.
Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο \mathbb{F} (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο \mathbb{F} , οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
(a+b)+c=a+(b+c)
\exists 0\in\mathbb{F} (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε
a+0=a, \forall a\in\mathbb{F} για κάθε a που ανήκει στο \mathbb{F} , και
\forall a\in\mathbb{F}, \exists b\in\mathbb{F}\ s.t.\ a+b=0 (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).
a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
(a*b)*c=a*(b*c)
Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
a*b=b*a
a*(b+c)=a*b+a*c
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το \mathbb{Q} και το \mathbb{R} και το σώμα των μιγαδικών αριθμών \mathbb{C} . Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με a^{-1} , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει \( a^{-1} τέτοιο ώστε a*a^{-1} =1 .
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*\sqrt{2} και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.
Ένας δακτύλιος (R,\circ,+) καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο 1_R \in R ώστε r\circ 1_R=1_R \circ r=r για κάθε r \in R
Για κάθε r \in R υπάρχει στοιχείο του R το οποίο συμβολίζουμε με r^{-1} τέτοιο ώστε r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \mathbb{R} , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.
Υπόσωμα
Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
