανακτήθηκε στις 2015-05-22.
Masferrer León, Claudia; von Wuthenau Mayer, Sebastián (December 2005), «Reinventing the wheel: Non-circular wheels», The Mathematical Intelligencer 27 (4): 7–13, doi:10.1007/bf02985852.
Dempster, Tyra (June 17, 2009), Chinese man reinvents the wheel, Reuters.
Moon, Francis C. (July 1999), The Reuleaux Collection of Kinematic Mechanisms at Cornell University, Cornell University Library.
Sinclair, Nathalie; Higginson, William (2007), Mathematics and the Aesthetic: New Approaches to an Ancient Affinity, CMS Books in Mathematics, Springer, σελ. 81, ISBN 978-0-387-38145-9.
Moon (2007, p. 241).
Moon (2007, p. 240)
Peterson, Ivars (October 19, 1996), Rolling with Reuleaux, ScienceNews.
Lay (2007), p. 83.
Gruber (1983, p. 80).
Hart, Stephen (2010), Medieval Church Window Tracery in England, Boydell & Brewer Ltd, σελ. 63–64, ISBN 978-1-84383-533-2.
Parker, John Henry (1850), A glossary of terms used in Grecian, Roman, Italian, and Gothic architecture, 1 (5th έκδοση), London: David Rogue, σελ. 202
Burchett, E. S. (1876), Practical plane geometry, London and Glasgow: William Collins, Sons, and Co., Caption to Plate LV, Fig. 6.
Durand, Guillaume (1906), The Symbolism of Churches and Church Ornaments: A Translation of the First Book of the Rationale Divinorum Officiorum (3rd έκδοση), Gibbings, σελ. lxxxviii
Frankl, Paul; Crossley, Paul (2000), Gothic Architecture, Pelican history of art, 19, Yale University Press, σελ. 146, ISBN 978-0-300-08799-4.
Architecture Αρχειοθετήθηκε 2015-05-25 στο Wayback Machine., Kölntriangle, retrieved 2015-05-23.
Snyder, John P. (1997), Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, σελ. 40, ISBN 978-0-226-76747-5.
Snyder, John P. (1997), Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, σελ. 40, ISBN 978-0-226-76747-5.
Keuning, Johannes (January 1955), «The history of geographical map projections until 1600», Imago Mundi 12 (1): 1–24, doi:10.1080/03085695508592085.
Hoover, Will (November 1995), Picks!: The Colorful Saga of Vintage Celluloid Guitar Plectrums, Backbeat Books, σελ. 32–33, ISBN 978-0-87930-377-8.
Keto (1997).
Keto, Eric (1997), «The shapes of cross-correlation interferometers», The Astrophysical Journal 475 (2): 843–852, doi:10.1086/303545.
Blundell, Raymond (2007), «The submillimeter array», Proc. 2007 IEEE/MTT-S International Microwave Symposium, doi:10.1109/mwsym.2007.380132.
Gwillian, Sam (May 16, 2015), Interesting Stuff: Curves of Constant Width, Newport City Radio[νεκρός σύνδεσμος].
Gwillian, Sam (May 16, 2015), Interesting Stuff: Curves of Constant Width, Newport City Radio[νεκρός σύνδεσμος].
Global: Bavaria, Fundamental Rebranding Operation at Bavaria, Total Identity, retrieved 2015-06-27.
Fisher, Roland B. (Spring 2002), «M-blems: Explaining the logo», Mines: the magazine of Colorado School of Mines 92 (2): 29.
Modes, Carl D.; Kamien, Randall D. (2013), «Spherical foams in flat space», Soft Matter (Royal Society of Chemistry) 9 (46): 11078–11084, doi:10.1039/c3sm51585k.
Ng, C. H. B.; Fan, W. Y. (2014), «Reuleaux triangle disks: New shape on the block», Journal of the American Chemical Society 136 (37): 12840–12843, doi:10.1021/ja506625y.
Banchoff, Thomas; Giblin, Peter (1994), «On the geometry of piecewise circular curves», American Mathematical Monthly 101 (5): 403–416, doi:10.2307/2974900.
Weber, Christof (2009), What does this solid have to do with a ball?.
Firey, W. J. (1960), «Isoperimetric ratios of Reuleaux polygons», Pacific Journal of Mathematics 10: 823–829, doi:10.2140/pjm.1960.10.823.
Chamberland, Marc (2015), Single Digits: In Praise of Small Numbers, Princeton University Press, σελ. 104–105, ISBN 9781400865697.
Chandru, V.; Venkataraman, R. (1991), «Circular hulls and orbiforms of simple polygons», Proceedings of the Second Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '91), Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, σελ. 433–440, ISBN 0-89791-376-0.
Peterson, Bruce B. (1973), «Intersection properties of curves of constant width», Illinois Journal of Mathematics 17: 411–420.
Hernández Cifre, M. A. (2000), «Is there a planar convex set with given width, diameter, and inradius?», American Mathematical Monthly 107 (10): 893–900, doi:10.2307/2695582
Lindström, Bernt; Zetterström, Hans-Olov (1991), «Borromean circles are impossible», American Mathematical Monthly 98 (4): 340–341, doi:10.2307/2323803.
Weisstein, Eric W., "Triquetra" από το MathWorld.
Hoy, Jessica; Millett, Kenneth C. (2014), «A mathematical analysis of knotting and linking in Leonardo da Vinci's cartelle of the Accademia Vinciana», Journal of Mathematics and the Arts.
Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996), What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd έκδοση), Oxford University Press, σελ. 378–379, ISBN 978-0-19-975487-8
Lockwood, E. H. (1961), «Chapter 8: The Deltoid», A Book of Curves, Cambridge University Press
Mackay, J. S. (February 1884), «The shoemaker's knife», Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 3: 2, doi:10.1017/s0013091500037196.
Bruijns, J. (1998), «Quadratic Bezier triangles as drawing primitives», Proceedings of the ACM SIGGRAPH/EUROGRAPHICS Workshop on Graphics Hardware (HWWS '98), New York, NY, USA: ACM, σελ. 15–24, doi:10.1145/285305.285307, ISBN 1-58113-097-X.
Wenninger, Magnus J. (2014), Spherical Models, Dover, σελ. 134, ISBN 978-0-486-14365-1.