Υπάρχει μια σημαντική κατηγορία σειρών των οποίων το άθροισμα μπορεί να υπολογιστεί σχετικά εύκολα. Πρόκειται για τις Τηλεσκοπικές σειρές
\( {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.} \)
των οποίων οι όροι μπορούν να γραφούν με τη μορφή
\( a_{n} = b_{n} - b_{n+1} \)
Για παράδειγμα, η σειρά \( \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}} \)
\( \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack \\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack \\ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack = 1. \end{align} \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
