.
Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο \( \mathbb{F} \) (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο \( \mathbb{F} \), οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
\( (a+b)+c=a+(b+c) \)
\( \exists 0\in\mathbb{F} \) (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε
\( a+0=a, \forall a\in\mathbb{F} \) για κάθε a που ανήκει στο \( \mathbb{F} \), και
\( \forall a\in\mathbb{F}, \exists b\in\mathbb{F}\ s.t.\ a+b=0 \) (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).
a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
(a*b)*c=a*(b*c)
Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
a*b=b*a
a*(b+c)=a*b+a*c
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το \( \mathbb{Q} \) και το \(\mathbb{R} \) και το σώμα των μιγαδικών αριθμών \( \mathbb{C} \). Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με \( a^{-1} \), τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει \( \( a^{-1} \) τέτοιο ώστε \( a*a^{-1} =1 \).
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής \( a+b*\sqrt{2} \) και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.
Ένας δακτύλιος\( (R,\circ,+) \) καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο\( 1_R \in R \) ώστε \( r\circ 1_R=1_R \circ r=r \) για κάθε \( r \in R \)
Για κάθε \(r \in R \) υπάρχει στοιχείο του R το οποίο συμβολίζουμε με \(r^{-1} \)τέτοιο ώστε \(r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R \)
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \( \mathbb{R} \), καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.
Υπόσωμα
Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F β) για κάθε κ που ανήκει στο \( Κ\(0) \) υπάρχει \(κ^(-1) \) που ανήκει στο Κ
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
