.
Έστω ενας χώρος πιθανότητας \( (\Omega,\mathcal{F},P) \) και μια πραγματική τυχαία μεταβλητή \( X:\Omega \to \R \) πάνω σε αυτόν. Η συνάρτηση \( F_X : \R \to [0,1] \) με
\( F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)=P\left(\lbrace\omega\in\Omega\mid X(\omega )\leq x\rbrace\right) \)
ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (σ.κ., ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής, α.σ.κ.) της τυχαίας μεταβλητής.
Παραδείγματα συνάρτησεων κατανομής.
Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμες \( x_1, x_2, ... \) με πιθανότητα \( p(x_i) = P(Χ=x_i) \) η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με
\( F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i). \)
Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με
\( F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) =\int_{-\infty}^x f(t)\,\operatorname dt \)
Ιδιότητες
Μια συνάρτηση κατανομής είναι αύξουσα και δεξιώς συνεχής. Επίσης ισχύει
\( \lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \quad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1. \)
Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να παίρνει τιμές σε ένα διάστημα είναι
\( P(a<X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = F(b) - F(a) \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
