Ταξινόμηση πεπερασμένων απλών ομάδων

Στα μαθηματικά, η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων είναι ένα θεώρημα που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη απλή ομάδα ανήκει σε μία από τις τέσσερις κατηγορίες που περιγράφονται παρακάτω. Αυτές οι ομάδες μπορούν να θεωρηθούν ως τα βασικά δομικά στοιχεία όλων των πεπερασμένων ομάδων, με έναν τρόπο που θυμίζει το πως οι πρώτοι αριθμοί είναι τα βασικά δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών. Το θεώρημα Jordan-Ηölder είναι ένας πιο ακριβής τρόπος για να δηλώσουμε το γεγονός αυτό των πεπερασμένων ομάδων. Ωστόσο, μια σημαντική διαφορά όσον αφορά την περίπτωση της παραγοντοποίησης ακεραίων είναι ότι τέτοια "δομικά στοιχεία" δεν καθορίζουν απαραίτητα μια ομάδα μοναδικά, δεδομένου ότι μπορεί να υπάρχουν πολλές μη-ισόμορφες ομάδες με την ίδια σύνθεση ή, να το πούμε αλλιώς, το επεκταμένο πρόβλημα δεν έχει μοναδική λύση.

Η απόδειξη του θεωρήματος ταξινόμησης αποτελείται από δεκάδες χιλιάδες σελίδες και εκατοντάδες άρθρα γραμμένα από 100 περίπου συγγραφείς, που δημοσιεύτηκαν ως επί το πλείστον μεταξύ 1955 και το 2004. Ο Ντάνιελ Γκόρενσταϊν (Daniel Γκορστάιν) (απεβίωσε 1992), Ρίτσαρντ Λύονς(Richard Λύονς) και ο Ρόναλντ Σόλομον (Ronald Σόλομον) οι οποίοι σταδιακά δημοσιεύουν μια απλοποιημένη και αναθεωρημένη έκδοση της απόδειξης.

Δήλωση για το θεώρημα της ταξινόμησης

Το θεώρημα της ταξινόμησης έχει εφαρμογές σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, ερωτήματα σχετικά με τη δομή των πεπερασμένων ομάδων (και τη δράση τους σε άλλους κλάδους των μαθηματικών) μερικές φορές μπορούν να περιοριστούν σε ερωτήσεις σχετικά με τις πεπερασμένες απλές ομάδες. Χάρη στο θεώρημα ταξινόμησης, τέτοιες ερωτήσεις μπορεί μερικές φορές να απαντηθούν ελέγχοντας κάθε οικογένεια απλών ομάδων και κάθε σποραδική ομάδα.

Ο Ντάνιελ Γκορεστάιν ανακοίνωσε το 1983 ότι οι πεπερασμένες απλές ομάδες είχαν ταξινομηθεί, αλλά αυτό ήταν πρόωρο, όπως είχε παραπληροφορηθεί για την απόδειξη της ταξινόμησης των ομάδων quasithin. Η ολοκληρωμένη απόδειξη της ταξινόμησης ανακοινώθηκε από τον Aschbacher (2004) αφού ο Aschbacher και ο Σμιθ δημοσίευσαν 1221-σελίδες απόδειξη για την ελλειπή περίπτωση των ομάδων quasithin .
Επισκόπηση της απόδειξης του θεωρήματος της ταξινόμησης

Ο Γκορεστάιν (1982,1983) έγραψε δύο τόμους που περιγράφει μέρος της απόδειξης που αναφέρεται στην περίπτωση χαμηλής βαθμίδας και περιττής χαρακτηριστικής, και οι Michael Aschbacher, Richard Λύονς, Stephen D. Smith έγραψαν έναν τρίτο τόμο καλύπτοντας το υπόλοιπο κομμάτι των δύο περιπτώσεων. Η απόδειξη μπορεί να σπάσει σε πολλά σημαντικά κομμάτια ως εξής:

Ομάδες με βαθμίδα μικρότερη του 2

Οι απλές ομάδες χαμηλής βαθμίδας (μικρότερης του 2) είναι ως επί το πλείστον ομάδες τύπου Lie μικρής βαθμίδας πάνω από σώματα περιττής χαρακτηριστικής, μαζί με πέντε εναλλασσόμενες, επτά χαρακτηριστικού τύπου 2 και εννέα σποραδικές ομάδες.

Οι απλές ομάδες με βαθμίδα μικρότερης του δύο περιλαμβάνουν:

Ομάδες 2-βαθμίδα 0, με άλλα λόγια ομάδες με περιττή τάξη, οι οποίες είναι όλες επιλύσιμες χάρη στο θεώρημα Feit–Thompson
Ομάδες 2-βαθμίδα 1. Οι υποομάδες-Sylow 2 είναι είτε κυκλικές, οι οποίες είναι εύκολο να χειριστούν χρησιμοποιώντας μια απεικόνιση, ή γενικευμένο επίπεδο, το οποίο γίνεται με το θεώρημα Μπράουερ–Suzuki :ειδικότερα, δεν υπάρχουν απλές ομάδες 2-βαθμίδας 1.
Ομάδες των 2-βαθμίδας 2. Ο Alperin έδειξε ότι οι υποομάδες Sylow πρέπει να είναι δίεδρες, τετράεδρες, τυλιγμένες, ή μια Sylow 2-υποομάδα της U3(4). Η πρώτη περίπτωση έγινε χάρη στο θεώρημα Γκορεστάιν–Γουόλτερ, το οποίο έδειξε ότι οι μόνες απλές ομάδες είναι ισόμορφες με την L2(q) για q περιττά ή Α7, η δεύτερη και η τρίτη περίπτωση καλύφθηκαν από το θεώρημα Alperin–Μπράουερ–Γκορστάιν, το οποίο αναφέρει ότι οι μόνες απλές ομάδες είναι ισόμορφες με την L3(q) ή U3(q) για q περιττά ή M11, και η τελευταία περίπτωση έγινε από τον Λυών που έδειξε ότι U3(4) είναι η μόνη απλή πιθανότητα.
Τμηματικές ομάδες 2-βαθμίδας 4, κατατάσσονται από το θεώρημα Γκορεστάιν–Χαράντα.

Η κατάταξη των ομάδων μικρής βαθμίδας 2, ειδικά με βαθμίδα το πολύ 2, κάνει βαριά χρήση της απλής θεωρίας των mod, η οποία σχεδόν ποτέ δεν χρησιμοποιείται άμεσα κάπου αλλού στην ταξινόμηση.

Όλες οι ομάδες, όχι τάξης μικρότερης του 2 μπορεί να χωριστούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: ομάδες τύπου συστατικού στοιχείου και ομάδες χαρακτηριστικού τύπου 2. Αυτό είναι επειδή εάν μια ομάδα έχει τμηματικά 2-βαθμίδα τουλάχιστον 5 τότε ο MacWilliams έδειξε ότι οι Sylow 2-υποομάδες είναι συνδεδεμένες, και από το θεώρημα των υπολοίπων συνεπάγεται ότι κάθε απλή ομάδα συνδεδεμένη με Sylow 2-υποομάδες είναι είτε του συστατικού τύπου στοιχείου ή χαρακτηριστικής 2. (Για ομάδες χαμηλότερης βαθμίδας από 2, η απόδειξη αυτού καταρρέει, επειδή θεωρήματα όπως το θεώρημα signalizer functor λειτουργεί μόνο για ομάδες με αντιμεταθετικές υποομάδες βαθμού τουλάχιστον 3.)

Ομάδες συστατικού τύπου στοιχείο

Μια ομάδα που λέγεται ότι είναι του τύπου συστατικού στοιχείου, εφόσον για κάποια C από μια εμπλοκή, C/O(C) έχει ένα στοιχείο (όπου O(C) είναι ο πυρήνας της C, η μέγιστη κανονική υποομάδα περιττής τάξης). Αυτά είναι είτε περισσότερο ή λιγότερο ομάδες τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής μεγάλης βαθμίδας και εναλλασσόμενες ομάδες, μαζί με κάποιες σποραδικές ομάδες. Ένα σημαντικό βήμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εξαλείψει το εμπόδιο του πυρήνα για ανέλιξη. Αυτό επιτυγχάνεται με το B-θεώρημα, το οποίο ορίζει ότι κάθε στοιχείο του C/O(C) είναι η εικόνα από ένα στοιχείο του C.

Η ιδέα είναι ότι αυτές οι ομάδες έχουν ένα κανονικοποιητή σε εμπλοκή με ένα στοιχείο που είναι η μικρότερη quasisimple ομάδα, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ήδη γνωστό από την επαγωγή. Έτσι, για να ταξινομήσουμε αυτές τις ομάδες παίρνουμε κάθε κεντρική επέκταση της κάθε πεπερασμένης απλής ομάδας, και βρίσκουμε όλες τις απλές ομάδες, με κανονικοποιητή της εμπλοκής με αυτό ως συστατικό. Αυτό δίνει ένα αρκετά μεγάλο αριθμό διαφορετικών περιπτώσεων για έλεγχο: δεν υπάρχουν μόνο 26 σποραδικές ομάδες και 16 οικογένειες των ομάδων τύπου Lie και εναλλασσόμενες ομάδες, αλλά πολλές από τις ομάδες των μικρών τάξεων ή μικρών σωμάτων συμπεριφέρονται διαφορετικά από τη γενική περίπτωση και πρέπει να αντιμετωπίζεται ξεχωριστά. Επιπλέον οι ομάδες τύπου Lie είτε με άρτια είτε με περιττή χαρακτηριστική, συμπεριφέρονται επίσης αρκετά διαφορετικά.
Ομάδες χαρακτηριστικών τύπου 2

Μια ομάδα είναι χαρακτηριστικού τύπου 2 αν η γενικευμένη τοποθετούμενη υποομάδα F*(Y) της κάθε 2-τοπικής υποομάδα Υ είναι μια τύπου 2-ομάδα. Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές είναι περίπου οι ομάδες τύπου Lie πάνω από τα πεδία με χαρακτηριστική 2, καθώς και μια συλλογή άλλων που εναλλάσσονται ή σποραδικές ή με περιττή χαρακτηριστική. Η ταξινόμησή τους είναι χωρισμένη σε μικρές και μεγάλες περιπτώσεις βαθμίδων, όπου η βαθμίδα είναι η μεγαλύτερη δυνατή βαθμίδα μιας περιττής αβελιανής υποομάδας κανονικοποιημένη σε μια μη τετριμμένη 2-υποομάδα, η οποία είναι συχνά (αλλά όχι πάντα) της ίδιας βαθμίδας με την Cartan subalgebra όταν η ομάδα είναι μια ομάδα Lie χαρακτηριστικού τύπου 2.

Οι ομάδες βαθμίδας 1 είναι η λεπτές ομάδες, που κατατάσσονται από τον Aschbacher, και αυτές που είναι βαθμίδας 2 είναι οι περιβόητες quasithin ομάδες, που κατατάχθηκαν από τους Aschbacher και Σμιθ. Αυτές αντιστοιχούν περίπου σε ομάδες τύπου Lie βαθμίδας 1 ή 2 πάνω από τα πεδία των χαρακτηριστικών 2.

Ομάδες βαθμίδας τουλάχιστον 3 υποδιαιρούνται περαιτέρω σε 3 κλάσεις χάρη στο θεώρημα τριχοτόμησης που αποδείχθηκε από τον Aschbacher για την περίπτωση που έχουμε βαθμίδα 3 και από Γκορεστάιν και Λύονς για περιπτώσεις με βαθμίδα τουλάχιστον 4. Οι τρεις τάξεις είναι ομάδες του GF(2) τύπου (που ταξινομούνται κυρίως από τον Timmesfeld), ομάδες "κανονικού τύπου" για κάποιο περιττό πρώτο (όπως κατατάσσονται από το θεώρημα Γκίλμαν–Griess και το έργο από πολλούς άλλους), και των ομάδων της μοναδικού τύπου, όπου το αποτέλεσμα του Aschbacher συμπεραίνει ότι δεν υπάρχουν απλές ομάδες. Γενικά η περίπτωση με την υψηλότερη βαθμίδα αποτελείται ως επί το πλείστον από ομάδες τύπου Lie πάνω από τα πεδία των χαρακτηριστικών 2 του βαθμίδας τουλάχιστον 3 ή 4.
Ύπαρξη και μοναδικότητα των απλών ομάδων

Το κύριο μέρος της ταξινόμησης παράγει την έννοια της χαρακτηριστικής σε κάθε απλή ομάδα. Στη συνέχεια είναι απαραίτητο να ελέγχεται ότι υπάρχει μια απλή ομάδα για κάθε χαρακτηριστική και ότι είναι αυτή είναι μοναδική. Αυτό δίνει ένα μεγάλο αριθμό από διαφορετικά προβλήματα, για παράδειγμα, οι αρχικές αποδείξεις της ύπαρξης και μοναδικότητας του Fischer–Griess Monster Group M, ανήλθαν σε περίπου 200 σελίδες, και ο προσδιορισμός των Ree ομάδων από τον Τόμσον και Bombieri ήταν ένα από τα δυσκολότερα μέρη της ταξινόμησης. Πολλές από τις υπάρχουσες αποδείξεις και κάποιες από τις αποδείξεις της μοναδικότητας για τις σποραδικές ομάδες χρησιμοποιούν υπολογιστικούς υπολογισμούς, οι περισσότεροι από τους οποίους έχουν πλέον αντικατασταθεί από σύντομες αποδείξεις.

Χρονικό της απόδειξης

Ομάδες χαμηλής βαθμίδας 2. Αυτό έγινε ουσιαστικά από τον Γκορεστάιν και τον Χαράντα, που κατέταξαν τις ομάδες με τμηματικές βαθμίδες 2 σε 4 το πολύ. Οι περισσότερες από τις περιπτώσεις με βαθμίδα 2 το πολύ σε 2 έγιναν από τη στιγμή που ο Γκοερστάιν ανακοίνωσε το πρόγραμμά του.
Το semisimplicity 2-στρώματων. Το πρόβλημα είναι να αποδειχτεί ότι 2 στρώματα του κεντροποιητή από μια εμπλοκή σε μια απλή ομάδα είναι semisimple.
Κανονική μορφή περιττής χαρακτηριστικής. Αν μια ομάδα εμπλέκεται με 2-στοιχεία που είναι μια ομάδα τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής, ο στόχος είναι να δείξουμε ότι έχει κανονικοποιητή που συνδέεται με την "κανονική μορφή",πράγμα που σημαίνει ότι κανονικοποιητής έχει ένα στοιχείο που είναι τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής και έχει επίσης ένα κανονικοποιητή 2 βαθμίδας 1.
Κατάταξη των ομάδων περιττού τύπου. Το πρόβλημα είναι να δείξουμε ότι αν μια ομάδα έχει κανονικοποιητή που συνδέεται με την κανονική μορφή τότε είναι μια ομάδα τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής. Αυτό λύθηκε από τον Aschbacher με το θεώρημα εμπλοκής.
Quasi κανονική μορφή
Κεντρική σύνδεση
Ταξινόμηση των εναλλασσόμενων ομάδων.
Κάποιες σποραδικές ομάδες
Λεπτές ομάδες. Οι απλές λεπτές πεπερασμένες ομάδες, εκείνες με 2-τοπικές p-βαθμίδας το πολύ 1 για κάποιο περιττό πρώτο αριθμό p, ταξινομήθηκαν από τον Aschbacher το 1978
Ομάδες με ισχυρά p(περιττός πρώτος) εμφυτεύονται σε υποομάδες.
signalizer-συναρτητής μέθοδος για περιττές τιμές. Το κύριο πρόβλημα είναι να αποδείξει ότι ένα signalizer συναρτητής θεώρημα για άλυτους signalizer συναρτητές. Αυτό λύθηκε από τον McBride το 1982.
Ομάδες χαρακτηριστική p τύπου. Αυτό είναι το πρόβλημα των ομάδων με έντονα p-ενσωματωμένη 2-τοπικής υποομάδας με p περιττό, που χειρίστηκε από Aschbacher.
Quasithin ομάδες. Μία quasithin ομάδα είναι μία της οποίας 2-τοπικές υποομάδες έχουν p-βαθμίδα το πολύ 2 για όλους τους πρώτους αριθμούς p, και το πρόβλημα είναι να κατατάξουν τις απλές χαρακτηριστικές τύπου 2 Αυτό ολοκληρώθηκε από τον Aschbacher και Smith, 2004.
Ομάδες χαμηλής 2-τοπικής 3-βαθμίδας. Αυτό ουσιαστικά λύθηκε από τον Aschbacher trichotomy θεώρημα για ομάδες με e(G)=3. Η κύρια αλλαγή είναι ότι οι 2-τοπικές 3-βαθμίδες αντικαθίστανται από 2-τοπικές p-βαθμίδας για περιττούς πρώτους.
Κανονικοποιητής με 3 στοιχεία σε τυποποιημένη μορφή. Αυτή ουσιαστικά μέσω του Trichotomy θεώρημα.
Ταξινόμηση των απλών ομάδων χαρακτηριστικής τύπου 2. Αυτό δουλεύτηκε από το θεώρημα Gilman-Griess, με τα 3-στοιχεία να αντικαθίστανται από p-στοιχεία για το περιττούς πρώτους.

Χρονοδιάγραμμα της απόδειξης

Πολλά από τα στοιχεία στην παρακάτω λίστα, που έχουν ληφθεί από τον Σόλομον (2001). Η ημερομηνία που δίνεται είναι συνήθως η ημερομηνία δημοσίευσης της πλήρης απόδειξης ενός αποτελέσματος, το οποίο είναι μερικές φορές αρκετά χρόνια αργότερα από την απόδειξη ή την πρώτη ανακοίνωση του αποτελέσματος, έτσι ώστε κάποια από τα στοιχεία που εμφανίζονται με λάθος σκοπό.
Ημερομηνία δημοσίευσης
1832 Ο Galois εισάγει τις κανονικές υποομάδες και βρίσκει τις απλές ομάδες Αn (n ≥ 5) και PSL2 (Fp) (p ≥ 5)
1854 Cayley ορίζει τις αφηρημένες ομάδες
1861 Mathieu περιγράφει τις δύο πρώτες ομάδες Mathieu M11, M12, τις πρώτες σποραδικές απλές ομάδες, και ανακοινώνει την ύπαρξη του M24.
1870 Ο Jordan παραθέτει τις μερικές απλές ομάδες: τις εναλλασσόμενες και προβολικές ειδικές γραμμικές, και τονίζει τη σημασία των απλών ομάδων.
1872 Ο Sylow αποδεικνύει τα θεωρήματα Sylow
1873 Ο Mathieu εισάγει τρεις ομάδες Mathieu M22, M23, M24.
1892 Ο Otto Hölder αποδεικνύει ότι η σειρά κάθε nonabelian πεπερασμένης απλής ομάδας πρέπει να είναι ένα προϊόν από τουλάχιστον τέσσερις (όχι απαραίτητα διακριτές) τιμές, και ζητά μια κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων.
1893 Ο Cole κατατάσσει τις απλές ομάδες τάξης έως και 660
1896 Ο Frobenius και Burnside ξεκινήσαν τη μελέτη της θεωρίας χαρακτήρα των πεπερασμένων ομάδων.
1899 Ο Burnside κατατάσσει τις απλές ομάδες έτσι ώστε ο κανονικοποιητής κάθε παλινδρόμησης να είναι μια μη-τετριμμένη στοιχειώδη αβελιανή 2-ομάδα.
1901 Ο Frobenius αποδεικνύει ότι μια ομάδα Frobenius έχει Frobenius πυρήνα, έτσι ώστε ειδικότερα να μην είναι απλή.
1901 Ο Dickson ορίζει τις κλασικές ομάδες άνω των αυθαίρετων πεπερασμένα πεδίων, και εξαιρετικές ομάδες τύπου G2 πάνω από τα πεδία περιττής χαρακτηριστικής.
1901 Ο Dickson εισάγει τις εξαιρετικές πεπερασμένες απλές ομάδες του τύπου Ε6.
1904 Ο Burnside χρησιμοποιεί τη θεωρία χαρακτήρα για να αποδείξει το θεώρημα Burnside δηλαδή ότι η σειρά των τυχόν μη-αβελιανών πεπερασμένων αυτών ομάδων πρέπει να διαιρείται με τουλάχιστον 3 ξεχωριστούς πρώτους αριθμούς.
1905 Ο Dickson εισάγει τις απλές ομάδες του τύπου G2 πάνω από τα πεδία άρτιων χαρακτηριστικών.
1911 Ο Burnside εισάγει εικασίες ότι κάθε μη-αβελιανή πεπερασμένη απλή ομάδα έχει άρτια σειρά
1928 Ο Hall αποδεικνύει την ύπαρξη Hall υποομάδων των επιλύσιμων ομάδων
1933 Ο Hall ξεκινά τη μελέτη των p-ομάδων
1935 Ο Brauer αρχίζει τη μελέτη των modular χαρακτήρων.
1936 Ο Zassenhaus κατατάσσει πεπερασμένα 3-μεταβατικά παραδείγματα ομάδων
1938 Ο Fitting εισάγει την τοποθέτηση υποομάδων και αποδεικνύει το θεώρημα Fitting ότι για επιλύσιμες ομάδες η Fitting υποομάδα περιέχει τον κανονικοποιητή της.
1942 Ο Brauer περιγράφει το modular χαρακτήρα μιας διαιρετής ομάδας από μια κύρια σε μια πρώτη δύναμη.
1954 Ο Brauer κατατάσσει τις απλές ομάδες με ΚΓ2 (Fq) ως κανονικοποιητής μιας σύνδεσης.
1955 Οι Brauer-Fowler με το θεώρημα της υπονοεί ότι ο αριθμός των πεπερασμένων απλών ομάδων με δεδομένο κανονικοποιητή της σύνδεσης είναι πεπερασμένος,υποδηλώνοντας ένα πρόβλημα σχετικά με την ταξινόμηση, χρησιμοποιώντας κανονικοποιητή της σύνδεσης.
1955 Chevalley εισάγει τις Chevalley ομάδες ,συγκεκριμμένα την εισαγωγή εκτάκτων απλών ομάδων τύπων F4, Ε7 και Ε8.
1956 Hall-Higman θεώρημα
1957 Ο Suzuki δείχνει ότι όλες οι πεπερασμένες απλές ομάδες CA περιττής τάξης είναι κυκλικές.
1958 Ο Brauer-Suzuki-Wall χαρακτηρίζει τις προβολικές ειδικές γραμμικές ομάδες της τάξης 1, και κατατάσσει τις απλές ομάδες CA.
1959 Steinberg εισάγει τις ομάδες Steinberg, δίνοντας κάποιες νέες πεπερασμένες απλές ομάδες, των τύπων 3D4 και 2Ε6.
1959 Το θεώρημα Brauer-Suzuki για τις ομάδες με γενικευμένη quaternion Sylow 2-υποομάδες αποδεικνύει ιδίως ότι καμία από αυτές δεν είναι απλές.
1960 Ο Thompson αποδεικνύει ότι μια ομάδα με ένα σταθερό σημείο χωρίς αυτομορφισμό πρωταρχικής τάξης είναι nilpotent.
1960 Feit, Hall, και Thompson δείχνουν ότι όλες οι πεπερασμένες ομάδες CN περιττής τάξεως είναι κυκλικές.
1960 Ο Suzuki εισάγει τις ομάδες Suzuki, με τύπους 2Β2.
1961 Ο Ree εισάγει τις Ree ομάδες, με τύπους 2F4 και 2G2.
1963 Ο Feit και Thompson αποδεικνύουν το παράξενο θεώρημα.
1964 Ο Tits εισάγει τα ΒΝ ζεύγη για ομάδες τύπου Lie και βρίσκει την ομάδα Tits
1965 Ο Γκορστάιν-Walter κατατάσσει τις ομάδες με δίεδρο Sylow 2-υποομάδες.
1966 Ο Glauberman αποδεικνύει το Ζ * θεώρημα
1966 Ο Jango εισάγει την Jango ομάδα J1, την πρώτη νέα σποραδική ομάδα για περίπου έναν αιώνα.
1968 Ο Glauberman αποδεικνύει το θεώρημα ZJ
1968 Οι Higman και Sims εισαγάγουν την ομάδα Higman-Sims
1968 Ο Conway εισάγει τις ομάδες Conway
1969 Το θεώρημα Walter κατατάσσει τις ομάδες με αβελιανή Sylow 2-υποομάδα.
1969 Εισαγωγή της σποραδικής ομάδα Suzuki, της ομάδα Jango J2, την Jango ομάδα J3, την ομάδα McLaughlin, και τη Held ομάδα.
1969 Ο Γκορστάιν εισάγει συναρτητές signalizer βασιζόμενο στις ιδέες του Thompson.
1970 Ο MacWilliams δείχνει ότι οι 2 ομάδες χωρίς κανονική αβελιανή υποομάδα της τάξης 3 έχουν τομής 2-βαθμίδας το πολύ 4. (Οι απλές ομάδες με Sylow υποομάδες ικανοποιούν την τελευταία αυτή προϋπόθεση και αργότερα ταξινομούνται από Γκορστάιν και Χαράντα.)
1970 Ο Bender εισήγαγε την γενικευμένη Fitting υποομάδα
1970 To Alperin-Brauer-Γκορστάιν θεώρημα ταξινομεί ομάδες με quasi δίεδρες ή Sylow 2-υποομάδες, συμπληρώνοντας τον χαρακτηρισμό των απλών ομάδων της 2-rank το πολύ 2
1971 Ο Fischer εισάγει τις τρεις ομάδες Fischer
1971 Ο Thompson κατατάσσει τα τετραγωνική ζεύγη
1971 Ο Bender ταξινομεί ομάδες με έντονα ενσωματωμένες υποομάδες
1972 Ο Γκορστάιν προτείνει ένα πρόγραμμα 16-βήματων για την ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων. Η τελική κατάταξη ακολουθεί αρκετά στενά το περίγραμμα του.
1972 Ο Λυών εισάγει την ομάδα Λυών
1973 Ο Rudvalis εισάγει την ομάδα Rudvalis
1973 Ο Fischer ανακαλύπτει την ομάδα baby monster (αδημοσίευτη), την οποία οι Fischer και Griess χρησιμοποιήσαν για να ανακαλύψουν την ομάδα monster, η οποίο με τη σειρά της οδηγεί τον Thompson στις σποραδικές ομάδες Thompson και τον Norton στην ομάδα Χαράντα-Norton (διαπίστωσε επίσης με έναν διαφορετικό τρόπο από Χαράντα) .
1974 Ο Thompson κατατάσσει Ν-ομάδες, ομάδες των οποίων όλοι οι τοπικές υποομάδες είναι επιλύσιμες.
1974 Το Γκορστάιν-Χαράντα θεώρημα κατατάσσει τις απλές ομάδες της τομής 2-βαθμίδας το πολύ 4, διαιρώντας τα υπόλοιπα των πεπερασμένων απλών ομάδων σε αυτές του τύπου και των χαρακτηριστικών τύπου 2.
1974 Ο Tits δείχνει ότι οι ομάδες με ΒΝ ζεύγη βαθμού τουλάχιστον 3 είναι ομάδες τύπου Lie
1974 Ο Aschbacher κατατάσσει τις ομάδες με γενικευμένο 2 πυρήνα
1975 Ο Γκορστάιν και Walter αποδεικνύουν το θεώρημα L-ισορροπίας
1976 Ο Glauberman αποδεικνύει το επιλύσιμο signalizer συναρτητή θεώρημα
1976 Ο Aschbacher αποδεικνύει το στοιχείο θεώρημα, που δείχνει κατά προσέγγιση ότι ομάδες περιττού τύπου που πληρούν κάποιες προϋποθέσεις έχουν ένα στοιχείο σε τυποποιημένη μορφή. Οι ομάδες με ένα συστατικό κανονικής μορφής ταξινομήθηκαν σε μια μεγάλη συλλογή εγγράφων από πολλούς συγγραφείς.
1976 Ο O'Nan εισάγει την ομάδα O'Nan
1976 Ο Jango εισάγει τη Jango ομάδα J4, η τελευταία σποραδική ομάδα που έμενε να ανακαλυφθεί
1977 Ο Aschbacher χαρακτηρίζει τις ομάδες τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής στο κλασικό θεώρημά του . Μετά από αυτό το θεώρημα, το οποίο κατά κάποιο τρόπο ασχολείται με τις "πςρισσότερες" των απλών ομάδων, ήταν γενικά το τέλος της ταξινόμησης εν μέρει.
1978 Ο Timmesfeld αποδεικνύει το extraspecial θεώρημα O2, σπάζοντας την κατάταξη των ομάδων του GF (2) -τύπου σε πολλά μικρότερα προβλήματα.
1978 Ο Aschbacher ταξινομεί τις λεπτά πεπερασμένες ομάδες, οι οποίες είναι επί το πλείστον βαθμίδας 1 ομάδες τύπου Lie πάνω από τα πεδία άρτιων χαρακτηριστικό.
1981 Ο Bombieri χρησιμοποιεί θεωρία της εξάλειψης για να ολοκληρώσει το έργο του Thompson για το χαρακτηρισμό των ομάδων Ree, ένα από τα δυσκολότερα βήματα της κατάταξης.
1982 Ο McBride αποδεικνύει το θεώρημα functor signalizer για όλες τις πεπερασμένες ομάδες.
1982 O Griess κατασκευάζει την ομάδα monster με το χέρι
1983 To Gilman-Griess θεώρημα κατατάσσει τις ομάδες της χαρακτηριστικής τύπου 2 και βαθμίδας τουλάχιστον 4 με τυποποιημένα στοιχεία, μία από τις τρεις περιπτώσεις του θεωρήματος τριχοτόμησης.
1983 Ο Aschbacher αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει πεπερασμένη ομάδα που ικανοποιεί την υπόθεση της περίπτωσης μοναδικότητας , μία από τις τρεις περιπτώσεις που έδωσε το θεώρημα τριχοτόμησης για τις ομάδες του χαρακτηριστικής τύπου 2.
1983 Ο Γκορστάιν και Λυών αποδεικνύουν το θεώρημα τριχοτόμησης για τις ομάδες του χαρακτηριστικής τύπου 2 βαθμίδας τουλάχιστον 4, ενώ ο Aschbacher κάνει την περίπτωση βαθμίδας 3. Η παρούσα χωρίζει αυτές τις ομάδες σε 3 υποπεριπτώσεις: η περίπτωση μοναδικότητας , (2) τύπος ομάδες GF, και ομάδες με ένα πρότυπο συστατικό.
1983 Ο Γκορστάιν ανακοινώνει ότι η απόδειξη της ταξινόμησης είναι πλήρης, κάπως πρόωρη, όπως και ότι η απόδειξη της υπόθεσης quasithin ήταν ελλιπής.
1994 Ο Γκορστάιν, Λυών, και ο Σόλομον αρχίζουν τη δημοσίευση της αναθεωρημένης ταξινόμησης
2004 Ο Aschbacher και Smith δημοσιεύουν τις εργασίες τους πάνω σε quasithin ομάδες (οι οποίες είναι ως επί το πλείστον ομάδες τύπου Lie της τάξης το πολύ 2 πάνω από τα σώματα άρτιων χαρακτηριστικών), γεμίζοντας το τελευταίο κενό στην γνωστή κατάταξη ως εκείνη τη στιγμή.
2008 Ο Χαράντα και ο Σόλομον γεμίζουν ένα μικρό κενό στην κατάταξη με την περιγραφή των ομάδων με ένα πρότυπο συστατικό που είναι μια διασκευή της ομάδας Mathieu M22, μια υπόθεση που είχε κατά λάθος παραλειφθεί από την απόδειξη της κατάταξης η οποία οφείλεται σε σφάλμα κατά τον υπολογισμό του Schur πολλαπλασιαστή του M22.
2012 Ο Georges Gonthier και οι συνεργάτες ανακοινώνουν μια υπολογιστική-ελεγμένη έκδοση του θεωρήματος Feit-Thompson με τη χρήση της βοηθητικής απόδειξης Coq.
Δεύτερης γενιάς ταξινόμηση

Η απόδειξη του θεωρήματος, όπως αυτή διαμορφώθηκε γύρω στο 1985, μπορεί να ονομαστεί πρώτης γενιάς. Επειδή η απόδειξη αυτή ήταν μακροσκελής, έγινε αρκετή προσπάθεια στο να βρεθεί μια απλούστερη απόδειξη, δημιουργώντας έτσι μια απόδειξη δεύτερης γενιάς ταξινόμησης. Η προσπάθεια αυτή, ονομάστηκε "ρεβιζιονισμός", με επικεφαλής τον Ντάνιελ Γκορστάιν.

Από το 2005 έξι τόμοι της δεύτερης γενιάς απόδειξης έχουν δημοσιευθεί (Γκορστάιν, Λύονς & Σόλομον, 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005). Το 2012 ο Σόλομον, εκτίμησε ότι το έργο θα χρειαστεί και άλλους 5 τόμους, αλλά είπε ότι η πρόοδος θα ήταν αργή. Εκτιμάται ότι η νέα απόδειξη, τελικά, θα γεμίσει περίπου 5.000 σελίδες. (Αυτό το μήκος που απορρέει από την απόδειξη της δεύτερης γενιάς γράφτηκε σε ένα πιο χαλαρό ύφος.) Ο Aschbacher και ο Σμιθ έγραψαν τους δύο τόμους σχετικά με την περίπτωση quasithin, με τέτοιο τρόπο που δείχνει πως αυτός ο μεγάλος όγκος ίσως είναι μέρος της απόδειξης της δεύτερης γενιάς.

Στον Γκορστάιν και στους συνεργάτες του έχουν δοθεί διάφοροι λόγοι γιατί να είναι δυνατή μια απλούστερη απόδειξη.

Το πιο σημαντικό είναι ότι η σωστή, η τελική διατύπωση του θεωρήματος είναι τώρα γνωστή. Απλούστερες τεχνικές είναι γνωστό ότι μπορούν να εφαρμοστούν καθώς είναι κατάλληλες για τους τύπους απλών και πεπερασμένων ομάδων. Σε αντίθεση, όσοι εργάστηκαν στην πρώτη γενιάς απόδειξη δεν ξέρουν πόσες σποραδικές ομάδες υπήρχαν, και στην πραγματικότητα, μερικές από τις σποραδικές ομάδες (π. χ., Γιάνκο ομάδες) ανακαλύφθηκαν ενώ αποδεικνύονταν και άλλες περιπτώσεις του θεωρήματος της ταξινόμησης. Ως αποτέλεσμα, πολλά από τα κομμάτια του θεωρήματος αποδείχτηκαν με τη χρήση τεχνικών που ήταν υπερβολικά γενικές.

Γιατί το συμπέρασμα ήταν άγνωστο, η απόδειξη πρώτης γενιάς αποτελείται από πολλά αυτόνομα θεωρήματα, που ασχολούνται με σημαντικές ειδικές περιπτώσεις. Μεγάλο μέρος του έργου που αποδεικνύει τα θεωρήματα ήταν αφιερωμένο στην ανάλυση πολλών ειδικών περιπτώσεων. Για να δοθεί μια μεγαλύτερη και ενορχηστρωμένη απόδειξη, για την αντιμετώπιση πολλών από αυτών των ειδικών περιπτώσεων θα πρέπει να αναβληθεί μέχρι να εφαρμοστούν και οι πιο ισχυρές παραδοχές. Το τίμημα κάτω από αυτήν την αναθεωρημένη στρατηγική είναι ότι τα θεωρήματα πρώτης γενιάς δεν έχουν μόνο συγκριτικά μικρές αποδείξεις, αλλά αντί αυτού βασίζονται στην πλήρη ταξινόμηση.
Πολλά θεωρήματα πρώτης γενιάς επικαλύπτονται, και έτσι χωρίζουν τις πιθανές περιπτώσεις με αναποτελεσματική τρόπους. Ως αποτέλεσμα, οι οικογένειες και υπο-οικογένειες των πεπερασμένων απλών ομάδων εντοπίστηκαν πολλές φορές. Η αναθεωρημένη απόδειξη εξαλείφει αυτές τις περιπτώσεις στηριζόμενη σε μια διαφορετική υποδιαίρεση των περιπτώσεων.
Θεωρητικοί πεπερασμένων ομάδων έχουν μεγαλύτερη εμπειρία σε αυτό το είδος της θεμάτων, έχοντας στην διάθεσή τους νέες τεχνικές .

Ο Aschbacher (2004) κάλεσε το έργο σχετικά με την ταξινόμηση του προβλήματος από τον Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, και μερικούς άλλους, τρίτης γενιάς πρόγραμμα. Στόχος είναι να αντιμετωπίζουμε όλες τις ομάδες με χαρακτηριστική 2 ομοιόμορφα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αμάλγαμα.
Γιατί η απόδειξη παίρνει τόσο χρόνο;

Ο Γκορενστείν έχει συζητήσει μερικούς από τους λόγους γιατί μπορεί να μην υπάρχει μια μικρή απόδειξη της ταξινόμησης, παρόμοια με την ταξινόμηση των σyμπαγών ομάδων τύπου Lie.

Ο πιο προφανής λόγος είναι ότι η λίστα με απλές ομάδες είναι αρκετά περίπλοκη:με 26 σποραδικές ομάδες ενδέχεται να υπάρχουν πολλές ειδικές περιπτώσεις που πρέπει να εξετάζονται σε κάθε απόδειξη. Μέχρι στιγμής κανείς δεν έχει βρει μια καθαρή εφαρμοσμένη περιγραφή των πεπερασμένων απλών ομάδων παρόμοια με την παραμετροποίηση των συμπαγών ομάδων τύπου Lie μέσα από τα διαγράμματα Dynkin.

Ο Atiyah και άλλοι έχουν προτείνει ότι η ταξινόμηση θα πρέπει να απλουστευθεί κατασκευάζοντας κάποιο γεωμετρικό αντικείμενο πάνω στο οποίο οι ομάδες θα δρούν και, στη συνέχεια, να ταξινομήσουν αυτές τις γεωμετρικές δομές. Το πρόβλημα είναι ότι κανείς δεν ήταν σε θέση να προτείνει έναν εύκολο τρόπο για να βρεθεί μια τέτοια γεωμετρική δομή που συνδέεται σε μια απλή ομάδα. Κατά κάποιο τρόπο η ταξινόμηση δεν λειτουργεί με την εύρεση γεωμετρικών δομών όπως τα BN-ζεύγη, αλλά αυτό έρχεται μόνο στο τέλος μιας μακράς και δύσκολης ανάλυσης της δομής μιας πεπερασμένης απλής ομάδας.

Μια άλλη πρόταση για την απλούστευση της απόδειξης είναι να κάνουν μεγαλύτερη χρήση της θεωρίας της εκπροσώπησης Το πρόβλημα εδώ είναι ότι η θεωρία εκπροσώπησης φαίνεται να απαιτεί πολύ αυστηρό έλεγχο των υποομάδων μιας ομάδας, προκειμένου να λειτουργήσει σωστά. Για τις ομάδες μικρής τάξης έχει γίνει έλεγχος και η θεωρία της εκπροσώπησης λειτουργεί πολύ καλά, αλλά για ομάδες μεγαλύτερες βαθμού κανείς δεν έχει καταφέρει να τη χρησιμοποιήσει για να απλοποιήσει την ταξινόμηση. Κατά τις πρώτες ημέρες της ταξινόμησης υπήρχε σημαντική προσπάθεια που γίνεται για να χρησιμοποιηθεί η θεωρία εκπροσώπησης, αλλά αυτό δεν επιτεύχθηκε με μεγάλη επιτυχία στην περίπτωση υψηλότερης βαθμίδας.
Συνέπειες της ταξινόμησης

Αυτή η ενότητα παραθέτει κάποια αποτελέσματα που έχουν αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων.

Τις Schreier εικασίες

Το Signalizer θεώρημα συναρτητή

Τις Β εικασίες

Το Schur–Zassenhaus θεώρημα για όλες τις ομάδες (αν και αυτό χρησιμοποιεί μόνο το Feit–Thompson θεώρημα).

Μια μεταβατική μεταθετική ομάδα σε ένα πεπερασμένο σύνολο με περισσότερα από 1 στοιχείο έχει ένα σταθερό ελεύθερο στοιχείο πρωταρχικής δυναμικής σειράς.

Η ταξινόμηση των 2-μεταβατικών μεταθετικών ομάδων.

Η κατάταξη των βαθμίδας 3 μεταθετικών ομάδων.

Τις Sims εικασίες

Τις Frobenius εικασίες σχετικά με τον αριθμό των λύσεων της xn=1.
Δείτε επίσης

Θεώρημα O'Nan–Scott

Βιβλιογραφία
Aschbacher, Michael (2004). «The Status of the Classification of the Finite Simple Groups». Notices of the American Mathematical Society 51 (7): σελ. 736–740.
Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs, 172, ISBN 978-0-8218-5336-8
Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Oxford University Press, ISBN 0-19-853199-0
Gorenstein, D. (1979), «The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis», American Mathematical Society. Bulletin. New Series 1 (1): 43–199, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8, ISSN 0002-9904
Gorenstein, D. (1982), Finite simple groups, University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6
Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6
Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
Gorenstein, D. (1986), «Classifying the finite simple groups», American Mathematical Society. Bulletin. New Series 14 (1): 1–98, doi:10.1090/S0273-0979-1986-15392-9, ISSN 0002-9904
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0334-9
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0390-5
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0391-2
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II. Chapters 1–4, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1379-9
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2776-5
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV, Mathematical Surveys and Monographs, 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2777-2
Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
Solomon, Ronald (2001), «A brief history of the classification of the finite simple groups», American Mathematical Society. Bulletin. New Series 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904 – article won Levi L. Conant prize for exposition
Thompson, John G. (1984), «Finite nonsolvable groups», στο: Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E., επιμ., Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: Academic Press, σελ. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6
Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 05622792