.
Η πρόσθεση είναι μία μαθηματική πράξη που αντιπροσωπεύει το συνολικό ποσό των αντικειμένων μαζί σε μια συλλογή. Καθορίζεται από το σύμβολο συν (+). Για παράδειγμα, στην εικόνα στα δεξιά, υπάρχουν 3 + 2 μήλα, δηλαδή, τρία μήλα και δύο μήλα μαζί, το οποίο είναι ένα σύνολο από 5 μήλα. . Ως εκ τούτου, 3 + 2 = 5. Εκτός από την καταμέτρηση των φρούτων, η πρόσθεση μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει το συνδυασμό άλλων φυσικών και αφηρημένων ποσοτήτων χρησιμοποιώντας διαφορετικά είδη αντικειμένων: αρνητικούς αριθμούς , κλάσματα, άρρητους αριθμούς , Ευκλείδειο διάνυσμα , δεκαδικά ψηφία, λειτουργίες, πίνακες και πολλά άλλα.
Η πρόσθεση ακολουθεί αρκετά σημαντικά σχέδια. Είναι μετατρέψιμη, πράγμα που σημαίνει ότι η σειρά δεν έχει σημασία, και είναι συνειρμική, πράγμα που σημαίνει ότι όταν κάποιος προσθέτει περισσότερους από δύο αριθμούς, η σειρά με την οποία γίνεται η πρόσθεση , δεν έχει σημασία (βλ. Άθροιση). Η επαναλαμβανόμενη πρόσθεση του 1 είναι το ίδιο όπως η μέτρηση : η πρόσθεση του 0 δεν αλλάζει έναν αριθμό.Η πρόσθεση υπακούει προβλέψιμους κανόνες που αφορούν συναφείς πράξεις , όπως η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. Όλοι αυτοί οι κανόνες μπορούν να αποδειχθούν, ξεκινώντας με την πρόσθεση φυσικών αριθμών και γενικεύονται μέσω των πραγματικών αριθμών και πέρα. Οι γενικές δυαδικές πράξεις που συνεχίζουν αυτά τα πρότυπα μελετώνται στην αφηρημένη άλγεβρα.
Η εκτέλεση της πρόσθεσης είναι μία από τις πιο απλές αριθμητικές εργασίες. Η πρόσθεση είναι προσβάσιμη σε πολύ μικρά παιδιά : η πιο βασική πράξη, 1 + 1, μπορεί να πραγματοποιηθεί από βρέφη ηλικίας μόλις πέντε μήνών και ακόμη και από μερικά ζώα. Στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, οι μαθητές διδάσκονται να προσθέτουν αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα, ξεκινώντας με μονά ψήφια και σταδιακά στην αντιμετώπιση πιο δύσκολων προβλημάτων. Τα μηχανικά βοηθήματα κυμαίνονται από την αρχαία άβακα μέχρι τον σύγχρονο υπολογιστή, όπου η έρευνα στις πιο αποτελεσματικές υλοποιήσεις της πρόσθεσης συνεχίζεται μέχρι σήμερα.
Συμβολισμός και Ορολογία
Το σύμβολο της πρόσθεσης
Η πρόσθεση γράφεται χρησιμοποιώντας το σύμβολο συν "+" ανάμεσα στους όρους, δηλαδή σε εν θεματικούς συμβολισμούς. Το αποτέλεσμα εκφράζεται με το σύμβολο ισότητας "=". Για παράδειγμα
1 + 1 = 2 (προφορικά, "ένα συν ένα ισούται με δύο")
2 + 2 = 4
5 + 4 + 2 = 11 ( "προσεταιριστική ιδιότητα")
3 + 3 + 3 + 3 = 12 ( "πολλαπλασιασμός")
Addition
Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις όπου η προσθήκη είναι "κατανοητή", ακόμη κι αν δεν εμφανίζεται το σύμβολο:
Κλασματική πρόσθεση:
5 + 12 = 17
Μία στήλη των αριθμών, με τον τελευταίο αριθμό στη στήλη υπογραμμίζουν , συνήθως δείχνει ότι οι αριθμοί στη στήλη πρόκειται να προστεθούν, με το ποσό γραμμένο κάτω από τον υπογραμμισμένο αριθμό.
Ένα ολόκληρο αριθμό που ακολουθείται αμέσως από ένα κλάσμα δηλώνει το άθροισμα των δύο, που ονομάζεταιμικτός αριθμός.
[2] Για παράδειγμα,
3½ = 3 + ½ = 3.5. Αυτή η σημειογραφία μπορεί να προκαλέσει σύγχυση δεδομένου ότι στις περισσότερες άλλες περιπτώσεις παράθεση υποδηλώνει πολλαπλασιασμό αντί αυτού.
Το άθροισμα της Σειρά των σχετικών αριθμών μπορεί να εκφραστεί μέσω της σημειογραφίας "Σ", η οποία υποδηλώνει συμπαγώς επανάληψη. Για παράδειγμα,
\( \sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55. \)
Οι αριθμοί ή τα αντικείμενα που προστίθενται στη γενική πρόσθεση συλλογικά αναφέρονται ως "όροι" ή "προσθετέοι": αυτή η ορολογία προκύπτει από το άθροισμα πολλών όρων. Αυτό διακρίνεται από τους συντελεστές οι οποίοι πολλαπλασιάζονται. Μερικοί συγγραφείς ονομάζουν τον πρώτο προσθετέο, “προσθέτης (=ένας αριθμός στον οποίο, ο προσθετέος, προστίθεται) . Στην πραγματικότητα, κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, πολλοί συγγραφείς δεν θεώρησαν τον πρώτο προσθετέο ως "προσθετέο" καθόλου. Σήμερα, λόγω της αντιμεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης, ο όρος "προσθέτης" χρησιμοποιείται σπάνια, και οι δύο όροι γενικά ονομάζονται προσθετέοι.[3]
Όλη αυτή η ορολογία προέρχεται από τα Λατινικά. Η πρόσθεση και προσθέτω είναι αγγλικές λέξεις που προέρχονται από το λατινικό ρήμα addere, το οποίo είναι με τη σειρά του μία γλωσσολογική ένωση του ad να", και dare να δίνεις", από την Πρωτο-Ινδο-ευρωπαϊκή ρίζα * deh, "να δίνεις" , έτσι το να προσθέτει είναι να δίνεις..[4] Χρησιμοποιώντας την γερουνδιακή κατάληξη -nd καταλήγει κανείς στην λέξη "addend",, που σημαίνει "πράγμα το οποίο προστίθεται" [5] Ομοίως, από την λέξη "augere" που σημαίνει "αυξάνομαι", καταλήγει κανείς στην λέξη "augend", δηλαδή "κάτι που αυξάνεται".
Πρόσοψη της εικόνας από την Η Τέχνη του Nombryng, ένα από τα πρώτα αγγλικά αριθμητικά κείμενα, τον 15ο αιώνα [6]
Οι λέξεις "άθροισμα(sum) " και "προσθετέος (summand) " προέρχoνται από το λατινικό ουσιαστικό "summa ", δηλαδή "το υψηλότερο, το κορυφαίο" και του συνώνυμου ρήματος "summare". Αυτό είναι κατάλληλο όχι μόνο επειδή το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από αυτούς τους δύο, αλλά επειδή κάποτε ήταν γνωστό το να προσθέτεις προς τα πάνω, σε αντίθεση με τη σύγχρονη πρακτική της πρόσθεσης προς τα κάτω, έτσι ώστε ένα άθροισμα να είναι κυριολεκτικά υψηλότερο από τους προσθετέους.[7] Οι λέξεις "Addere" και "summare" χρονολογούνται τουλάχιστον από την εποχή του Βοήθιου , αν όχι από την εποχή των πρώτων Ρωμαίων συγγραφέων, όπως ο Βιτρούβιος και ο Φροντίνος . Ο Βιτρούβιος χρησιμοποίησε επίσης αρκετούς άλλους όρους για την πράξη της πρόσθεσης. Οι λεξεις "Addere" και "summare" που αποτελούσαν όρους της Αγγλικής γλώσσας από τα τέλη του 12ου μέχρι και 15ου αιώνα διαδόθηκαν από τον Chaucer.[8]
Ερμηνείες
Η πρόσθεση χρησιμοποιείται για να διαμορφώσει αμέτρητες φυσικές μεθόδους. Ακόμη και για την απλή περίπτωση της πρόσθεσης φυσικών αριθμών , υπάρχουν πολλές πιθανές ερμηνείες και ακόμη περισσότερες ορατές αναπαραστάσεις.
Συνδυάζοντας σύνολα
Ενδεχομένως η πιο θεμελιώδης ερμηνεία της πρόσθεσης έγκειται στο συνδυασμό συνόλων:
Όταν δύο ή περισσότερα ασύνδετα σύνολα συνδυάζονται σε ένα ενιαίο σύνολο, ο αριθμός των αντικειμένων στο ενιαίο σύνολο είναι το άθροισμα του αριθμού των αντικειμένων των αρχικών συνόλων.
Η ερμηνεία αυτή είναι εύκολο να απεικονιστεί, με ένα μικρό κίνδυνο ασάφειας. Είναι επίσης χρήσιμη στα ανώτερα μαθηματικά : για τον ακριβή ορισμό, αυτό δίνει έμπνευση. Δες Φυσικούς αριθμούς . Ωστόσο, δεν είναι προφανές το πώς κάποιος μπορεί να επεκτείνει αυτή την εκδοχή της πρόσθεσης των κλασματικών ή αρνητικών αριθμών.[9]
Μια πιθανής λύση είναι να μελετήσει κανείς συλλογές αντικειμένων που μπορούν εύκολα να διαχωριστούν , όπως η "πίτα"στατιστικής ή, ακόμα καλύτερα, ράβδους σε διαστήματα.[10] Αντί απλά να συνδυάζονται συλλογές τμημάτων,οι ράβδοι μπορούν να ενωθούν από άκρο σε άκρο, το οποίο απεικονίζει μια άλλη αντίληψη της πρόσθεσης: δεν προσθέτονται οι ράβδοι, αλλά τα μήκη των ράβδων.
Επέκταση μήκους
Mία γραμμική αναπαράσταση της αλγεβρικής πρόσθεσης 2+4=6. Mία παράλληλη μεταφορά κατά 2 ακολουθούμενη από μία κατά 4,θα είναι το ίδιο με μία παράλληλη μεταφορά κατά 6
Μια γραμμική αναπαράσταση της αλγεβρικής πρόσθεσης 2+4=6. Mία παράλληλη μεταφορά κατά 4 ισοδυναμεί με τέσσερις παράλληλες μεταφορές του
Μια δεύτερη ερμηνεία της πρόσθεσης προέρχεται από την επέκταση ενός αρχικού μήκους από ένα δεδομένο μήκος:
Όταν ένα αρχικό μήκος εκτείνεται από μία δεδομένη ποσότητα, το τελικό μήκος είναι το άθροισμα του αρχικού μήκους και του μήκους της επέκτασης.
Το άθροισμα α + β μπορεί να ερμηνευθεί ως μια δυαδική πράξη η οποία συνδυάζει το "α" και "β", σε μια αλγεβρική έννοια, ή μπορεί να ερμηνευθεί ως η πρόσθεση του "β" περισσότερες μονάδες σε "α". Σύμφωνα με την τελευταία αυτή ερμηνεία, τα μέρη του συνόλου α+β παίζουν ασύμμετρο ρόλο, και η λειτουργία α+β θεωρείται ως η εφαρμογή της μονομελής πράξης "β" στο "α". Αντί να ονομάζονται τα "α" και "β" προσθετέοι, είναι πιο σωστό σε αυτή την περίπτωση να ονομάζεται το "α" ως 'προσθετέος', δεδομένου ότι το "α" παίζει παθητικό ρόλο . Η μονομελής θεωρία είναι επίσης χρήσιμη όσον αφορά την αφαίρεση καθώς κάθε μονομελής πρόσθεση έχει μια αντίστροφη μονομελή αφαιρετική πράξη, και αντίστροφα.
Ιδιότητες
Αντιμεταθετική Ιδιότητα
4 + 2 = 2 + 4 με τετράγωνα
Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική ιδιότητα, το οποίο σημαίνει πως οι όροι μπορούν να αντιστρέφονται και το αποτέλεσμα να παραμένει το ίδιο. Συμβολικά, εάν το "α" και το "β" αποτελούν δύο οποιουσδήποτε αριθμούς, τότε : α + β = β + α. Το γεγονός ότι η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, είναι γνωστό ως "ο αντιμεταθετικός νόμος της πρόσθεσης". Αυτή η φράση υποδεικνύει πως υπάρχουν και άλλοι αντιμεταθετικοί νόμοι: για παράδειγμα, υπάρχει ο αντιμεταθετικός νόμος του πολλαπλασιασμού Παρόλα αυτά, πολλές δυαδικές πράξεις δεν είναι αντιμεταθετικές, όπως η αφαίρεση και η διαίρεση, οπότε είναι παραπλανητικό να μιλάμε για ένα απόλυτο "αντιμεταθετικό νόμο".
Προσεταιριστική ιδιότητα
2+(1+3) = (2+1)+3 με κυκλικούς ράβδους
Μία κάπως πιο πολύπλοκη πραξη της πρόσθεσης είναι η προσεταιριστική ιδιότητα, η οποία εφαρμόζεται στην πρόσθεση πολλών αριθμών. Η πράξη:"'α + 'β + γ" μπορεί να γίνει και (α + β) + γ ή α + (β + γ). Η πρόσθεση αυτή είναι προσεταιριστική όπου φαίνεται ότι η αλλαγή των παρενθέσεων δεν επηρρεάζει το αποτέλεσμα. Για τρεις τυχαίους αριθμούς, α, β, και γ, ισχύει ότι: (α + β) + γ = α + (β + γ). Για παράδειγμα, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3). Δεν είναι όλες οι πράξεις προσεταιριστικές , οπότε σε άλλες πράξεις όπως η αφαίρεση, είναι σημαντικό να διευκρινίζεται η προτεραιότητα πράξεων.
Ουδέτερο στοιχείο
5 + 0 = 5 με σύνολα από βούλες
Όταν προσθέτεις το μηδέν με οποιοδήποτε άλλον αριθμό, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Το μηδέν είναι ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση. Συμβολικά για κάθε "α" : α+ 0 = 0 + α = α. Ο νόμος αυτός εντοπίστηκε για πρώτη φορά από τον Brahmagupta στο έργο του Brahmasphutasiddhanta το 628 μ.Χ. , παρόλο που τον διατύπωσε σαν τρεις διαφορετικούς νόμους, βασιζόμενος στον εάν το α είναι αρνητικό, θετικό ή μηδενικό χρησιμοποιώντας λόγια και όχι αλγεβρικά σύμβολα. Αργότερα οι Ινδοί Μαθηματικοί εξέλιξαν την έννοια περίπου το 830, ο Μαθηματικός Mahavira έγραψε, "το μηδέν γίνεται το ίδιο με ότι προστίθεται σε αυτό, καταλήγωντας στην αντιστοιχία 0 + α = α. Τον 21ο αιώνα, ο Bhaskara έγραψε, "Στην πρόσθεση ή την αφαίρεση του κώδικα cipher, η ποσότητα είτε θετική είτε αρνητική , παραμένει η ίδια, καταλήγωντας στην αντιστοιχία α + 0 = α.[11]
Διαδοχικός
Στο πλαίσιο των ακεραίων, η πρόσθεση παίζει επίσης έναν ειδικό ρόλο: για κάθε ακέραιο α, ο ακέραιος (α + 1) είναι κατά ένα μεγαλύτερος, επίσης γνωστό και ως διαδοχικός. Λόγω αυτής της διαδοχής, η πράξη κάποιων a + b μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως το b^{th} διαδοχικός του a, κάνοντας πρόσθεση επαναλαμβάνεται η διαδοχή.
Μονάδες
Για να προσθέσετε αριθμητικές φυσικές ποσότητες με μονάδες, πρέπει πρώτα να εκφράζονται με ίδιες μονάδες. Για παράδειγμα, εάν ένα μέτρο 5 ποδιών παρατείνεται κατά 2 ίντσες, το άθροισμα είναι 62 ίντσες, δεδομένου ότι 60 ίντσες αντιστοιχούν με 5 πόδια. Από την άλλη πλευρά, δεν είναι δυνατόν να προσθέσετε 3 μέτρα και 4 τετραγωνικά μέτρα, για το λόγο ότι οι μονάδες αυτές είναι ασύγκριτες. Αυτό το είδος της εξέτασης χρησιμοποιείται για την διαστατική ανάλυση.
Εκτέλεση πρόσθεσης
Έμφυτη Ικανότητα
Μελέτες που έγιναν σχετικά με την μαθηματική ανάπτυξη και ξεκίνησαν περίπου το 1980, ανακάλυψαν το φαινόμενο της εξοικείωσης: Τα πολύ μικρά παιδιά ανταποκρίνονται άμεσα σε απροσδόκητες καταστάσεις. Ένα σπουδαίο πείραμα από την [12] το οποίο πραγματοποιήθηκε το 1992 με κουκλοθέατρο από χαρακτήρες τουMickey Mouse , έδειξε ότι τα 5-χρόνα παιδιά "θεωρούν" πως 1+1=2, και όταν δημιουργείται υπόνοια μέσω μιας φυσικής κατάστασης πως 1+1 κάνει 1 ή ακόμη και 3, τα παιδιά μένουν έκπληκτα. Από τότε, αυτή η ανακάλυψη έχει επιβεβαιωθεί και από μελέτες πολλών εργαστηρίων με διαφορετικές μεθοδολογίες.[13] Το 1992, ένα άλλο πείραμα με λίγο μεγαλύτερα παιδιά , ηλικίας από 18 έως 35 μηνών, αξιοποίησε την κινητική τους ανάπτυξη επιτρέποντάς τους να συλλέγουν μπάλες ping-pong από ένα κουτί; Τα μικρότερα παιδιά ανταποκρίθηκαν καλά στους μικρότερους αριθμούς , ενώ τα μεγαλύτερα παιδιά ήταν σε θέση να υπολογίσουν ποσά μέχρι και το 5 .[14]
Ακόμη και κάποια ζώα δείχνουν μια περιορισμένη ικανότητα στην πρόσθεση, ειδικά οι πίθηκοι. Σε ένα πείραμα το οποίο πραγματοποιήθηκε το 1995 και μιμήθηκε το αποτέλεσμα του πειράματος της Wynn το 1992 (στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν μελιτζάνες αντί για κούκλες), 2 είδη πιθήκων,οι rhesus macaque και οι cottontop tamarin παρουσίασαν παρόμοιες αντιδράσεις με τα μικρά παιδιά. Το εντυπωσιακό αποτέλεσμα του πειράματος αποτέλεσε το γεγονός ότι , αφού διδάχθηκαν τις έννοιες των Αραβικών αριθμών από το 0 έως το 4, αποδείχθηκε πως ακόμη και ένας χιμπατζής ήταν σε θέση να υπολογίσει το άθροισμα δύο αριθμών χωρίς επιπλέον εκπαίδευση [15]
Ανακαλύπτοντας την πρόσθεση σαν παιδιά
Τυπικά τα παιδιά πρώτα μαθαίνουν την μέτρηση. Σε ένα πρόβλημα το οποίο απαιτεί συνδυασμό δύο ή τριών αντικειμένων, τα μικρά παιδιά κάνουν αναπαράσταση του προβλήματος με την χρήση αντικειμένων , με ζωγραφιές ακόμα και με τα δάχτυλά τους, για να μετρήσουν το σύνολο . Αποκτώντας εμπειρία, μαθαίνουν να ανακαλύπτουν την στρατηγική της "μέτρησης": για να βρουν την πράξη του δύο και τρία , τα παιδιά μετρούν από το δύο μετρώντας ακόμη τρεις αριθμούς, λέγοντας τρία, τέσσερα, πέντε (συνήθως χρησιμοποιώντας τα δάχτυλά τους), φτάνοντας στο πέντε. Αυτή η στρατηγική χρησιμοποιείται σχεδόν παγκοσμίως. Τα παιδιά το μαθαίνουν από τους δασκάλους τους.[16] Άλλα το ανακαλύπτουν μόνα τους. Με περισσότερη εξάσκηση, τα παιδιά μαθαίνουν να προσθέτουν πολύ πιο γρήγορα εξερευνώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης μετρώντας από τον μεγαλύτερο αριθμό, δηλαδή ξεκινώντας από το τρία και μετρώντας τέσσερα, πέντε.Τελικά τα παιδιά θυμούνται συγκεκριμένους κανόνες της πρόσθεσης, είτε μέσω της εμπειρίας τους, είτε με την απομνημόνευση. Όταν κάποιοι κανόνες αποτυπωθούν στην μνήμη, τα παιδιά βρίσκουν την λύση αγνώστων κανόνων από τους ήδη γνωστούς. Για παράδειγμα, εάν ένα παιδί κληθεί να προσθέσει τους αριθμούς έξι και εφτά, τότε αφού ξέρει ότι 6+6=12 τότε καταλαβαίνει ότι το άθροισμα του 6+7 είναι ένας αριθμός παραπάνω από το 12, δηλαδή 13.[17] Τέτοιες πράξεις μπορούν να λυθούν πολύ εύκολα, και τα παιδιά του δημοτικού τελικά απομνημονεύουν τους κανόνες ώστε να κάνουν τις πράξεις της πρόσθεσης γρήγορα και χωρίς δυσκολία.[18]
Πίνακας πρόσθεσης
Τα παιδιά συχνά καλούνται να απομνημονεύσουν τους δέκα πρώτους αριθμούς με την βοήθεια του πίνακα της πρόσθεσης. Με την γνώση αυτού, μπορούν να κάνουν την πράξη της πρόσθεσης.
Πίνακας πρόσθεσης
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Δεκαδικό σύστημα
Προϋπόθεση για την πρόσθεση στο δεκαδικό σύστημα είναι η άπταιστη ανάκληση ή η δημιουργία των 100 μονοψήφιων "προσθετικών πράξεων". Κάποιος θα μπορούσε να απομνημονεύσει όλες τις πράξεις αυτές με παπαγαλία, αλλά στρατηγικές βασισμένες στο πρότυπο είναι πιο διαφωτιστικές και, για τους περισσότερους , πιο αποδοτικές:[19]
Αντιμεταθετική ιδιότητα: Αναφέρθηκε παραπάνω, χρησιμοποιώντας το πρότυπο α + β = β + α μειώνει τον αριθμώ των "προσθετικών πράξεων" από 100 σε 55.
Ένα ή δύο ακόμα: Προσθέτοντας το 1 ή το 2 είναι ένα βασικό έργο, αυτό μπορεί να επιτευχθεί μετρώντας προς τα μπροστά ή, βασικά με τη, διαίσθηση.[19]
Μηδενικό: Αφού το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, το να προσθέτεις το μηδέν είναι ασήμαντο. Παρ' όλα αυτά στη διδασκαλία της αριθμητικής, κάποιοι μαθητές μαθαίνουν την πρόσθεση σαν μια διαδικασία που πάντα αυξάνει τους προσθετέους: λεξικά προβλήματα μπορεί να βοηθήσει να αιτιολογηθεί η "εξαίρεση" του μηδενικού.[19]
Διπλάσια: Το να προσθέτεις έναν αριθμό στον εαυτό του σχετίζεται με τη διπλή μέτρηση και τον πολλαπλασιασμό. Ο διπλασιασμός σχηματίζει ένα κορμό από σχετιζόμενες πράξεις, και οι μαθητές το βρίσκουν σχετικά εύκολο να το καταλάβουν.[19]
Σχεδόν-διπλάσια: Αθροίσματα όπως 6+7=13 μπορούν να υπολογιστούν από τον διπλασιασμό 6+6=12 προσθέτοντας ένα ακόμη, ή από 7+7=14 όμως αφαιρώντας ένα.[19]
Πέντε και δέκα: Αθροίσματα του τύπου 5+x και 10+x συνήθως μαθαίνονται από νωρίς και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό άλλων πράξεων. Για παράδειγμα, 6+7=13 μπορεί να υπολογιστεί ως 5+7=12 προσθέτοντας ένα ακόμη.[19]
Κάνοντας το δέκα: Μια προηγμένη στρατηγική χρησιμοποιεί το 10 ως ενδιάμεσο για προσθέσεις που περιέχουν το 8 ή το 9 για παράδειγμα, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.[19]
Όσο οι μαθητές μεγαλώνουν, βάζουν πιο πολλές πράξεις στη μνήμη τους, και μαθαίνουν να υπολογίζουν άλλες πράξεις γρήγορα και άπταιστα. Πολλοί μαθητές ποτέ δε βάζουν όλες τις πράξεις στη μνήμη τους, αλλά ακόμα μπορούν να υπολογίσουν τις βασικές γρήγορα.[18]
Ο βασικός αλγόριθμος για να προσθέτεις πολυψήφιους αριθμούς είναι να στοιχίσεις τους προσθετέους κάθετα και να προσθέσεις τις στήλες, ξεκινώντας από αυτή που είναι στα δεξιά. Αν μια στήλη υπερβεί το 10, το έξτρα ψηφίο "μεταφέρεται" στην επόμενη στήλη.[20] Μια εναλλακτική στρατηγική ξεκινά να προσθέτει από το πιο σημαντικό ψηφίο στα αριστερά; αυτός ο τρόπος κάνει τη μεταφορά λίγο πιο αδέξια, αλλά είναι γρηγορότερος στο να παίρνεις έναν πρόχειρο υπολογισμό του αθροίσματος. Υπάρχουν πολλές άλλες εναλλακτικές μέθοδοι.
Κλάσμα: Πρόσθεση
Επιστημονική σημείωση: Λειτουργίες
Υπολογιστές
Πρόσθεση με έναν λειτουργικό ενισχυτή. Βλέπε Αθροιστικό ενισχυτή για λεπτομέρειες.
Οι Αναλογικοί υπολογιστές δουλεύουν απευθείας με φυσικές ποσότητες, έτσι οι προσθετικοί μηχανισμοί εξαρτώνται από τη μορφή των προσθετέων. Ένας μηχανικός αθροιστής μπορεί να αντιπροσωπεύει δύο προσθετέους όπως τις θέσεις των μπλοκ ολισθήσεως, στην οποία περίπτωση μπορούν να προστεθούν με ένα συνηθισμένο μοχλό. Αν οι προσθετέοι είναι οι ταχύτητες περιστροφής δυο άξονες, μπορούν να προστεθούν με ένα διαφορικό. Ένας υδραυλικός αθροιστής μπορεί να προσθέσει πιέσεις σε δύο θαλάμους με την αξιοποίηση του Δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για να εξισορροπήσουν τις δυνάμεις σε μια συνδεσμολογία πιστονιών. Η πιο συνηθισμένη περίπτωση για έναν γενικού σκοπού αναλογικό υπολογιστή είναι να προσθέτεις δύο τάσεις (που πηγάζουν στο έδαφος); αυτό μπορεί να επιτευχθεί πρόχειρα με μία αντίσταση δίκτυο, αλλά ένα καλύτερο σχέδιο χρησιμοποιεί έναν λειτουργικό ενισχυτή.[21]
Η πρόσθεση είναι επίσης ζωτικής σημασίας για τη λειτουργία των ψηφιακών υπολογιστών, όπου η αποδοτικότητα της πρόσθεσης, συγκεκριμένα ο μηχανισμός μεταφοράς , είναι ένας σημαντικός περιορισμός για την συνολική απόδοση.
Μέρος της Διαφορικής μηχανής του Charles Babbage συμπεριλαμβανομένων των μηχανισμών πρόσθεσης και μεταφοράς
Ο Μπλεζ Πασκάλ εφηύρε την μηχανική αριθμομηχανή το 1642,[22] ήταν η πρώτη επιχειρησιακή αριθμομηχανή. Έκανε χρήση ενός ιδιοφυούς υποβοηθούμενου της βαρύτητας μεταφορικού μηχανισμού. Ήταν η μοναδική επιχειρησιακή μηχανική αριθμομηχανή τον 17ο αιώνα[23] και οι πρώτοι αυτόματοι, ψηφιακοί υπολογιστές. Η αριθμομηχανή του Pascal ήταν περιορισμένη από το μεταφορικό της μηχανισμό που ανάγκαζε τους τροχούς της να γυρνάνε μόνο από τη μία μεριά , έτσι μπορούσε να προσθέσει αλλά, για να αφαιρέσει, ο χειριστής έπρεπε να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο του συμπληρώματος που απαιτεί τόσα βήματα όσα και η πρόσθεση. Τον Pascal ακολούθησε ο Giovanni Poleni ο οποίος έφτιαξε τη δεύτερη λειτουργική μηχανική αριθμομηχανή το 1709, ένα υπολογιστικό ρολόι, το οποίο ήταν ξύλινο και μπορούσε, μόλις, να πολλαπλασιάσει δύο αριθμούς αυτόματα.
"Πλήρης αθροιστής" λογικό κύκλωμα που προσθέτει δύο δυαδικά ψηφία, A και B, μαζί με μια είσοδο μεταφοράς Γin, για να παράγει το δυαδικό ψηφίο, Σ, και μια έξοδο μεταφοράς, Γout.
Οι Αθροιστές εκτελούν πρόσθεση ακεραίων στους ηλεκτρονικούς ψηφιακούς υπολογιστές, συνήθως χρησιμοποιώντας δυαδική αριθμητική. Η απλούστερη αρχιτεκτονική είναι ο αθροιστής ριπής, που ακολουθεί τον βασικό πολυψήφιο αλγόριθμο. Μια μικρή βελτίωση είναι το σχέδιο παράκαμψης μεταφοράς , ξανά ακολουθούμενο από την ανθρώπινη διαίσθηση; κανείς δε θα εκτελέσει όλες τις μεταφορές στην πληροφορική 999 + 1, αλλά ένας παρακάμπτει την ομάδα των 9αριών και προχωράει στην απάντηση.[24]
Από τη στιγμή που υπολογίζουν ένα ψηφίο τη φορά, οι παραπάνω μέθοδοι είναι πολύ αργές για τους περισσότερους σύγχρονους σκοπούς . Στους σύγχρονους ψηφιακούς υπολογιστές, η πρόσθεση ακεραίων είναι τυπικά η γρηγορότερη αριθμητική καθοδήγηση, ακόμα έχει τη μεγαλύτερη επίπτωση στην επίδοση, αφού υποστηρίζει όλες τις λειτουργίες κινητής υποδιαστολής καθώς και τις βασικές εργασίες όπως η παραγωγή διεύθυνσης κατά τη διάρκεια πρόσβασης μνήμης και φέρει εντολές μέσω διακλάδωσης. Για την αύξηση της ταχύτητας, τα σύγχρονα μοντέλα υπολογίζουν ψηφία παράλληλα και τα συστήματα αυτά παίρνουν τα ονόματα της μεταφοράς που επιλέγουν, μπροστινή μεταφορά, και η ψευδομεταφορά του Ling . Σχεδόν όλες οι σύγχρονες υλοποιήσεις είναι, στην πραγματικότητα, υβρίδια των τριών αυτών μοντέλων.[25]
Σε αντίθεση με την πρόσθεση στο χαρτί, η πρόσθεση σε έναν υπολογιστή συχνά αλλάζει τους προσθετέους. Στον αρχαίο άβακα και στο χαρτί ,οι δύο προσθετέοι καταστρέφονται , αφήνοντας μόνο το άθροισμα. Η επιρροή του άβακα στη μαθηματική σκέψη ήταν αρκετά ισχυρή που πρώιμα Λατινικά κείμενα συχνά ισχυριζόντουσαν ότι στη διαδικασία πρόσθεσης "ενός αριθμού σε έναν άλλο", και οι δύο αριθμοί εξαφανίζονται.[26] Στη σύγχρονη εποχή, η εντολή ΠΡΟΣΘΕΣΗ ενός μικροεπεξεργαστή αντικαθιστά το στοιχείο στο οποίο προσθέτουμε με το άθροισμα αλλά διατηρεί αυτό που προσθέσαμε.[27] Σε μια υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραμματισμού, η εκτίμηση α + β δεν αλλάζει ούτε το α ούτε το β; αν ο στόχος είναι να αντικατασταθεί το α με το άθροισμα αυτό πρέπει να ζητηθεί ρητά, τυπικά με τη δήλωση α = α + β. Κάποιες γλώσσες όπως η C ή η C++ επιτρέπουν αυτό να είναι σύντομα γραμμένο ως a += b.
Πρόσθεση φυσικών και πραγματικών αριθμών
Για να αποδείξει τις συνήθεις ιδιότητες της πρόσθεσης, κάποιος πρέπει πρώτα να ορίσει την πρόσθεση στο ευρύτερο πλαίσιο του προβλήματος. Η πρόσθεση αρχικά ορίζεται στους φυσικούς αριθμούς. Στη θεωρία συνόλων, η πρόσθεση επεκτείνεται στη συνέχεια σε προοδευτικά μεγαλύτερα σύνολα που περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς: τους ακέραιους, τους ρητούς αριθμούς, και τους πραγματικούς αριθμούς.[28] (Στη μαθηματική διδασκαλία,[29] θετικά κλάσματα προστίθενται πριν ακόμη θεωρηθούν οι αρνητικοί αριθμοί; αυτή είναι και η ιστορική διαδρομή)[30]
Φυσικοί αριθμοί
Πρότυπο:Περαιτέρω πληροφορίες
Υπάρχουν δύο γνωστοί τρόποι να ορίσεις το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών α και β. Αν κάποιος ορίσει τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι πληθάριθμοι των πεπερασμένων συνόλων, (ο πληθάριθμος ενός συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου), τότε είναι κατάλληλο να ορίσουμε το άθροισμα ως εξής:
Έστω Ν(Σ)να είναι ο πληθάριθμος ενός συνόλου Σ. Πάρε δύο ξένα σύνολα Α and Β, με Ν(Α) = α και Ν(Β) = β. Τότε α + β ορίζεται ως N(A \cup B).[31]
Εδώ, A U B είναι η ένωση των Α και Β. Μία διαφορετική εκδοχή αυτού του ορισμού επιτρέπει τα Α και Β πιθανώς να επικαλύπτονται και παίρνει την ξένη ένωση, ένας μηχανισμός που επιτρέπει κοινά στοιχεία να διαχωριστούν και ως εκ τούτου να υπολογίζονται δύο φορές.
Ο άλλος γνωστός ορισμός είναι αναδρομικός:
Έστω ν+ να είναι ο διαδοχικός του ν, που είναι ο επόμενος αριθμός του ν στους φυσικούς αριθμούς, έτσι 0+=1, 1+=2.Ορίστε α + 0 = α. Ορίστε το συνολικό άθροισμα αναδρομικά ως α + (β+) = (α + β)+. Ως εκ τούτου 1+1=1+0+=(1+0)+=1+=2.[32]
Και πάλι, υπάρχουν μικρές παραλλαγές κατά τον ορισμό αυτό στη βιβλιογραφία. Κυριολεκτικά, ο παραπάνω ορισμός είναι μια εφαρμογή του Αναδρομικού θεωρήματος στο μερικώς διατεταγμένο σύνολο N2.[33] Από την άλλη, κάποιες πηγές προτιμούν να χρησιμοποιούν ένα περιορισμένο αναδρομικό θεώρημα που εφαρμόζεται μόνο στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Κάποιος τότε θεωρεί το α να είναι προσωρινά "σταθερό", εφαρμόζει αναδρομή στο β για να ορίσει μια συνάρτηση "α + ", και κολλάει αυτές τις μοναδιαίες πράξεις για όλα τα α μαζί για να σχηματίσει την πλήρη δυαδική λειτουργία.[34]
Αυτή η αναδρομική διατύπωση της πρόσθεσης αναπτύχθηκε από τον Dedekind ήδη από το 1854, και την επέκτεινε τις επόμενες δεκαετίες.[35] Απόδειξε τις προσεταιριστικές και τις μεταθετικές ιδιότητες, μεταξύ άλλων, μέσω της μαθηματικής επαγωγής; για παραδείγματα τέτοιων επαγωγικών αποδείξεων, δες Πρόσθεση φυσικών αριθμών.
Ακέραιοι
Ορίζοντας (−2) + 1 χρησιμοποιώντας μόνο την πρόσθεση θετικών αριθμών: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.
Πρότυπο:Περισσότερα
Η απλούστερη σύλληψη ενός ακεραίου είναι ότι αποτελείται από μια απόλυτη τιμή (που είναι φυσικός αριθμός) και ένα πρόσημο (γενικά είτε θετικό είτε αρνητικό). Ο ακέραιος αριθμός μηδέν είναι μια ειδική τρίτη περίπτωση, που είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός. Ο αντίστοιχος ορισμός της πρόσθεσης πρέπει να διαχωριστεί σε περιπτώσεις :
Για έναν ακέραιο ν, έστω |ν| να είναι η απόλυτη τιμή του. Έστω α και β ακέραιοι. Αν το α ή το β είναι μηδέν, το αντιμετωπίζουμε σαν μια ταυτότητα. Αν α και β είναι και οι δύο θετικοί, ορίζουμε α + β = |α| + |β|. Αν α και β είναι και οι δύο αρνητικοί, ορίζουμε α + β = −(|α|+ |β|). Αν α και β έχουν διαφορετικά πρόσημα, ορίζουμε α + β να είναι η διαφορά μεταξύ |α| και |β|, με το πρόσημο του όρου του οποίου η απόλυτη τιμή είναι μεγαλύτερη.[36]
Παρά το γεγονός ότι ο ορισμός αυτός μπορεί να είναι χρήσιμος για συγκεκριμένα προβλήματα, είναι πάρα πολύ περίπλοκος για να παράγει κομψές γενικές αποδείξεις; υπάρχουν πάρα πολλές περιπτώσεις για να εξεταστούν.
Μια πολύ πιο βολική σύλληψη των ακεραίων είναι η κατασκευή της ομάδας του Grothendieck. Η βασική παρατήρηση είναι ότι κάθε ακέραιος μπορεί να εκφραστεί (όχι μοναδικά) ως η διαφορά δύο φυσικών αριθμών, έτσι ώστε να μπορούμε επίσης να ορίσουμε έναν ακέραιο ως τη διαφορά δύο φυσικών αριθμώνan.Η πρόσθεση ορίζεται τότε να είναι συμβατή με την αφαίρεση:
Δοθέντων δύο ακεραίων α − β και γ − δ, όπου α, β, γ, και δ είναι φυσικοί αριθμοί, ορίζουμε (α − β) + (γ − δ) = (α + γ) − (β + δ).[37]
Ρητοί αριθμοί (κλάσματα)
Η πρόσθεση ρητών αριθμών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο,αλλά ένας απλούστερος εννοιολογικά ορισμός περιέχει πρόσθεση μόνο ακεραίων και πολλαπλασιασμό:
Ορίζουμε \frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.
Η μεταθετικότητα και η προσεταιριστικότητα της πρόσθεσης ρητών είναι μια προφανής συνέπεια των νόμων της ακεραίας αριθμητικής .[38] Για μια πιο αυστηρή και γενική διαπραγμάτευση, δείτε τον τομέα των κλασμάτων.
Πραγματικοί αριθμοί
Προσθέτοντας π2/6 και e χρησιμοποιώντας τις διαμερίσεις ρητών του Dedekind
Πρότυπο:Περεταίρω πληροφορίες
Μια συνήθης κατασκευή του συνόλου των πραγματικών αριθμών είναι η συμπλήρωση του συνόλου των ρητών αριθμών του Dedekind. Ένας πραγματικός αριθμός ορίζεται να είναι η διαμέριση του Dedekind ρητών αριθμών: ένα μη- κενό σύνολο ρητών αριθμών που είναι κλειστό προς τα κάτω και δεν έχει μέγιστο στοιχείο. Το άθροισμα πραγματικών αριθμών α και β ορίζεται στοιχείο προς στοιχείο:
Ορίζουμε \( a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\} \).[39]
Αυτός ο ορισμός δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά, σε μια ελαφρώς τροποποιημένη μορφή, από τον Richard Dedekind το 1872.[40] Η μεταθετικότητα και η προσεταιριστικότητα της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών είναι άμεση; ορίζοντας τον πραγματικό αριθμό 0 να είναι το σύνολο των αρνητικών ρητών, φαίνεται εύκολα ότι είναι η προσθετική ταυτότητα. Πιθανώς το πιο λεπτό σημείο αυτής της κατασκευής που αφορούν την πρόσθεση είναι ο ορισμός των προσθετικών αντιστρόφων.[41]
Προσθέτοντας π2/6 και e χρησιμοποιώντας τις ακολουθίες Cauchy των ρητών αριθμών
Δυστυχώς, η ενασχόληση με τον πολλαπλασιασμό των διαμερίσεων του Dedekind είναι ένας κατά περίπτωση εφιάλτης παρόμοιος με την πρόσθεση ακεραίων με πρόσημο. Μια άλλη προσέγγιση είναι η μετρική συμπλήρωση των ρητών αριθμών. Ένας πραγματικός αριθμός ορίζεται ουσιαστικά να είναι το όριο μιας ακολουθίας Cauchy ρητών αριθμών, lim an. Η πρόσθεση ορίζεται λέξη προς λέξη:
Ορίζουμε\( \lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n) \) .[42]
Αυτός ο ορισμός δημοσιεύτηκε πρώτα από τον Georg Cantor, επίσης το 1872, παρόλο που ο φορμαλισμός του ήταν ελαφρώς διαφορετικός.[43] Κάποιος πρέπει να αποδείξει ότι αυτό το εγχείρημα είναι σαφώς καλά ορισμένο, έχοντας να κάνει με συν-ακολουθίες Cauchy.Μόλις γίνει αυτό το έργο, όλες οι ιδιότητες της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών ακολουθούν αμέσως μετά τις ιδιότητες των ρητών αριθμών. Επιπλέον, οι άλλες αριθμητικές ιδιότητες, συμπεριλαμβανομένου του πολλαπλασιασμού, έχουν ξεκάθαρα, ανάλογους ορισμούς.[44]
Γενικεύσεις
Υπάρχουν πολλά πράγματα που μπορούν να προστεθούν: αριθμοί, διανύσματα, πίνακες, διαστήματα, σχήματα, σύνολα, συναρτήσεις, εξισώσεις, ακολουθίες, αλυσίδες... —Alexander Bogomolny
Υπάρχουν πολλές δυαδικές λειτουργίες που μπορούν να θεωρηθούν ως γενικεύσεις της πράξης της πρόσθεσης των πραγματικών αριθμών. Ο τομέας της αφηρημένης άλγεβρας είναι ασχολείται κυρίως με τέτοιες γενικευμένες πράξεις, και κυρίως εμφανίζεται στη θεωρία συνόλων και τη θεωρία κατηγοριών.
Πρόσθεση στην αφηρημένη άλγεβρα
Στη γραμμική άλγεβρα, ένας διανυσματικός χώρος είναι μια αλγεβρική δομή που επιτρέπει την πρόσθεση δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων και τη σύγκριση διανυσμάτων. Ένας οικείος διανυσματικός χώρος είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών των πραγματικών αριθμών; το διατεταγμένο ζεύγος (α, β) ερμηνεύεται ως ένα διάνυσμα με αρχή στο Ευκλείδειο επίπεδο στο σημείο (α ,β) του επιπέδου. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται προσθέτοντας τις ατομικές τους συντεταγμένες:
(α,β) + (γ,δ) = (α+γ,β+δ).
Αυτή η προσθετική ιδιότητα είναι κεντρικής σημασίας στην κλασική μηχανική, στην οποία τα διανύσματα ερμηνεύονται ως δυνάμεις.
Στην modulo αριθμητική, το σύνολο των ακεραίων modulo 12 έχει δώδεκα στοιχεία; κληρονομεί μια λειτουργία της πρόσθεσης των ακεραίων που είναι κεντρικής σημασίας στην θεωρία συνόλων. Το σύνολο των ακεραίων modulo 2 έχει δύο στοιχεία; η προσθετική λειτουργία που κληρονομεί είναι γνωστή ως λογική του Μπουλ ως η συνάρτηση της"αποκλειστικής διάζευξης" . Στη γεωμετρία, το άθροισμα δύο μέτρων γωνιών λαμβάνεται συχνά να είναι το άθροισμα τους ως πραγματικοί αριθμοί modulo 2π. Αυτό ισοδυναμεί με μια λειτουργία πρόσθεσης στον κύκλο, το οποίο με τη σειρά του γενικεύεται σε προσθετικές λειτουργίες σε πολυδιάστατους δακτυλίους.
Η γενική θεωρία της αφηρημένης άλγεβρας επιτρέπει μια "προσθετική" λειτουργία να είναι και προσεταιριστική και αντιμεταθετική λειτουργία σε ένα σύνολο. Βασικές αλγεβρικές δομές με μια τέτοια προσθετική λειτουργία περιλαμβάνουν μεταθετικά μονοειδή και αβελιανές ομάδες.
Πρόσθεση στη θεωρία συνόλων και θεωρία κατηγοριών
Μια εκτεταμένη γενίκευση της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι η πρόσθεση τακτικών αριθμών και απόλυτων αριθμών στη θεωρία συνόλων. Αυτοί δίνουν δύο διαφορετικές γενικεύσεις της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών στους υπερπεπερασμένους. Σε αντίθεση με τις περισσότερες προσθετικές ιδιότητες, η πρόσθεση των τακτικών αριθμών δεν είναι μεταθετική. Η πρόσθεση των απόλυτων αριθμών, όμως, είναι μια μεταθετική πράξη στενά συνδεδεμένη με το εγχείρημα της ξένης ένωσης.
Στη θεωρία κατηγοριών, η ξένη ένωση θεωρείται σαν μια ειδική περίπτωση της λειτουργίας του κατηγορηματικού αθροίσματος , και γενικά τα κατηγορηματικά αθροίσματα είναι ίσως τα πιο αφηρημένα από όλες τις γενικεύσεις της πρόσθεσης. Κάποια κατηγορηματικά αθροίσματα, όπως το Ευθύ άθροισμα και το Wedge sum, ονομάστηκαν επικαλούμενα τη σύνδεσή τους με την πρόσθεση.
Σχετικές πράξεις
Αριθμητική
Η Αφαίρεση μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα είδος πρόσθεσης —αυτό είναι, η πρόσθεση ενός προσθετικού αντιστρόφου. Η αφαίρεση είναι από μόνη της ένα είδος αντιστρόφου της πρόσθεσης, όπου το να προσθέτεις χ και να αφαιρείς χ είναι αντίστροφες συναρτήσεις.
Δοθέντος ενός συνόλου με μια προσθετική πράξη, κάποιος δε μπορεί πάντα να ορίσει μια αντίστοιχη αφαιρετική πράξη σε αυτό το σύνολο; το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα απλό παράδειγμα. Από την άλλη, μια αφαιρετική πράξη προσδιορίζει μοναδικά μια προσθετική πράξη, μια προσθετική αντίστροφη πράξη, και μια προσθετική ταυτότητα; για αυτό το λόγο, μια προσθετική ομάδα μπορεί να περιγραφτεί σαν ένα σύνολο κλειστό ως προς την αφαίρεση.[45]
Ο Πολλαπλασιασμός μπορεί να θεωρηθεί σαν μια επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Αν ένας όρος χ εμφανίζεται σε ένα άθροισμα ν φορές, τότε το άθροισμα είναι το γινόμενο των ν και χ. Αν το ν δεν είναι φυσικός αριθμός, το γινόμενο μπορεί ακόμα και έχει νόημα; για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός με −1 παράγει τον προσθετικό αντίστροφο ενός αριθμού.
Ένας κυκλικός λογαριθμικός κανόνας
Στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να εναλλάσσονται με την εκθετική συνάρτηση:
eα + β = eα eβ.[46]
Αυτή η ταυτότητα επιτρέπει στον πολλαπλασιασμό να πραγματοποιείται με τη διαβούλευση ενός πίνακα από λογαρίθμους και υπολογίζει την πρόσθεση με το χέρι; επίσης επιτρέπει τον πολλαπλασιασμό σε έναν λογαριθμικός κανόνας| λογαριθμικό κανόνα. Ο τύπος εξακολουθεί να είναι μια καλή προσέγγιση πρώτης τάξης στο ευρύτερο πλαίσιο των Ομάδων ψέματος, όπου σχετίζει τον πολλαπλασιασμό των απειροελάχιστων στοιχείων της ομάδας με την πρόσθεση των διανυσμάτων στη σχετική Άλγεβρα ψέματος.[47]
Υπάρχουν ακόμα περισσότερες γενικεύσεις του πολλαπλασιασμού από αυτές τις πρόσθεσης.[48] Γενικότερα, οι πολλαπλασιαστικές πράξεις πάντα επιμερίζονται ως προς την πρόσθεση; αυτό το αξίωμα επισημοποιείται στον ορισμό του δακτυλίου. Σε κάποια σύνολα, όπως είναι οι ακέραιοι αριθμοί, η επιμεριστικότητα της πρόσθεσης και η ύπαρξη μιας πολλαπλασιαστικής ταυτότητας είναι αρκετά για να ορίσουν μοναδικά μια πολλαπλασιαστική πράξη. Η επιμεριστική ιδιότητα παρέχει επίσης πληροφορίες σχετικά με την πρόσθεση; επεκτείνοντας το γινόμενο (1 + 1)(α + β) με δύο τρόπους, κάποιος καταλήγει στο ότι η πρόσθεση αναγκάζεται να είναι επιμεριστική. Γι' αυτό το λόγο, η πρόσθεση δακτυλίων είναι επιμεριστική γενικά.[49]
Η Διαίρεση είναι μια αριθμητική πράξη μακρόθεν σχετιζόμενη με την πρόσθεση. Αφού α/β = α(β−1), η διαίρεση είναι δεξιά επιμεριστική ως προς την πρόσθεση: (α + β) / γ = α / γ + β / γ.[50] Όμως, η πρόσθεση δεν είναι αριστερά επιμεριστική ως προς την πρόσθεση; 1/ (2 + 2) δεν είναι το ίδιο με 1/2 + 1/2.
Διάταξη
Log-log γράφημα του x + 1 και max (x, 1) από x = 0.001 έως 1000[51]
Η πράξη του μεγίστου "max (α, β)" είναι μια δυαδική πράξη όμοια της πρόσθεσης. Στην πραγματικότητα, αν δύο μη-αρνητικοί αριθμοί α και β είναι από διαφορετικές τάξεις μεγέθους, τότε το άθροισμα τους είναι περίπου ίσο με τον μέγιστό τους. Αυτή η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στις εφαρμογές των μαθηματικών , για παράδειγμα στην περικοπή των σειρών Taylor.Παρ' όλα αυτά, παρουσιάζει μια αιώνια δυσκολία στη θεωρία αριθμών, αφού ουσιαστικά το "max" δεν είναι αντιστρέψιμο. Αν το β είναι πολύ μεγαλύτερο του α, τότε ένας ευθύς υπολογισμός του (α + β) − β μπορεί να προκαλέσει ένα μη-αποδεκτό σφάλμα στρογγύλευσης, που ίσως ακόμη να τείνει στο μηδέν. Δείτε επίσης Απώλεια σημαντικότητας.
Η προσέγγιση γίνεται ακριβώς ένα είδος άπειρου ορίου; Αν ή το α ή το β είναι ένας άπειρος απόλυτος αριθμός, το απόλυτο άθροισμα τους είναι ακριβώς ίσο με τον μεγαλύτερο απ' τους δύο.[52] Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει καμία αφαιρετική πράξει για τους άπειρους απόλυτους αριθμούς.[53]
Η μεγιστοποίηση είναι μεταθετική και προσεταιριστική, όπως η πρόσθεση. Ακόμα, αφού η πρόσθεση διατηρεί τη διάταξη των πραγματικών αριθμών, η πρόσθεση επιμερίζεται ως προς το "max" με τον ίδιο τρόπο που επιμερίζεται ο πολλαπλασιασμός ως προς την πρόσθεση:
α + max (β, γ) = max (α + β, α + γ).
Για τους λόγους αυτούς, στην τροπική γεωμετρία κάποιος αντικαθιστά τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση και την πρόσθεση με τη μεγιστοποίηση. Σε αυτό το πλαίσιο, η πρόσθεση λέγεται "τροπικός πολλαπλασιασμός", η μεγιστοποίηση λέγεται "τροπική πρόσθεση", και η τροπική "προσθετική ταυτότητα" είναι αρνητικό άπειρο.[54] Κάποιοι συγγραφείς προτιμούν να αντικαθιστούν την πρόσθεση με την ελαχιστοποίηση; τότε η προσθετική ταυτότητα είναι θετικό άπειρο.[55]
Συνδυάζοντας αυτές τις παρατηρήσεις μαζί, η τροπική πρόσθεση είναι περίπου σχετιζόμενη με τη συνηθισμένη πρόσθεση μέσω λογαρίθμου:
log (α + β) ≈ max (log α, log β),
που γίνεται περισσότερο ακριβής όσο η βάση του λογαρίθμου αυξάνει.[56] Η προσέγγιση μπορεί να γίνει ακριβής θεωρώντας μια σταθερά η, που ονομάστηκε κα' αναλογία με τη σταθερά του Πλανκ από την κβαντομηχανική,[57] και παίρνοντας το "κλασικό όριο" όταν το h τείνει στο μηδέν:
\( \max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}). \)
Υπό την έννοια αυτή, η πράξη του μεγίστου είναι μια παραλλαγμένη εκδοχή της πρόσθεσης.[58]
Άλλοι τρόποι να προσθέτεις
Η Σταδιακή αύξηση, επίσης γνωστή ως η διαδοχική πράξη, είναι η πρόσθεση του 1 σε έναν αριθμό.
Η Άθροιση περιγράφει την πρόσθεση αυθαιρέτως πολλών αριθμών, συνήθως περισσότερων από δύο. Περιλαμβάνει την ιδέα του αθροίσματος ενός μόνο αριθμού, που είναι ο ίδιος ο αριθμός, και το κενό άθροισμα, που είναι μηδέν.[59] Ένα άπειρο άθροισμα είναι μια λεπτή διαδικασία γνωστή ως σειρά.[60]
Μετρώνταςένα πεπερασμένο σύνολο είναι ισοδύναμο με το να προσθέτεις 1 στο σύνολο.
Η Ολοκλήρωση είναι ένα είδος "άθροισης" πάνω σε ένα συνεχές, η πιο σωστά και γενικά, πάνω σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Ολοκλήρωση πάνω από μια πολλαπλότητα διάστασης μηδέν οδηγεί στην άθροιση.
Οι Γραμμικοί συνδυασμοί συνδυάζουν πολλαπλασιασμό και πρόσθεση; είναι αθροίσματα στα οποία κάθε όρος έχει ένα πολλαπλασιαστή, συνήθως έναν πραγματικό ή ένα μιγαδικό αριθμό. Οι γραμμικοί συνδυασμοί είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι σε πλαίσια όπου η απλή πρόσθεση θα παραβίαζε κάποιους κανόνες ομαλοποίησης, όπως η μίξη των στρατηγικών στη θεωρία παιχνιδιών ή η υπέρθεση των καταστάσεων στη κβαντομηχανική.
Η Συσπείρωση χρησιμοποιείται για να προσθέτει δυο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ορισμένες από συναρτήσεις κατανομής. Ο συνήθης ορισμός της συνδυάζει ολοκλήρωση, αφαίρεση, και πολλαπλασιασμό. Γενικότερα, η συσπείρωση είναι χρήσιμη ως ένα είδος πλευρικού πεδίου της πρόσθεσης; σε αντίθεση, η πρόσθεση διανυσμάτων είναι ένα είδος πλευρικού εύρους της πρόσθεσης.
Στη λογοτεχνία
Στο κεφάλαιο 9 του Lewis Carroll Μέσα απ' τον καθρέφτη, η Λευκή Βασίλισσα ρωτάει την Αλίκη, "Και κάνεις πρόσθεση? ... Πόσο κάνει ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα?" Η Αλίκη παραδέχτηκε ότι έχασε το μέτρημα, και η Κόκκινη Βασίλισσα δήλωσε, "Αυτή δε ξέρει να κάνει πρόσθεση".
Στο Χίλια εννιακόσια ογδόντα τέσσερα του George Orwell , ζητείται η τιμή του 2 + 2 ; Η πολιτεία υποστηρίζει ότι αν δηλωθεί 2 + 2 = 5, τότε έτσι θα 'ναι. Δες Δύο και δύο κάνει πέντε για την ιστορία αυτής της ιδέας.
Υποσημειώσεις
Από Enderton (σελ.138): "... επιλέξτε δύο σύνολα Κ και L με Κ = 2 και L = 3. Το μέτρημα των δακτύλων είναι βολικό,ενώ τα σύνολα των μήλων προτιμούνται από βιβλία."
Devine et al. p.263
Schwartzman p.19
Schwartzman σελ.19
Η λέξη "addend" δεν είναι λατινική λέξη. Στα Λατινικά πρέπει να είναι περαιτέρω συζευγμένη, όπως και και στην λατινική έκφραση numerus addendus, δηλαδή "ο αριθμός που προστίθεται".
Karpinski pp.56-57, αναπαράγεται σε σελ.104
Schwartzman (σελ.212)αποδίδει την πράξη της πρόσθεση προς τα πάνω στους Αρχαίους Έλληνες και τους Ρωμαίους, λέγοντας ότι ήταν περίπου τόσο κοινή όσο η πρόσθεση προς τα κάτω. Από την άλλη πλευρά, ο Karpinski (σ. 103) γράφει ότι ο Λεονάρδος της Πίζας "εισάγει την καινοτομία της γραφής του αθροίσματος πάνω από τον προσθετέο"¨. Είναι ασαφές εάν ο Karpinski ισχυρίζεται αυτή την άποψη ως μια αρχική εφεύρεση ή απλά ως την εισαγωγή της πρακτικής στην Ευρώπη.
Karpinski σελ.150–153
Δες Viro 2001 για ένα παράδειγμα της πολυπλοκότητας σχετικά με την προσθήκη συνόλων "κλασματικών αριθμητικών στοιχείων".
Με την αναφορά του, (σελ.73) γίνεται η σύγκριση της πρόσθεσης ράβδων μέτρησης με την πρόσθεση συνόλων από γάτες: Για παράδειγμα, οι ίντσες μπορούν να διαχωριστούν σε κομμάτια, οι οποίες δεν είναι εύκολα διακριτές σε σύνολο, εκτός του ότι είναι μικρότερες : ενώ είναι επώδυνο για τις γάτες να χωριστούν σε κομμάτια αφού είναι κάτι το οποίο αλλάζει σοβαρά τη φύση τους . "
Kaplan pp.69–71
Wynn p.5
Wynn p.15
Wynn p.17
Wynn σελ .19
F. Smith p.130
Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan (1999). Παιδικά μαθηματικά: Γνωστικά καθοδηγούμενη διδασκαλία. Portsmouth, NH: Heinemann. ISBN 0-325-00137-5.
Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. (2008). «Βασικά γεγονότα πρώτου βαθμού: Μια έρευνα σχετικά με τη διδασκαλία και την εκμάθηση ενός συνοπτικού, υψηλών απαιτήσεων προτύπου απομνημόνευσης». Εφημερίδα για την Έρευνα στη Μαθηματική Παιδεία 39 (2): 153–183. doi:10.2307/30034895.
Fosnot and Dolk p. 99
Η λέξη "μεταφέρω" μπορεί να είναι ακατάλληλη στην εκπαίδευση; Ο Van de Walle (p.211) τη λέει "παρωχημένη και εννοιολογικά παραπλανητική", προτιμώντας τη λέξη "ανταλλαγή".
Truitt και Rogers pp.1;44–49 και pp.2;77–78
Jean Marguin, p. 48 (1994) ; Quoting René Taton (1963)
Δείτε Ανταγωνιστικά σχέδια στο άρθρο αριθμομηχανής του Πασκαλ
Flynn and Overman pp.2, 8
Flynn και Overman pp.1–9
Karpinski pp.102–103
Η ταυτότητα αυτού στον οποίο προσθέτουμε και αυτού που προσθέτουμε ποικίλει ανάλογα με την αρχιτεκτονική. Για ΠΡΟΣΘΕΣΗ σε x86 δείτε Horowitz και Hill p.679; για ΠΡΟΣΘΕΣΗ σε 68k δείτε p.767.
Enderton κεφάλαια 4 και 5, για παράδειγμα, ακολουθούν αυτήν την εξέλιξη.
California standards; δείτε βαθμούς 2[νεκρός σύνδεσμος], 3[νεκρός σύνδεσμος], και 4[νεκρός σύνδεσμος].
Ο Baez (p.37) εξηγεί την ιστορική εξέλιξη, σε "έντονη αντίθεση" με την παρουσίαση της θεωρίας συνόλων: "Προφανώς, το μισό ένα μήλο είναι πιο εύκολο να το καταλάβουμε από ένα αρνητικό μήλο!"
Begle p.49, Johnson p.120, Devine et al. p.75
Enderton p.79
Για μια εκδοχή που ισχύει σε κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο με τη κατάσταση φθίνουσας αλυσίδας, δείτε Bergman p.100.
Ο Enderton (p.79) παρατηρεί, "Όμως θέλουμε μια δυαδική πράξη +, όχι όλες αυτές τις μικρές συναρτήσεις ενός μέρους."
Ferreirós p.223
K. Smith p.234, Sparks και Rees p.66
Enderton p.92
Επαληθεύσεις που πραγματοποιήθηκαν στο Enderton p.104 και σκιαγραφήθηκαν για ένα γενικότερο πλαίσιο κλασμάτων πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο στο Dummit και Foote p.263.
Enderton p.114
Ferreirós p.135; δείτε μέρος 6 του Stetigkeit und irrationale Zahlen[νεκρός σύνδεσμος].
Η διαισθητική προσέγγιση, αντιστρέφει κάθε στοιχείο της διαμέρισης και παίρνει το συμπλήρωμά του, δουλεύει μόνο για τους άρρητους αριθμούς; δείτε Enderton p.117 για λεπτομέρειες.
Οι κατασκευές εγχειριδίων δεν είναι πάντα τόσο υπεροπτικές με το σύμβολο "lim"; δείτε Burrill (p. 138) για ένα περισσότερο προσεκτική, παρατεταμένη ανάπτυξη της πρόσθεσης με ακολουθίες Cauchy.
Ferreirós p.128
Burrill p.140
Το σύνολο πρέπει να είναι ακόμα μη κενό.Οι Dummit και Foote (p.48) συζητούν το πολλαπλά γραμμένο κριτήριο.
Rudin p.178
Lee p.526, Proposition 20.9
Ο Linderholm (p.49) παρατηρεί, "Με τον πολλαπλασιασμό, κυριολεκτικά, ένας μαθηματικός μπορεί να εννοεί οτιδήποτε. Με την πρόσθεση μπορεί να εννοεί μια μεγάλη ποικιλία πραγμάτων, όχι όμως τόσο μεγάλη όσο αυτή που θα εννοούσε με τον 'πολλαπλασιασμό'."
Dummit and Foote p.224. Για να λειτουργήσει αυτό το επιχείρημα, θα πρέπει ακόμα να υποθέσουμε ότι η πρόσθεση είναι μία πράξη της ομάδας και αυτός ο πολλαπλασιασμός έχει μια ταυτότητα.
Για παράδειγμα της αριστερής και δεξιάς επιμεριστικότητας, δες Loday, ειδικά p.15.
Compare Viro Figure 1 (p.2)
Ο Enderton ονομάζει αυτήν την κατάσταση "Νόμο Απορρόφησης της Απόλυτης Αριθμητικής"; εξαρτάται από τη συγκρισιμότητα των απολύτων και ως εκ τούτου στο Αξίωμα της επιλογής.
Enderton p.164
Mikhalkin p.1
Akian et al. p.4
Mikhalkin p.2
Litvinov et al. p.3
Viro p.4
Martin p.49
Stewart p.8
Πηγές
Ιστορία
Bunt, Jones, και Bedient (1976). Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών μαθηματικών. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389015-5.
Ferreirós, José (1999). Λαβύρινθος της σκέψης: Μια ιστορία της θεωρίας συνόλων και του ρόλου της στα σύγχρονα μαθηματικά. Birkhäuser. ISBN 0-8176-5749-5.
Kaplan, Robert (2000). Το τίποτα που είναι: Μια φυσική ιστορία του μηδενικού. Oxford UP. ISBN 0-19-512842-7.
Karpinski, Louis (1925). Η ιστορία της αριθμητικής. Rand McNally. LCC QA21.K3.
Schwartzman, Steven (1994). Οι λέξεις των μαθηματικών: Ένα ετυμολογικό λεξικό μαθηματικών όρων που χρησιμοποιούνται στα αγγλικά. MAA. ISBN 0-88385-511-9.
Williams, Michael (1985). Μια ιστορία της τεχνολογίας πληροφορικής. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389917-9.
Στοιχειώδη μαθηματικά
Davison, Landau, McCracken, και Thompson (1999). Μαθηματικά: Εξερευνήσεις & Εφαρμογές (TE έκδοση). Prentice Hall. ISBN 0-13-435817-1.
F. Sparks και C. Rees (1979). Μια έρευνα των βασικών μαθηματικών. McGraw-Hill. ISBN 0-07-059902-5.
Εκπαίδευση
Begle, Edward (1975). Τα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004325-6.
California State Board of Education mathematics content standards[νεκρός σύνδεσμος] Adopted December 1997, accessed December 2005.
D. Devine, J. Olson, and M. Olson (1991). Στοιχειώδη μαθηματικά για εκπαιδευτικούς (2e έκδοση). Wiley. ISBN 0-471-85947-8.
National Research Council (2001). Προσθέτοντας: Βοηθώντας τα παιδιά να μάθουν μαθηματικά. National Academy Press. ISBN 0-309-06995-5.
Van de Walle, John (2004). Μαθηματικά δημοτικού και γυμνασίου: Αναπτυξιακή διδασκαλία (5e έκδοση). Pearson. ISBN 0-205-38689-X.
Γνωστική επιστήμη
Baroody and Tiilikainen (2003), pp. 75. ISBN 0-8058-3155-X.
Fosnot and Dolk (2001). Νέοι μαθηματικοί στην εργασία: Κατασκευάζοντας τον αριθμό αίσθηση, πρόσθεση και αφαίρεση. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X.
Weaver, J. Fred (1982). «Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction». Addition and subtraction: A cognitive perspective, pp. 60. ISBN 0-89859-171-6.
Wynn, Karen (1998). «Numerical competence in infants». The development of mathematical skills, pp. 3. ISBN 0-86377-816-X.
Mathematical exposition
Bogomolny, Alexander (1996). «Addition». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 6 February 2006. Ανακτήθηκε στις 3 February 2006.
Dunham, William (1994). The mathematical universe. Wiley. ISBN 0-471-53656-3.
Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics. Science Research Associates. ISBN 0-574-19115-1.
Linderholm, Carl (1971). Mathematics Made Difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1.
Poonen, Bjorn (2010). «Addition». Girls' Angle Bulletin, Volume 3, Numbers 3-5 (Girls' Angle). ISSN 2151-5743.
Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult. Teachers College Press. ISBN 0-8077-4242-2.
Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics (3e έκδοση). Wadsworth. ISBN 0-8185-0352-1.
Advanced mathematics
Bergman, George (2005). An invitation to general algebra and universal constructions (2.3e έκδοση). General Printing. ISBN 0-9655211-4-1.
Burrill, Claude (1967). Foundations of real numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95.
D. Dummit and R. Foote (1999). Abstract algebra (2e έκδοση). Wiley. ISBN 0-471-36857-1.
Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory. Academic Press. ISBN 0-12-238440-7.
Lee, John (2003). Introduction to smooth manifolds. Springer. ISBN 0-387-95448-1.
Martin, John (2003). Introduction to languages and the theory of computation (3e έκδοση). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232200-4.
Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis (3e έκδοση). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e έκδοση). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
Mathematical research
Akian, Bapat, and Gaubert (2005). «Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem». INRIA reports.
J. Baez and J. Dolan (2001). «From Finite Sets to Feynman Diagrams». Mathematics Unlimited— 2001 and Beyond, pp. 29. ISBN 3-540-66913-2.
Litvinov, Maslov, and Sobolevskii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing, Kluwer.
Loday, Jean-Louis (2002). «Arithmetree». J. Of Algebra 258: 275. doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0.
Mikhalkin, Grigory (2006). «Tropical Geometry and its applications». To appear at the Madrid ICM.
Viro, Oleg (2001). «Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper». Στο: Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan και άλλοι. European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Progress in Mathematics. 201. Basel: Birkhäuser, σελ. 135–146. ISBN 3-7643-6417-3.
Computing
M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design. Wiley. ISBN 0-471-41209-0.
P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics (2e έκδοση). Cambridge UP. ISBN 0-521-37095-7.
Jackson, Albert (1960). Analog computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3.
T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.
Marguin, Jean (1994) (στα fr). Histoire des instruments et machines à calculer, trois siècles de mécanique pensante 1642-1942. Hermann. ISBN 978-2-7056-6166-3.
Taton, René (1963) (στα fr). Le calcul mécanique. Que sais-je ? n° 367. Presses universitaires de France, σελ. 20–28.
Marguin, Jean (1994) (στα fr). Histoire des instruments et machines à calculer, trois siècles de mécanique pensante 1642-1942. Hermann. ISBN 978-2-7056-6166-3.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
