.
Σφαιρικό τρίγωνο, (spherical triangle), ονομάζεται το σχηματιζόμενο τρίγωνο στην επιφάνεια μιας σφαίρας από τη τομή, ανά δύο, τριών μεγίστων κύκλων της.
Γενικά
Αν ληφθεί μια τρίεδρη στερεά γωνία και η κορυφή της τεθεί στο κέντρο μιας σφαίρας τότε οι ακμές αυτής, στην επιφάνεια της σφαίρας, θα ορίσουν τρίγωνο που προφανώς θα είναι σφαιρικό. Τότε οι έδρες της στερεάς αυτής γωνίας θ΄ αντιστοιχούν προς τις πλευρές του σφαιρικού τριγώνου, οι δε δίεδρες αυτού με τις γωνίες του σφαιρικού τριγώνου.
Συνεπώς οι μεν ιδιότητες των εδρών της στερεάς γωνίας θα αποτελούν ιδιότητες των πλευρών του σφαιρικού τριγώνου, οι δε των διέδρων θα αποτελούν και ιδιότητες των γωνιών αυτού (του σφαιρικού).
Ιδιότητες
1η ιδιότητα: Το άθροισμα των πλευρών σφαιρικού τριγώνου είναι μικρότερο των 4 ορθών ή της περιφέρειας ενός μεγίστου κύκλου.
2η ιδιότητα: Κάθε πλευρά σφαιρικού τριγώνου είναι μικρότερη του αθροίσματος των 2 άλλων και μεγαλύτερη της διαφοράς τους.
3η ιδιότητα: Το άθροισμα των γωνιών σφαιρικού τριγώνου είναι μεγαλύτερο των 180° και μικρότερο των 540°.
4η ιδιότητα: Κάθε γωνία σφαιρικού τριγώνου αυξανόμενη κατά δύο ορθές υπερβαίνει το άθροισμα των δύο άλλων. και
5η ιδιότητα: Στο σφαιρικό τρίγωνο έναντι της μεγαλύτερης πλευράς βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία του, και αντίστροφα.
Είδη
Τα σφαιρικά τρίγωνα διακρίνονται σε πέντε βασικές κατηγορίες
Τα Μονορθογώνια. Σφαιρικά τρίγωνα των οποίων μία γωνία τους είναι ορθή (90°).
Τα Μονορθόπλευρα. Λέγονται εκείνα των οποίων η μία πλευρά είναι τόξο 90°.
Τα Δισορθόπλευρα, ή Δισορθογώνια, εκείνα που παρουσιάζουν δύο γωνίες ορθές.
Τα Τρισορθογώνια, ή Τρισορθόπλευρα. Σφαιρικά τρίγωνα των οποίων όλες οι γωνίες τους είναι ορθές (90°), ή όλες οι πλευρές τους αποτελούν τόξα 90°
Τα Κοινά σφαιρικά τρίγωνα, που χαρακτηρίζονται όλα τα άλλα εκτός των παραπάνω.
Ιδιαίτερη κατηγορία σφαιρικών τριγώνων είναι τα λεγόμενα Πολικά σφαιρικά τρίγωνα που πρόκειται για περιγεγραμμένα, ομοίως σφαιρικά, εντός δοθέντων σφαιρικών τριγώνων.
Νόμος ημιτόνου
\( \frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}. \)
Νόμος ημιτόνου
\( \cos a= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A, \! \)
\( \cos b= \cos c \cos a + \sin c \sin a \cos B, \! \)
\( \cos c= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C, \! \)
Νόμος συνημιτόνου
\( \cos a= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A, \! \)
\( \cos b= \cos c \cos a + \sin c \sin a \cos B, \! \)
\( \cos c= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C, \! \)
Αναλογίες του Napier
\( \begin{align} &&\\[-2ex]\displaystyle {\tan{\textstyle\frac{1}{2}}(A{+}B)} =\frac{\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(a{-}b)} {\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(a{+}b)} \cot{\textstyle\frac{1}{2}C} &\qquad & {\tan{\textstyle\frac{1}{2}}(a{+}b)} =\frac{\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(A{-}B)} {\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(A{+}B)} \tan{\textstyle\frac{1}{2}c} \\[2ex] {\tan{\textstyle\frac{1}{2}}(A{-}B)} =\frac{\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(a{-}b)} {\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(a{+}b)} \cot{\textstyle\frac{1}{2}C} &\qquad & {\tan{\textstyle\frac{1}{2}}(a{-}b)} =\frac{\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(A{-}B)} {\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(A{+}B)} \tan{\textstyle\frac{1}{2}c} \end{align} \)
Αναλογίες του Delambre
\( \begin{align} &\\ \frac{\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(A{+}B)} {\cos{\textstyle\frac{1}{2}}C} =\frac{\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(a{-}b)} {\cos{\textstyle\frac{1}{2}}c} &\qquad\qquad & \frac{\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(A{-}B)} {\cos{\textstyle\frac{1}{2}}C} =\frac{\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(a{-}b)} {\sin{\textstyle\frac{1}{2}}c} \\[2ex] \frac{\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(A{+}B)} {\sin{\textstyle\frac{1}{2}}C} =\frac{\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(a{+}b)} {\cos{\textstyle\frac{1}{2}}c} &\qquad & \frac{\cos{\textstyle\frac{1}{2}}(A{-}B)} {\sin{\textstyle\frac{1}{2}}C} =\frac{\sin{\textstyle\frac{1}{2}}(a{+}b)} {\sin{\textstyle\frac{1}{2}}c} \end{align}
\)
Προβλήματα
Τα προβλήματα επίλυσης σφαιρικών τριγώνων που απαντώνται στη πράξη ειδικά στην Αστρονομία, Ωκεανοπλοΐα και στη Πολική ναυτιλία, εξετάζει τόσο η σφαιρική γεωμετρία όσο και η σφαιρική τριγωνομετρία.
Δείτε επίσης
Τρίγωνο θέσεως
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
