Σειρά

.

Στα μαθηματικά ονομάζουμε σειρά το άθροισμα των όρων μιας ακολουθίας. Οι σειρές διαχωρίζονται σε πεπερασμένες και άπειρες, στις πρώτες έχουν ορισθεί ο πρώτος και ο τελευταίος όρος, ενώ στις άπειρες οι όροι συνεχίζονται επ'αόριστον [1].

Για την ακρίβεια, σειρά ονομάζεται το άθροισμα των όρων μιας άπειρης ακολουθίας

\( s_n = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n \)

Το παραπάνω το γράφουμε πιο σύντομα χρησιμοποιώντας το σύμβολο του αθροίσματος Σ

\( s = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \)

Ένα παράδειγμα είναι η μαθηματική αναπαράσταση του παραδόξου της διχοτόμησης του Ζήνωνα: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots. \)

Οι όροι της σειράς συχνά παράγονται σύμφωνα με έναν ορισμένο κανόνα, δηλαδή από κάποιον τύπο ή από έναν αλγόριθμο. Όταν το πλήθος των όρων είναι άπειρο, η έννοια αυτή αποκαλείται μια άπειρη σειρά. Σε αντίθεση με πεπερασμένα αθροίσματα, οι άπειρες σειρές χρειάζονται εργαλεία από την μαθηματική ανάλυση, και συγκεκριμένα την έννοια των ορίων, για να γίνουν πλήρως κατανοητές και να μπορέσουν να χρησιμοποιηθούν. Εκτός από την παρουσία τους στα μαθηματικά, οι άπειρες σειρές χρησιμοποιούνται ευρέως και σε άλλες επιστήμες όπως η φυσική, η επιστήμη των υπολογιστών και η επιστήμη των χρηματοοικονομικών.

Βασικές Ιδιότητες
Ορισμός

Ονομάζουμε σειρά κάθε άπειρο άθροισμα μιγαδικών αριθμών, πραγματικών αριθμών, ρητών αριθμών κ.τ.λ., της μορφής:

\( \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots \)

Αν \( (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} \) είναι μια πραγματική ακολουθία, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καινούργια ακολουθία \( (s_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ως εξής:

\( \ s_1 = \alpha_1 \)
\( \ s_2 = \alpha_1 + \alpha_2 \)
\( \vdots \) \)
\( s_n = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n

Η ακολουθία \( (s_n)_{n\in \mathbb{N}} \) ονομάζεται σειρά της \( (\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}} \) και συμβολίζεται με \( \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \) ή με \( \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots. \)

Ο όρος \( \ \alpha_n \) ονομάζεται n-οστός προσθετέος της σειράς \( \sum_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \) και ο όρος \( s_n = \sum_{k = 1}^{n} \alpha_k \) ονομάζεται n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς.

Εξ'ορισμού η σειρά \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \) "συγκλίνει" σε ένα όριο L αν και μόνο αν η αντίστοιχη ακολουθία συγκλίνει στο L. Αυτός ο ορισμός γράφεται συνήθως ως: \( L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k. \)

Γενικά αν έχουμε μια συνάρτηση \( I \xrightarrow{a} G \) , τότε η σειρά που παράγεται από το a είναι το τυπικό άθροισμα των στοιχείων \( a(x) \in G , x \in I \) και συμβολίζεται με : \( \sum_{x \in I} a(x) \) ..

Όταν το πεδίο ορισμού είναι οι φυσικοί αριθμοί \( I=\mathbb{N} \) , η συνάρτηση \( \mathbb{N} \xrightarrow{a} G \) είναι μια ακολουθία που συμβολίζουμε ως \( a(n)=a_n \) . Μια σειρά φυσικών αριθμών είναι ένα διατεταγμένο τυπικό άθροισμα και την συμβολίζουμε \( \sum_{n=0}^{\infty} \) από \( \sum_{n \in \mathbb{N}} \) , για να δώσουμε έμφαση στην διάταξη των φυσικών αριθμών. Έτσι καταλήγουμε στο : \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots.. \)

Όταν το G είναι υποομάδα, η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων \( \{S_k\} \subset G \) που αντιστοιχεί στην ακολουθία \( \{a_n\} \subset G \) ορίζεται για κάθε k ως το άθροισμα των όρων \( a_0,a_1,\cdots,a_k \)

\( S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k. \)

Όταν η υποομάδα G είναι και τοπολογικός χώρος, τότε η σειρά \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \) "συγκλίνει" στο στοιχείο \( L \in G \) αν και μόνο αν η αντίστοιχη ακολουθία μερικών αθροισμάτων \{S_k\} συγκλίνει στο L. Ο ορισμός αυτός συνήθως γράφεται ως : \( L = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k..' \)

Συγκλίνουσες σειρές

Μια σειρά   ∑a_n  συγκλίνει ή είναι συγκλίνουσα όταν η ακολουθία S_N των μερικών αθροισμάτων έχει ένα ορισμένο όριο ακολουθίας. Άν το όριο της S_N είναι άπειρο ή δεν υπάρχει, η σειρά αποκλίνει. Όταν υπάρχει το όριο των μερικών αθροισμάτων υπάρχει, τότε ονομάζεται άθροισμα την σειράς.

\( \sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n. \)

Ένας εύκολος τρόπος για να συγκλίνει μια σειρά είναι αν όλοι οι όροι an είναι μηδέν για n αρκούντως μεγάλο. Μια τέτοια σειρά προσδιορίζεται ως πεπερασμένο άθροισμα.

Η ουσία της μελέτης των σειρών είναι το να χρησιμοποιηθούν οι ιδιότητες τους ώστε να αποδειχθεί πως συγκλίνουν ακόμη και αν όροι τους είναι διάφοροι του μηδενός. Για παράδειγμα:

\( 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots. \)

Σκεφτόμαστε πως μπορούμε να παραστήσουμε την παραπάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών (μήκους ίσου με 2) χωρίζοντάς την σε τμήματα 1, ½, ¼, κ.τ.λ. Παρατηρούμε πως η σειρά έχει ένα άνω φράγμα, που είναι μάλιστα το 2. Συμβολίζοντας την σειρά με S βλέπουμε πως

\( S/2 = \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots}{2} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16} +\cdots. \)

Έτσι,

\( S-S/2 = 1 \Rightarrow S = 2.\,\! \)

Επεκτείνοντας και σε άλλες μαθηματικές ιδιότητες, βλέπουμε πως και στο παράδειγμα των περιοδικών δεκαδικών αριθμών : \( x = 0.111\dots \, \)

μιλάμε για σειρές

\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}. \)

Παραδείγματα

Μια γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά που ο κάθε όρος της προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το προηγούμενο με μια σταθερά.

\( 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}. \)

Γενικά οι γεωμετρικές σειρές

\( \sum_{n=0}^\infty z^n \)

συγκλίνουν αν και μόνο αν |z| < 1.

Μια αριθμητικο-γεωμετρική σειρά είναι η γενίκευση της γεωμετρικής σειράς

\( 3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}. \)

Μια αρμονική σειρά :: \( 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}. \)

είναι αποκλίνουσα.

Μια σειρά εναλλασσόμενου προσήμου :: \( 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}=\ln(2). \)

Οι P-σειρές :: \( \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r} \) συγκλίνουν για r > 1 και αποκλίνουν για r ≤ 1. Ως συνάρτηση του "r" το άθροισμα αυτής της σειράς είναι Ζήτα συνάρτηση του Riemann.

Μια τηλεσκοπική σειρά :: \( \sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1} \) ) συγκλίνει αν το όριο "L" ως "n" πάει στο άπειρο. Τότε η τιμή της σειράς είναι b1 − L.

Ανάλυση και μερικά αθροίσματα ως χειρισμοί ακολουθιών

Τα μερικά αθροίσματα παίρνουν ως είσοδο μια ακολουθία { a_n } και δίνουν ως αποτέλεσμα μια άλλη { S_N }. Έτσι σχηματίζεται μια ταυτοτική πράξη ακολουθιών. Επίσης η συνάρτηση αυτή είναι γραμμική και έτσι στον διανυσματικό χώρο γίνεται γραμμικός μετασχηματισμός. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι η πεπερασμένη διαφορά Δ.

Ιδιότητες των σειρών

Οι σειρές δεν κατηγοριοποιούνται μόνο σύμφωνα με το αν συγκλίνουν ή όχι, αλλά και σύμφωνα με τις ιδιότητες των όρων an, τον τύπο της σύγκλισης, την τάξη του an κ.τ.λ..

Μη αρνητικοί όροι

Όταν η an είναι θετικός πραγματικός αριθμός για κάθε "n", η ακολουθία SN των μερικών αθροισμάτων είναι μη φθίνουσα. Συνεπάγεται πως μια σειρά ∑an με μη αρνητικούς όρους, συγκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων ∑an είναι φραγμένη.

Για παράδειγμα, η σειρά

\( \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2} \)

είναι συγκλίνουσα γιατί η ανισότητα : \( \frac1 {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}, \quad n \ge 2 \) , δείχνει πως τα μερικά αθροίσματα είναι φραγμένα στο 2.

Απόλυτη Σύγκλιση

Μια σειρά : \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) συγκλίνει απόλυτα, όταν η σειρά της απόλυτης τιμής : \( \sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| \) συγκλίνει.

Σύγκλιση υπό συνθήκη

Μια σειρά πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών συγκλίνει υπό συνθήκη όταν είναι συγκλίνουσα, αλλά όχι απόλυτα συγκλίνουσα. Ένα παράδειγμα είναι αυτό της σειράς εναλλασσόμενων τιμών. : \( \sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots \) Η οποία συγκλίνει και το άθροισμα της ισούται με ln 2, αλλά η σειρά που δημιουργείται παίρνοντας τις απόλυτες τιμές, είναι η αποκλίνουσα αρμονική. Το Θεώρημα του Riemann λέει πως από κάθε συγκλίνουσα υπό συνθήκη σειρά μπορεί να παραχθεί μια αποκλίνουσα, και επιπλέον αν οι όροι an είναι πραγματικοί και S οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, μπορεί να παραχθεί μια σειρά που θα συγκλίνει και μάλιστα το άθροισμά της θα είναι ίσο με S.

Το κριτήριο του Abel είναι σημαντικό εργαλείο για την μελέτη σειρών που συγκλίνουν υπό συνθήκη. Αν έχουμε μια σειρά : \( \sum a_n = \sum \lambda_n b_n \) όπου τα μερικά αθροίσματα B_N = b₀ + ··· + b_n είναι φραγμένα, λ_n έχει φραγμένη κύμανση και υπάρχει το lim λ_n B_n :

\( \sup_N \Bigl| \sum_{n=0}^N b_n \Bigr| < \infty, \ \ \sum |\lambda_{n+1} - \lambda_n| < \infty\ \text{and} \ \lambda_n B_n \ \text{converges,} \)

Τότε η σειρά ∑ an συγκλίνει.

Αυτό εφαρμόζεται και στην σημειακή σύγκλιση πολλών τριγωνομετρικών σειρών, όπως:

\( \sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n x)}{\ln n} \)

με 0 < x < 2π. Από το κριτήριο του Abel έχουμε bn+1 = Bn+1 − Bn, και κάνοντας μετασχηματισμούς που από την ∑ an καταλήγουμε σε απόλυτα συγκλίνουσα σειρά

\( \sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n. \)

Ιστορία της Θεωρίας των απειροσειρών

Ανάπτυξη των απειροσειρών

Ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης παρουσίασε την πρώτη γνωστή σύνοψη μιας απειροσειράς με μία μέθοδο που χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα στην αριθμητική ανάλυση. Χρησιμοποίησε την μέθοδο της εξάντλησης για το υπολογισμό του εμβαδόν κάτω από ένα παραβολικό τόξο με το άθροισμα μιας απειροσειράς και απέδωσε μια αξιόλογη και ακριβή προσέγγιση του π.[2][3]

Τον 17ο αιώνα, ο James Gregory δούλεψε πάνω σε ένα νέο δεκαδικό σύστημα πάνω στις απειροσειρές και δημοσίευσε αρκετές σειρές Maclaurin. Το 1715, μια γενική μέθοδος για την κατασκευή της σειράς Taylor για όλες τις συναρτήσεις που υπάρχουν ορίστηκε από τον Brook Taylor. Ο Λέοναρντ Όιλερ τον 18ο αιώνα, ανέπτυξε την θεωρία των υπεργεωμετρικών σειρών και σειρών q.

Κριτήρια σύγκλισης

Ο Γκάους τον 19ο αιώνα ξεκίνησε την έρευνα της ισχύος των απειροσειρών. Ο Όιλερ είχε ήδη μελετήσει τις υπεργεωμετρικές σειρές

\( 1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1 \cdot 2 \cdot \gamma(\gamma+1)}x^2 + \cdots \)

πάνω στις οποίες ο Γκάους είχε δημοσιεύσει μια αναφορά για αυτές το 1812. Απέδειξε απλούστερα κριτήρια σύγκλισης και τις υπολοιπόμενες ερωτήσεις όπως και το εύρος της σύγκλισης. Ο Κωσύ το 1821 επέμενε σε αυστηρά τεστ σύγκλισης· έδειξε ότι αν δύο σειρές είναι συγκλίνων δεν είναι απαραίτητο να συμβαίνει και για το γινόμενό τους και έτσι από αυτόν ξεκίνησε η ανακάλυψη των αποτελεσματικών κριτηρίων. Οι όροι σύγκλισης και απόκλισης είχαν παρουσιαστεί πολύ νωρίτερα από τον Gregory (1668). Οι Λέοναρντ Όιλερ και Γκάους έδωσαν διάφορα κριτήρια και ο Colin Maclaurin επέβλεψε κάποιες από τις ανακαλύψεις του Κωσύ. Ο Κωσύ προχώρησε τη θεωρία των δυναμοσειρών με την επέκταση των σύνθετων συναρτήσεων. Ο Άμπελ(1826) στην αναφορά του για τις διωνυμικές αναφορές

\( 1 + \frac{m}{1!}x + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots \)

διόρθωσε αρκετά συμπεράσματα του Κωσύ και έδωσε μια ολοκληρωμένη επιστημονική σύνοψη των σειρών για τις πολύπλοκες τιμές των m και x. Παρουσίασε την ανάγκη για μελέτη του θέματος της συνέχειας των ερωτήσεων της σύγκλισης.

Οι μέθοδοι του Κωσύ οδήγησαν σε ειδικά παρά γενικά συμπεράσματα και το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τον Raabe (1832), ο οποίος έκανε την πρώτη εκτενή έρευνα του θέματος, του Ντε Μόργκαν (από το 1842), όπου τα λογαριθμικά τεστ των du Bois-Reymond (1873) και Pringsheim (1889) έδειξαν να αποτυγχάνουν σε συγκεκριμένο πεδίο.

Τα γενικά κριτήρια ξεκίνησαν με τον Kummer (1835) και μελετήθηκαν από τον Eisenstein (1847), τον Weierstrass με την ποικίλη συμβολή του στη θεωρία των συναρτήσεων, τον Dini (1867), τον du Bois-Reymond (1873) και πολλούς άλλους. Η αναφορά του Pringsheim (1889) παρουσίασε την πιο ολοκληρωμένη γενική θεωρία.

Ενιαία σύγκλιση

Η θεωρία την ενιαίας σύγκλισης αναπτύχθηκε από τον Κωσύ (1821), του οποίου οι περιορισμοί επισημάνθηκαν από τον Άμπελ, αλλά οι πρώτοι που επιτέθηκαν την επιτυχία του ήταν οι Seidel και Stokes (1847-48). Ο Κωσύ ασχολήθηκε ξανά με το πρόβλημα (1853), επιβεβαιώνοντας την κριτική του Άμπελ και έφτασε στα ίδια συμπεράσματα που είχε βρει ο Stokes. Ο Thomae χρησιμοποίησε το δόγμα (1866) αλλά πέρασε αρκετός καιρός στην αναγνώριση της σημαντικότητας του διαχωρισμού ανάμεσα στην ενιαία και μη-ενιαία σύγκλιση παρά των απαιτήσεων της θεωρίας των συναρτήσεων.

Ημι-σύγκλιση

Μία σειρά λέγεται ότι είναι σε μερική σύγκλιση (ή υπό όρους σύγκληση) αν είναι συγκλίνων αλλά όχι απολύτως συγκλίνων.

Οι ημι-συγκλινων σειρές μελετήθηκαν από τον Poisson (1823), που έδωσε και μια γενική μορφή στον υπόλοιπο τύπο του Maclaurin. Η πιο σημαντική λύση στο πρόβλημα δόθηκε από τον Jacobi (1834), που επιτέθηκε στην στην ερώτηση των υπολοίπων από διαφορετική προσωπική άποψη και κατέληξε σε έναν διαφορετικό τύπο. Αυτή η έκφραση δούλεψε, όπως και ακόμα μία, από τον Malmsten (1847). Ο Schlömilch (1856) επίσης βελτίωσε την υπόλοιπη θεωρία του Jacobi και έδειξε την συσχέτιση μεταξύ της θεωρίας και της συνάρτησης του Bernoulli.

\( F(x) = 1^n + 2^n + \cdots + (x - 1)^n.\, \)

Ο Genocchi (1852) είχε συμβάλει αρκετά στην θεωρία.

Μεταξύ νέων συγγραφέων ήταν ο Wroński, του οποίου το «loi supreme» (1815) με δυσκολία αναγνωρίστηκε μέχρι που o Cayley (1873) το έφερε σε διάκριση.

Σειρές του Φουριέ

Οι σειρές Φουριέ ερευνήθηκαν ως αποτέλεσμα φυσικής μελέτης την ίδια στιγμή που ο Γκάους, Άμπελ και Κωσύ δούλευαν με τη θεωρία των απειροσειρών. Οι σειρές ως επέκταση των ημίτονων και συνημίτονων, των πολλαπλών τόξων σε δυνάμεις των ημίτονων και συνημίτονων αναπτύχθηκαν από τον Γιακόμπ Μπερνούλι (1702) και τον αδερφό του Τζόχαν Μπερνουλί (1701) και νωρίτερα από τον Βιέτ. Ο Όιλερ και ο Λαγκράνζ απλούστευσαν το θέμα όπως έκαναν οι Poinsot, Schröter, Glaisher και Kummer. Ο Φουριέ (1807) έθεσε για τον εαυτό του ένα διαφορετικό πρόβλημα, την επέκταση μια δωθήσας συνάρτησης x σε σχέση με ημίτονα ή συνημίτονα πολλαπλάσιων του x, ένα πρόβλημα που ενσωμάτωσε στην θεωρία του «Théorie analytique de la chaleur» (1822). Ο Όιλερ ήδη έδωσε τον τύπο που καθόρισε τον συντελεστή στις σειρές· Ο Φουριέ ήταν ο πρώτος που ισχυρίστηκε και επιχείρησε να αποδείξει το γενικό θεώρημα. Ο Poisson (1820-23) επίσης επιτέθηκε στο πρόβλημα από διαφορετική προσωπική άποψη. Ο Φουριέ όχι, αλλά θεμελίωσε την απορία της σύγκλισης της σειράς του, ένα ζήτημα έμεινε για τον Κωσύ (1826) να προσπαθήσει και για τον Dirichlet (1829) να ασχοληθεί λεπτομερώς με επιστημονικό τρόπο. Ο χειρισμός του Dirichlet (1829) των τριγωνομετρικών σειρών ήταν θέμα κριτικής και βελτίωσης από τους Riemann (1854), Heine, Lipschitz, Schläfli και du Bois-Reymond. Μεταξύ κάποιων διακεκριμένων που συνέβαλαν στις θεωρίες των τριγωνομετρικών και σειρών Φουριέ είναι οι Dini, Hermite, Halphen, Krause, Byerly and Appell.

Γενικεύσεις

Ασύμπτωτες σειρές

Ασύμπτωτες σειρές, ή και ασύμπτωτη προέκταση, είναι απειροσειρές των οποίων τα μερικά σύνολα έχουν υποστεί στρογγυλοποίηση στο όριο του πεδίου ορισμού. Γενικά δεν συγκλίνουν αλλά είναι χρήσιμες ως ακολουθίες στρογγυλοποίησης, όπου η κάθε μία παρέχει μία τιμή κοντά στην επιθυμητή απάντηση για ένα πεπερασμένο αριθμό όρων. Η διαφορά είναι ότι από μία ασύμπτωτη σειρά δεν μπορεί να παραχθεί αποτέλεσμα τόσο ακριβές όσο το επιθυμητό, με τον τρόπο που οι συγκλίνων σειρές μπορούν. Στην πραγματικότητα, μετά από ένα ορισμένο αριθμό όρων, μία τυπική ασύμπτωτη σειρά φτάνει στην βέλτιστη προσέγγιση· αν προστεθούν περισσότεροι όροι, οι περισσότερες τέτοιες σειρές θα παράγουν χειρότερα αποτελέσματα.
Αποκλίνουσα σειρά

Κάτω από πολλές περιστάσεις, είναι επιθυμητό να ορίσουμε ένα όριο στις σειρές όπου η σύγκλιση με το σύνηθες τρόπο αποτυγχάνει. Η μέθοδος της αθροισιμότητας είναι ένας τέτοιος ορισμός ορίου σε ένα υποσύνολο ενός συνόλου από αποκλίνουσες σειρές όπου κατάλληλα επεκτείνει την κλασική έννοια της σύγκλισης. Οι μέθοδοι αθροισιμότητας συμπεριλαμβάνουν, σε αύξουσα σειρά γενίκευσης, το σύνολο του Cesàro, το (C,k) σύνολο, το σύνολο του Abel και το σύνολο του Borel.

Υπάρχουν διάφορα γενικά αποτελέσματα που αφορούν πιθανές μεθόδους αθροισιμότητας. Το θεώρημα του Silverman–Toeplitz χαρακτηρίζει τις μεθόδους αθροισιμότητας πινάκων, οι οποίοι είναι μέθοδοι που αθροίζουν μία αποκλίνουσα σειρά εφαρμόζοντας έναν απειροπίνακα στο διάνυσμα των συντελεστών. Η πιο γενική μέθοδος άθροισης μιας αποκλίνουσας σειράς είναι μη-κατασκευαστική και αφορά τα όρια Banach.
Σειρά στα όρια Banach

Η έννοια της σειράς μπορεί εύκολα να επεκταθεί στην περίπτωση του χώρου Banach. Αν xn είναι μία ακολουθία στοιχείων ενός X χώρου Banach, τότε η σειρά Σxn συγκλίνει στο x ∈ X αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς τείνει στο x

\( \biggl\|x - \sum_{n=0}^N x_n\biggr\|\to 0 \)

μεN → ∞. Γενικότερα, η σύγκλιση μιας σειράς μπορεί να οριστεί σε οποιαδήποτε αβελιανή Hausdorff τοπολογική ομάδα. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση αυτή, η Σxn συγκλίνει στο x αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει στο x.

Συμπεράσματα πάνω σε σύνολα με τυχαίους δείκτες

Ορισμοί μπορούν να δοθούν για πάνω από ένα αυθαίρετο σύνολο δείκτη I. Υπάρχουν δύο κύριες διαφορές με τη συνήθη έννοια της σειράς: πρώτον, δεν υπάρχει συγκεκριμένη σειρά στο σύνολο Ι. Δεύτερον, αυτό το σύνολο Ι μπορεί να είναι μη μετρήσιμο.
Οικογένειες μη-αρνητικών αριθμών

Όταν αθροίζουμε μια οικογένεια {ai}, i ∈ I, μη αρνητικών αριθμών, ορίζεται

\( \sum_{i\in I}a_i = \sup \Bigl\{ \sum_{i\in A}a_i\,\big| A \text{ finite, } A \subset I\Bigr\} \in [0, +\infty]. \)

Όταν το άθροισα είναι πεπερασμένο, το σύνολο των i ∈ I τέτοιο ώστε ai > 0 είναι μετρήσιμο. Πράγματι για κάθε n ≥ 1 το σύνολο \( \scriptstyle A_n = \{ i \in I \,:\, a_i > 1/n \} \) είναι πεπερασμένο, επειδή : \( \frac 1 n \, \textrm{card}(A_n) \le \sum_{i\in A_n} a_i \le \sum_{i\in I}a_i < \infty \) ..

Αν το I  είναι απειραριθμήσιμο και απαριθμίσιμο ως I = {i0, i1,...} τότε ικανοποιείται το παραπάνω ορισμένο σύνολο

\( \sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=0}^{+\infty} a_{i_k}, \)

υπό την προϋπόθεση ότι η τιμή ∞ επιτρέπεται για το σύνολο των σειρών.
Καλώς διατεταγμένο σύνολο

Μία συγκλίνουσα σειρά υφίστανται αν το I είναι ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο, για παράδειγμα ένας διατακτικός αριθμός α0. Μπορεί να οριστεί από μεταβατική αναδρομή:

\( \sum_{\beta < \alpha + 1} a_\beta = a_{\alpha} + \sum_{\beta < \alpha} a_\beta\,\! \)

με όριο το διατακτικό α,

\( \sum_{\beta < \alpha} a_\beta = \lim_{\gamma\to\alpha} \sum_{\beta < \gamma} a_\beta \)

άν το όριο υπάρχει. Αν όλα τα όρια υπάρχουν μέχρι το α0, τότε η σειρά συγκλίνει.

Αναφορές

p 264 Jan Gullberg: Mathematics: from the birth of numbers, W.W. Norton, 1997, ISBN 0-393-04002-X
O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. (February 1996). «A history of calculus». University of St Andrews. Ανακτήθηκε στις 2007-08-07.
Archimedes and Pi-Revisited.

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License