Συνάρτηση Airy
Στις φυσικές επιστήμες, η συνάρτηση Airy (ή η συνάρτηση Airy του πρώτου είδους) Ai (x) είναι μια ειδική συνάρτηση που πήρε το όνομά του από τον Βρετανό αστρονόμο George Biddell Airy (1801-1892). Η συνάρτηση Ai (x) και η σχετική συνάρτηση Bi (x), είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις στη διαφορική εξίσωση
\9 \frac{d^2y}{dx^2} - xy = 0 , \,\! \)
γνωστή ως η εξίσωση Airy ή η εξίσωση Stokes. Αυτή είναι η απλούστερη γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με ένα σημείο καμπής (ένα σημείο όπου ο χαρακτήρας των λύσεων αλλάζει από ταλαντωμένο σε εκθετικό).
Για πραγματικές τιμές x, η συνάρτηση Airy του πρώτου είδους μπορεί να οριστεί από το ολοκλήρωμα
\( ({\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,} \)
το οποία συγκλίνει επειδή τα θετικά και αρνητικά μέρη των ταχείων ταλαντώσεων τείνουν να ακυρώσουν το ένα το άλλο (όπως μπορεί να ελεγχθεί από την ολοκλήρωση κατά μέρη).
Η y = Ai (x) ικανοποιεί την εξίσωση Airy
y ″ - x y = 0
Αυτή η εξίσωση έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Μέχρι ένα βαθμωτό πολλαπλασιασμό, η Ai (x) είναι η λύση που υπόκειται στην συνθήκη y → 0 ως x → ∞. Η βασική επιλογή για την άλλη λύση είναι η συνάρτησ Airy του δεύτερου είδους, Bi (x). Ορίζεται ως η λύση με το ίδιο πλάτος ταλάντωσης με τη Ai (x) με το x → −∞ που διαφέρει σε φάση κατά π / 2:
\( \mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\tfrac{t^3}{3} + xt\right)\,\right]dt. \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
