Ταυτότητα του Όιλερ
Η ταυτότητα του Όιλερ (Euler's identity) στη μαθηματική ανάλυση, είναι η εξίσωση
\( {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!} \)
όπου
\( {{\displaystyle e\,\! \)} είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,
\( { {\displaystyle i\,\!} \) είναι ο φανταστικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα, και
\( { {\displaystyle \pi \,\!}\( ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.
Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.
Απόδειξη
Η φόρμουλα του Όιλερ για τυχαία γωνιά.
Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία
\( { {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!} \)
για κάθε πραγματικό αριθμό x. (οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια.) Συγκεκριμένα, αν
\( { {\displaystyle x=\pi ,\,\!} \)
τότε
\( { {\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!} \)
Αφού
\( { {\displaystyle \cos \pi =-1\ \ \ \kappa \alpha \iota \ \ \ \sin \pi =0} \)
Συνεπώς,
\( { {\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!} \)
που δίνει την ταυτότητα
\( { {\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!} \)
Όνομα
Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Η ταυτότητα του Όιλερ
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
