Πολυώνυμο

.

Στα μαθηματικά, τα πολυώνυμα είναι η απλούστερη τάξη μαθηματικών εκφράσεων (πέρα απ τους αριθμούς και τις εκφράσεις που αφορούν αριθμούς). Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση κατασκευασμένη από μεταβλητές (που λέγονται επίσης άγνωστοι) και σταθερές (συνήθως αριθμοί άλλα όχι πάντα), χρησιμοποιώντας μόνο τις πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, και μη αρνητικών ακεραίων δυνάμεων (οι οποίες είναι συντομογραφία πολλαπλών πολλαπλασιασμών της ίδιας τιμής). Ωστόσο, επιτρέπεται η διαίρεση με σταθερά , επειδή η πολλαπλασιαστική αντιστροφή μιας μη μηδενικής σταθεράς είναι επίσης σταθερά. Για παράδειγμα, x2 − x/4 + 7 είναι ένα πολυώνυμο, αλλά x2 − 4/x + 7x3/2 είναι μια αλγεβρική έκφραση που δεν είναι πολυώνυμο, επειδή ο δεύτερος όρος περιέχει μια διαίρεση με την μεταβλητή x (ο όρος 4/x), και επίσης επειδή ο τρίτος όρος περιέχει έναν εκθέτη που δεν είναι μη αρνητικός ακέραιος (3/2).

Ετυμολογία

Η λέξη πολυώνυμο προέρχεται από το Ελληνικό πολύ, και το Λατινικό binomium, «binomial».[1][2][3] Η λέξη εισήχθηκε στην λατινική γλώσσα από τον Franciscus Vieta.[4]
Πολυωνυμική συνάρτηση

Μία πολυωνυμική συνάρτηση είναι μία συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα πολυώνυμο. Μερικές φορές, ο όρος πολυώνυμο αφορά τα πολυώνυμα που είναι αναλυτικά γραμμένα ως το άθροισμα (ή την διαφορά) των όρων περιλαμβάνοντας μόνο πολλαπλασιασμούς και δυνάμεις με μη μηδενικούς ακέραιους εκθέτες. Σε αυτήν την περίπτωση, τα άλλα πολυώνυμα ονομάζονται πολυωνυμικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, \( (x-y)^2 \) είναι μία μαθηματική έκφραση που αντιπροσωπεύει το ίδιο πράγμα με το πολυώνυμο \(x^2-2xy+y^2 \). Ο όρος "πολυώνυμο", σαν ουσιαστικό, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ποσότητες που μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα κάποιον παραμέτρων, όπως στον πολυωνυμικό χρόνο, που χρησιμοποιείται στην περίπλοκη υπολογιστική θεωρία.

Τα πολυώνυμα εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της επιστήμης. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται στις πολυωνυμικές εξισώσεις, που περιέχουν λύσεις για μία μεγάλη γκάμα προβλημάτων, από τα αρχικά προβλήματα λέξεων στα σύνθετα προβλήματα των επιστημών; χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουν πολυωνυμικές συναρτήσεις, που υπάρχουν απ την βασική χημεία και φυσική ως τα οικονομικά και την κοινωνιολογία; χρησιμοποιούνται στον λογισμό και την αριθμητική ανάλυση για την προσέγγιση άλλων συναρτήσεων. Στα ανώτερα μαθηματικά, τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή πολυωνυμικών δακτυλίων, μία βασική διαδικασία στην άλγεβρα και την αλγεβρική γεωμετρία.

Μονώνυμο είναι το γινόμενο μιας σταθεράς με μια μεταβλητή υψωμένη σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη. Η σταθερά ονομάζεται σταθερό μέρος ή συντελεστής, ενώ η υψωμένη μεταβλητή μεταβλητό μέρος. Ως μονώνυμο, επίσης, ορίζεται και οποιαδήποτε σταθερά.

Πολυώνυμο είναι αλγεβρική παράσταση σταθερών και μιας μεταβλητής που συνδέονται μεταξύ τους μόνο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ενώ η μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται υψωμένη σε διάφορες φυσικές δυνάμεις. Ουσιαστικά το πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων της ίδιας μεταβλητής. Κάθε δύναμη εμφανίζεται μία φορά στο πολυώνυμο, δηλαδή στην τελική μορφή του αθροίσματος δεν εμφανίζονται δύο μονώνυμα με την ίδια δύναμη της μεταβλητής. Οι συντελεστές των μονωνύμων θεωρούνται και ως συντελεστές του πολυωνύμου.

Συνήθως το πολυώνυμο της μεταβλητής x συμβολίζεται με P(x). Οι συντελεστές συμβολίζονται με ένα γράμμα με δείκτη συνήθως τη δύναμη της μεταβλητής που συνοδεύει. Ο σταθερός όρος έχει συνήθως δείκτη μηδέν. Έτσι, η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι:

P(x)=α_νx^ν+α_ν-1x^ν-1+...+α_κx^κ+...+α₁x¹+α₀

Σταθερό πολυώνυμο θεωρείται μια οποιαδήποτε σταθερά, ενώ αν η σταθερά είναι μηδέν, τότε το πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται με 0, το οποίο είναι πάντα έντονα γραμμένο για να διακρίνεται από τον αριθμό μηδέν.

Βαθμός του πολυωνύμου ονομάζεται η μέγιστη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. Σε σταθερό πολυώνυμο ορίζεται ως βαθμός του πολυωνύμου το μηδέν, ενώ σε μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) συμβολίζεται με degP(x).

Ορισμένες εξαιρέσεις στους παραπάνω ορισμούς οφείλονται στο γεγονός ότι το 00 δεν ορίζεται, αλλά οι ιδιότητες των πολυωνύμων θέλουμε να ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, ακόμα και για το μηδέν. Προσέξτε ότι στη γενική μορφή του πολυωνύμου ο τελευταίος όρος δεν είναι α0x0, αλλά α0.

Επισκόπηση

Ένα πολυώνυμο είτε θα είναι μηδενικό είτε θα γράφεται σαν το άθροισμα πεπερασμένου αριθμού μη μηδενικών όρων. κάθε όρος αποτελείται από μια σταθερά (που ονομάζεται παράγοντας του όρου) και ένα πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών (οι οποίες αντιπροσωπεύονται από γράμματα), επίσης ονομάζονται άγνωστοι, υψωμένες σε όλες τις δυνάμεις αριθμών.[5] ο εκθέτης μιας μεταβλητής σε έναν όρο ονομάζεται βαθμός της μεταβλητής; ο βαθμός του όρου είναι το άθροισμα των βαθμών των μεταβλητών του όρου, και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος βαθμός απ όλους τους όρους. Ο βαθμός μιας μεταβλητής χωρίς εκθέτη είναι ένα. Ένας όρος χωρίς μεταβλητές ονομάζεται σταθερός όρος, η απλά σταθερά; ο βαθμός μιας (μη μηδενικής) σταθεράς είναι 0. Ο συντελεστής ενός όρου μπορεί να είναι κάθε αριθμός από ένα ορισμένο σύνολο. Αν αυτό είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, μιλάμε για «πολυώνυμα πάνω απ τους πραγματικούς». Άλλα παρόμοια είδη πολυωνύμων είναι πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές, και πολυώνυμα που οι συντελεστές τους είναι ακέραιοι modulo κάποιου πρώτου αριθμού p. Στα περισσότερα παραδείγματα που θα δούμε οι συντελεστές είναι ακέραιοι.

Για παράδειγμα:

\( -5x^2y\, \)

είναι ένας όρος. Ο συντελεστής είναι –5, οι μεταβλητές είναι οι x και y, ο βαθμός του x είναι 2, ενώ ο βαθμός του y είναι ένα.

Ο βαθμός του όρου είναι το άθροισμα των βαθμών των δύο μεταβλητών, έτσι έχουμε 2 + 1 = 3.

Το άθροισμα πολλών όρων μαζί μας δίνει ένα πολυώνυμο. Για παράδειγμα, το παρακάτω είναι ένα πολυώνυμο:

\( \underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. \)

Αποτελείται από τρεις όρους: ο πρώτος είναι βαθμού 2, ο δεύτερος έχει βαθμό 1, και ο τρίτος είναι μηδενικού βαθμού.

Η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βάλουμε τους όρους στην κατάλληλη σειρά. Σε πολυώνυμα μιας μεταβλητής, οι όροι συνήθως τοποθετούνται ανάλογα με τον βαθμό, είτε «μειώνοντας τις δυνάμεις του x», με τον όρο με τη μεγαλύτερη δύναμη πρώτο, είτε «αυξάνοντας τις δυνάμεις του x». Το πολυώνυμο στο προηγούμενο παράδειγμα είναι γραμμένο μειώνοντας τις δυνάμεις του x. Ο πρώτος όρος έχει συντελεστή 3, μεταβλητή x, και εκθέτη 2. Στον δεύτερο όρο, ο συντελεστής είναι –5. Ο τρίτος όρος είναι σταθερά. Αφού π βαθμός ενός μη μηδενικού πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος απ του βαθμούς των όρων, αυτό το πολυώνυμο έχει βαθμό 2.

Δύο όροι με την ίδια μεταβλητή υψωμένοι στην ίδια δύναμη ονομάζονται "όμοιοι όροι", και μπορούν να συνδυαστούν, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα, σε έναν όρο του οποίου οι συντελεστές είναι το άθροισμα των συντελεστών των όρων που συνδυάστηκαν. Αυτό μπορεί να κάνει τον συντελεστή 0. Τα πολυώνυμα μπορούν να προστεθούν χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (βάζοντας όλους τους όρους τους μαζί σε ένα κοινό άθροισμα), ανακατατάσσοντας τους όρους, και συνδυάζοντας τους όμοιους. Για παράδειγμα,αν

\( P=3x^2-2x+5xy-2 \,
Q=-3x^2+3x+4y^2+8 \, , \)

τότε

\( P+Q=3x^2-2x+5xy-2-3x^2+3x+4y^2+8 \,, \)

που μπορεί να απλοποιηθεί στο

\( P+Q=x+5xy+4y^2+6 \,. \)

Για να καταλάβουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης πολυωνύμων σε ένα άθροισμα, εφαρμόζουμε επανειλημμένα την επιμεριστική ιδιότητα, τα αποτελέσματα της οποίας σε κάθε όρο ενός πολυωνύμου πολλαπλασιάζονται με κάθε όρο του άλλου. Για παράδειγμα, αν

\( {\color{BrickRed}P {{=}} 2x + 3y + 5}
{\color{RoyalBlue}Q {{=}} 2x + 5y + xy + 1}, \)

τότε

\( \begin{array}{rccrcrcrcr} {\color{BrickRed}P}{\color{RoyalBlue}Q}&{{=}}&&({\color{BrickRed}2x}\cdot{\color{RoyalBlue}2x}) &+&({\color{BrickRed}2x}\cdot{\color{RoyalBlue}5y})&+&({\color{BrickRed}2x}\cdot {\color{RoyalBlue}xy})&+&({\color{BrickRed}2x}\cdot{\color{RoyalBlue}1}) \\&&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}2x})&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}5y})&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot {\color{RoyalBlue}xy})&+& ({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}1}) \\&&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}2x})&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}5y})&+& ({\color{BrickRed}5}\cdot {\color{RoyalBlue}xy})&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}1}) \end{array} \)

που μπορεί να απλοποιηθεί στο

\( PQ=4x^2+21xy+2x^2y+12x+15y^2+3xy^2+28y+5 \,. \)

Το άθροισμα ή το γινόμενο δύο πολυωνύμων είναι πολυώνυμο.

Εναλλακτικές μορφές

Γενικά κάθε έκφραση μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο αν αποτελείται από μεταβλητές και σταθερές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, και δυνάμεις αριθμών. Έτσι ώστε να μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα όρων. Για παράδειγμα, (x + 1)³ είναι ένα πολυώνυμο; με κανονική μορφή is x³ + 3x² + 3x + 1. Ωστόσο, σε κάποιες περιπτώσεις, χρειάζεται μία πιο ακριβείς ορολογία για να μην υπάρχουν παρανοήσεις. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορούμε να πούμε: (x + 1)³ είναι μια πολυωνυμική έκφραση που μπορεί να επεκταθεί ή να ξαναγραφεί στο πολυώνυμο x³ + 3x² + 3x + 1. Παρ όλες τις διαφορές σαν εκφράσεις, είναι ίσες στον δακτύλιο των πολυωνύμων με άγνωστοx και ακέραιους συντελεστές.

Όσο για τους ακεραίους, υπάρχουν δύο είδη διαιρέσεων για τα πολυώνυμα. Η Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων η οποία είναι γενίκευση της Ευκλείδειας διαίρεσης ακεραίων. Από αυτήν προκύπτουν δύο πολυώνυμα, ένα πηλίκο και ένα υπόλοιπο που έχουν την παρακάτω χαρακτηριστική ιδιότητα των πολυωνύμων: δοθέντων δύο πολυωνύμων a και b έτσι ώστε b ≠ 0, υπάρχει μοναδικό ζευγάρι πολυωνύμων, q, το πηλίκο, και r, το υπόλοιπο, έτσι ώστε a = b q + r και ο βαθμός του (r) < του βαθμού(b) (το μηδενικό πολυώνυμο θεωρείται ότι έχει αρνητικό βαθμό). Είτε με το χέρι είτε με υπολογιστή,αυτή η διαίρεση μπορεί να γίνει σύμφωνα με τον αλγόριθμο της πολυωνυμικής διαίρεσης.^[6]

Μία μορφή πηλίκου πολυωνύμων, στην, ένα αλγεβρικό κλάσμα όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, ονομάζεται «ρητή έκφραση» η «ρητό κλάσμα» και δεν είναι, γενικά, πολυώνυμο. Η διαίρεση πολυωνύμου με αριθμό, ωστόσο, δίνει ένα άλλο πολυώνυμο. Για παράδειγμα, x³/12 είναι ένας κανονικό όρος πολυωνύμου (και ένα πολυώνυμο μόνο του) επειδή είναι ισοδύναμο με το (1/12)x³ και 1/12 είναι απλά μια σταθερά. Όταν αυτή η έκφραση χρησιμοποιείται σαν όρος, ο συντελεστής της είναι 1/12. Για παρόμοιους λόγους, Αν υπάρχουν μιγαδικοί συντελεστές, μπορεί να υπάρχει όρος (2 + 3i) x³; παρ όλο που φαίνεται ότι μπορεί να χωριστεί σε δύο όρους, ο μιγαδικός αριθμός 2 + 3i είναι ένα μιγαδικός αριθμός, και είναι ο συντελεστής αυτούς του όρου. Η έκφραση 1/(x² + 1) δεν είναι πολυώνυμο επειδή περιέχει διαίρεση με ένα μη πολυώνυμο. Η έκφραση (5 + y)^x δεν είναι πολυώνυμο, επειδή χρησιμοποιεί μία μεταβλητή σαν εκθέτη.

Από τότε που η αφαίρεση μπορεί να αντικατασταθεί με την πρόσθεση της αντίθετης ποσότητας, και οι εκθέτες μπορούν να αντικατασταθούν από επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς, όλα τα πολυώνυμα μπορούν να κατασκευαστούν με σταθερές και μεταβλητές χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση και πολλαπλασιασμό.

Πράξεις με πολυώνυμα

Μία πολυωνυμική πράξη είναι μία πράξη η οποία μπορεί να προσδιοριστεί αξιολογώντας ένα πολυώνυμο. Μία συνάρτηση ƒ μιας μεταβλητής καλείται πολυωνυμική πράξη εάν ικανοποιεί

\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, \)

για όλες τις παραμέτρους x, όπου n ένας μη αρνητικός ακέραιος και a0, a1,a2, ..., an είναι σταθεροί συντελεστές.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση ƒ, η οποία αντιστοιχεί πραγματικούς σε πραγματικούς, ορίζεται από

\( f(x) = x^3 - x\, \)

είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση μιας μεταβλητής. Πολυωνυμικές πράξεις περισσότερων μεταβλητών μπορούν επίσης να προσδιοριστούν, χρησιμοποιώντας πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών, όπως

\( f(x,y)= 2x^3+4x^2y+xy^5+y^2-7.\, \)

Ένα παράδειγμα είναι επίσης \( f(x)=\cos(2\arccos(x)) \) η οποία, παρ όλο που δεν μοιάζει με πολυώνυμο, είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση αφού για κάθε x ισχύει\( f(x)=2x^2-1 \)(δες πολυώνυμα Chebyshev).

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι μία κατηγορία συναρτήσεων που έχουν πολλές σημαντικές ιδιότητες. Είναι όλες συνεχείς, ομαλές, πλήρεις, υπολογίσιμες,κτλ.
Πολυωνυμικές εξισώσεις

Κύριο λήμμα: Αλγεβρική εξίσωση

Μία πολυωνυμική εξίσωση, καλείται επίσης αλγεβρική εξίσωση, είναι μία εξίσωση στην οποία ένα πολυώνυμο τίθεται ίσο με ένα άλλο πολυώνυμο.

\( 3x^2 + 4x -5 = 0 \, \)

είναι μία πολυωνυμική εξίσωση. Στην περίπτωση μιας μεταβλητής πολυωνυμικής εξίσωσης, η μεταβλητή θεωρείται ως |άγνωστη, και προσπαθούμε να βρούμε τις πιθανές τιμές για τις οποίες και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης είναι ίσα για την ίδια τιμή (γενικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις). Μία πολυωνυμική εξίσωση έρχεται σε αντίθεση με μία πολυωνυμική ταυτότητα όπως (x + y)(x – y) = x² – y², όπου και τα δύο μέλη αντιπροσωπεύουν το ίδιο πολυώνυμο σε διαφορετικές μορφές, και σαν συνέπεια κάθε εκτίμηση και των δύο μελών δίνει σωστή ισότητα. Αυτό σημαίνει ότι μια πολυωνυμική ταυτότητα είναι μία πολυωνυμική εξίσωση για την οποία όλες οι πιθανές τιμές των αγνώστων είναι λύσεις.

Στοιχειώδεις ιδιότητες πολυωνύμων

• Ένα άθροισμα πολυωνύμων είναι πολυώνυμο.
• Ένα γινόμενο πολυωνύμων είναι πολυώνυμο.
• Μία σύνθεση δύο πολυωνύμων είναι πολυώνυμο, το οποίο παράγεται ανταλλάσσοντας τις μεταβλητές του πρώτου και του δεύτερου πολυωνύμου.
• Η παράγωγος ενός πολυωνύμου a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ είναι το πολυώνυμο na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + ... + 2a₂x + a₁. Αν οι τοποθέτηση των συντελεστών δεν περιέχει τους ακεραίους (για παράδειγμα αν οι συντελεστές είναι ακέραιοι modulo κάποιου πρώτου αριθμού p), τότε ka_k πρέπει να ερμηνευθεί ως το άθροισμα του a_k με τον εαυτό του, k φορές. Για παράδειγμα, πάνω απ τους ακεραίους modulo p, η παράγωγος ενός πολυωνύμου x^p+1 είναι το πολυώνυμο 0.
• Αν ο διαχωρισμός απ τους ακεραίους επιτρέπεται στην τοποθέτηση των μεταβλητών, ένα πρώτο η μη παραγωγίσιμο του πολυωνύμου a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ is a_nxⁿ⁺¹/(n+1) + a_n-1xⁿ/n + ... + a₂x³/3 + a₁x²/2 + a₀x +c, όπου c αυθαίρετη σταθερά. Άρα x²+1 είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές των οποίων οι παράγουσες δεν είναι πολυώνυμα πάνω απ τους ακεραίους. Αν αυτό το πολυώνυμο θεωρείται ως πολυώνυμο πάνω απ τους ακέραιους modulo 3 δεν έχει καθόλου παράγουσα.

Τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση συναρτήσεων, όπως το ημίτονο, συνημίτονο και η εκθετική.

Όλα τα πολυώνυμα έχουν μία εκτεταμένη μορφή, στην οποία η επιμεριστική και προσεταιριστική ιδιότητα χρησιμοποιούνται για να διώξουμε όλα τα κενά και η αντιμεταθετική ιδιότητα χρησιμοποιείται για να φτιάξει τις κατάλληλες συνθήκες για τα επόμενα και να τα συνδυάσει. όλα τα πολυώνυμα με συντελεστές σε μία μοναδική παραγοντοποιήσιμη κατηγορία (για παράδειγμα, οι ακέραιοι η ένα μαθηματικό πεδίο) επίσης έχουν παραγοντοποιημένη μορφή στην οποία το πολυώνυμο είναι γραμμένο ως το παράγωγο ενός αμείωτου πολυώνυμου και μιας σταθεράς. Στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών, τα αμείωτα πολυώνυμα είναι γραμμικά. Για παράδειγμα, η παραγοντοποιημένη μορφή του

\( 5x^3-5 \)

είναι

\( 5(x - 1)(x^2+x + 1), \)

πάνω απ τους ακεραίους και

\( 5(x - 1)\left(x+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x+\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)\)

πάνω απ τους μιγαδικούς.

Η παραγοντοποιημένη μορφή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου μιας μεταβλητής προσδιορίζεται μοναδικά και έχει την μορφή

\( a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, \)

όπου \( a_n\ne 0 \). Αυτη η μορφή μερικές φορές θεωρείται ο ορισμός του πολυωνύμου μιας μεταβλητής.

Η εκτίμηση ενός πολυωνύμου προϋποθέτει την εκχώρηση της αποτόμισης σε κάθε μεταβλητή και την διεξαγωγή πολλαπλασιασμών και προσθέσεων. Για πολυώνυμα μιας μεταβλητής, η εκτίμηση είναι πιο αποτελεσματική χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner:

\( (((\dotsb((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \dotsb + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0. \)

Η εκτίμηση πολυωνύμων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του υπολοίπου της πολυωνυμικής διαίρεσης μέσω πολυωνύμων βαθμού ένα, αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x) by (x-a) είναι f(a); δείτε Θεώρημα για πολυωνυμικά υπόλοιπα. Αυτό είναι πιο αποτελεσματικό απ τον συνηθισμένο αλγόριθμο της διαίρεσης όταν το πηλίκο δεν χρειάζεται.

Στην απλή άλγεβρα, δίνονται μέθοδοι για την λύση όλων των πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνυμικών εξισώσεων μιας μεταβλητής. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια. Για μεγαλύτερης τάξης,το θεώρημα Abel-Ruffiniβεβαιώνει ο΄τι δεν μπορεί να υπάρξει μία γενική μέθοδος. Ωστόσο, μόνο η αριθμητική προσέγγιση των ριζών μπορεί να υπολογιστεί (δες αλγόριθμος εύρεσης ριζών). Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να μην υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου, και είναι ίσος με τον βαθμό όταν οι μιγαδικές ρίζες υπολογίζονται με την δική τους πολλαπλότητα. Αυτό το γεγονός ονομάζεται Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας.

Ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο εξισώσεων στις οποίες κάθε μεταβλητή παίρνει την ίδια την ίδια τιμή κάθε φορά που εμφανίζεται σε οποιαδήποτε απ τις εξισώσεις. Γραμμική άλγεβρα είναι, βασικά, η μελέτη της μεθόδου λύσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους.Αν υπάρχουν περισσότεροι άγνωστοι απ τις εξισώσεις, το σύστημα καλείται αδύνατο. Αν υπάρχουν περισσότερες εξισώσεις από τους αγνώστους, το σύστημα καλείται αόριστο. Τα αόριστα συστήματα είναι κοινά σε πρακτικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, για μια χαρτογράφηση των Η.Π.Α. χρησιμοποιούνται υπολογιστές για την λύση 2,5 εκατομμυρίων εξισώσεων με 400.000 αγνώστους.[7]

Η μέθοδος Viète σχετίζει τους συντελεστές ενός πολυωνύμου με συμμετρικά πολυώνυμα συνάρτηση των ριζών του.

Πρόσθεση

Ο κάθε συντελεστής του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων της μεταβλητής. Αν η αντίστοιχη δύναμη σε ένα πολυώνυμο δεν υπάρχει ο συντελεστής μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν. Παράδειγμα:

Αν ένας συντελεστής του αποτελέσματος είναι μηδέν τότε η αντίστοιχη δύναμη δεν αναγράφεται στο άθροισμα. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου με το μεγαλύτερο βαθμό. Αν οι βαθμοί είναι ίσοι τότε ο βαθμός του αποτελέσματος μπορεί να είναι ίσος ή μικρότερος ή να μην ορίζεται. Η αφαίρεση μπορεί να γίνει με την πρόσθεση του πολυωνύμου με αντίθετους συντελεστές.

Πολλαπλασιασμός

Οι πράξεις για την εύρεση του αποτελέσματος εκτελούνται σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, ενώ οι νέες δυνάμεις βρίσκονται με βάση τον ορισμό της δύναμης. Ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι σίγουρα ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων. Αν ένας βαθμός από τους δύο δεν ορίζεται, τότε δεν ορίζεται ούτε ο βαθμός του αποτελέσματος, γιατί είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Διαίρεση

Στη διαίρεση των πολυωνύμων Q(x) διά P(x) το πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο άλλων πολυωνύμων q(x) και υ(x), ώστε Q(x)=P(x)q(x)+υ(x), με degυ(x)<degP(x). Αποδεικνύεται ότι τα δύο αυτά πολυώνυμα είναι μοναδικά σε κάθε διαίρεση. Το πολυώνυμο q(x) ονομάζεται πηλίκο, ενώ το πολυώνυμο υ(x) ονομάζεται υπόλοιπο. Αν υ(x)=0, τότε το πολυώνυμο P(x) ονομάζεται παράγοντας του Q(x) και η διαίρεση τέλεια. Ισχύει ότι degq(x)=degQ(x)-degP(x), αν ορίζονται βαθμοί στα δύο αρχικά πολυώνυμα.

Ταύτιση δύο πολυωνύμων

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους αν και μόνο αν είναι του ίδιου βαθμού και κάθε συντελεστής του ενός πολυωνύμου που αντιστοιχεί στη δύναμη α ισούται με το συντελεστή του άλλου πολυωνύμου που αντιστοιχεί επίσης στη δύναμη α. Συμβολικά ισχύει:

\(P(x)=\Pi(x) \Leftrightarrow \begin{cases} degP(x)=deg\Pi(x) \\ \alpha_\nu=\beta_\nu, \alpha_{\nu-1}=\beta_{\nu-1}, \ldots, \alpha_\kappa=\beta_\kappa, \ldots, \alpha_1=\beta_1, \alpha_0=\beta_0\end{cases} \)

Πολυωνυμική συνάρτηση

Μια συνάρτηση p:R \rightarrow R ονομάζεται πολυώνυμο ή πολυωνυμική συνάρτηση, αν υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία \( (a_0, a_1, ..., a_\nu) \in \mathbb{R}^{\nu + 1} \) τέτοια ώστε να ισχύει:

\( p(x) = a_0 + \sum_{k = 1}^{\nu}a_kx^k, x \in \mathbb{R} \)

Η ταυτότητα \( p(x) = a_0 + \sum_{k = 1}^{\nu}a_kx^k \) ονομάζεται αναπαράσταση του πολυωνύμου p και τα \( a_0, a_1, ..., a_\nu \) συντελεστές του πολυωνύμου. Η αναπαράσταση ενός πολυωνύμου είναι μοναδική.
Ανάπτυγμα σειράς Taylor

Έστω μία πραγματική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς η οποία είναι παραγωγίσιμη και κάθε παράγωγός της είναι παραγωγίσιμη. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ισχύει:[8]

\(\begin{align} f(x)&=f(x_0)+\frac{f^{1}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{2}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2}+...+\frac{f^{\kappa}(x_0)}{\kappa!}(x-x_0)^{\kappa}+... \\ &=\sum_{\nu=0}^\infty\frac{f^{\nu}(x_0)}{\nu!}(x-x_0)^{\nu} \end{align} \)

Όπου fν(x0) η νιοστή παράγωγος της f στο x0.

Δηλαδή κάθε τέτοια συνάρτηση είναι πολυώνυμο άπειρων όρων. Επειδή ορίζονται δυνάμεις με μιγαδικές βάσεις το ανάπτυγμα της σειράς Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση των συναρτήσεων στους μιγαδικούς αριθμούς. Με βάση τη σειρά Taylor μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της συνάρτησης, ειδικά αν η τελευταία είναι περίπλοκη. Συνήθως στους υπολογιστές ή τη μηχανική και τη φυσική, ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, αποφασίζουμε τους μ πρώτους όρους της σειράς, ώστε να μπορούμε να υπολογίζουμε με πιο εύχρηστο τύπο προσεγγίσεις μιας συνάρτησης. Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους δύο πρώτους όρους, τότε η διαδικασία ονομάζεται γραμμικοποίηση.

Η ακρίβεια της προσέγγισης της σειράς εξαρτάται από την επιλογή του σημείου x0 και των μ πρώτων όρων που θα επιλέξουμε. Όσο πιο κοντά στο x0 και με όσους περισσότερους όρους υπολογίζουμε την προσέγγιση, τόσο καλύτερη είναι.

Προφανώς, η ανάπτυξη της σειράς Taylor, αν η f είναι πολυωνυμική, είναι η ίδια η f.
Ιστορία

Η εκτίμηση των ριζών των πολυωνύμων, ή η «λύση αλγεβρικών εξισώσεων», είναι ανάμεσα στα παλαιότερα προβλήματα των μαθηματικών.Ωστόσο,η σημειογραφία που χρησιμοποιούμε σήμερα καθιερώθηκε μόλις τον 15ο αιώνα. Πριν από αυτό, οι εξισώσεις γράφονταν με λέξεις. Για παράδειγμα, ένα αλγεβρικό πρόβλημα απ τους Κινέζους Η αριθμητική σε εννιά στάδια, περίπου στα 200 π.Χ, ξεκινάει «Τρία μέρη μιας καλής σοδειάς, δύο μέρη μιας μέτριας σοδειάς, και ένα μέρος μιας κακής σοδειάς πωλούνται για 29 dou.» Θα έπρεπε να γράψουμε 3x + 2y + z = 29.

Σημειογραφία

Η πιο πρόσφατη γνωστή χρήση του συμβόλου της εξίσωσης γίνεται στο βιβλίο του Robert Recorde The Whetstone of Witte,το 1557. Το σύμβολο + για την πρόσθεση, − για την αφαίρεση, και η χρήση ενός γράμματος για έναν άγνωστο εμφανίζεται στο βιβλίο του Michael Stifel Arithemetica integra, το 1544.Ο René Descartes, στο La géometrie,το 1637, εισήγαγε το μοντέλο του γραφήματος μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Καθιέρωσε τα γράμματα απ την αρχή του αλφαβήτου για να τις σταθερές και τα γράμματα απ το τέλος του αλφαβήτου για τις μεταβλητές, όπως φαίνεται απ τα παραπάνω, στην γενική μορφή για ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής, τα a δηλώνουν σταθερές και τα x δηλώνουν μεταβλητές.Ο Descartes εισήγαγε την χρήση των εκθετών.[9]

Λύση πολυωνυμικών εξισώσεων

Κάθε πολυώνυμο P με μεταβλητή x αντιπροσωπεύει μία συνάρτηση, ƒ(x) = P (όπου οι λύσεις του x στο P αντιστοιχούν σε τιμές της ƒ), ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση του P; η εξίσωση του x που γίνεται f(x) = 0 είναι η πολυωνυμική εξίσωση που αντιστοιχεί στο P. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, που ονομάζονται ρίζες του πολυωνύμου, είναι τα σημεία που μηδενίζεται η συνάρτηση ƒ (είναι τα σημεία όπου το γράφημα της ƒ τέμνει τον άξονα x). Ένας αριθμός a είναι μία λύση του P αν και μόνο αν το x − a (of degree one in x) διαιρεί το P. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι το x − a διαιρεί το P περισσότερες από μία φορά: Εάν το (x − a)² διαιρεί το P τότε a καλείται πολλαπλή ρίζα του P, διαφορετικά a καλείται απλή ρίζα του P. Εάν P είναι ένα μη μηδενικό πολυώνυμο, υπάρχει η μεγαλύτερη δύναμη m όπως (x − a)^m που διαιρεί το P, η οποία καλείται πολλαπλότητα της ρίζας a στο P. Όταν P είναι το μηδενικό πολυώνυμο, η αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση είναι ασήμαντη, και σε αυτήν την περίπτωση είναι σύνηθες να παραλείπεται όταν όταν με τους παραπάνω ορισμούς κάθε αριθμός μπορεί να είναι ρίζα ενός μηδενικού πολυωνύμου, με απροσδιόριστη (ή άπειρη) πολλαπλότητα. Με αυτήν την εξαίρεση, ο αριθμός των ριζών του P, ακόμη και να μετρηθεί με τις αντίστοιχες πολλαπλότητες, δεν μπορεί να υπερβαίνει τον βαθμό του P.

Μερικά πολυώνυμα, όπως το x² + 1, δεν έχουν καθόλου ρίζες στους πραγματικούς αριθμούς. Εάν, ωστόσο, επεκτείνουμε το πεδίο των ριζών στους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε μη σταθερό έχει τουλάχιστον μία ρίζα αυτό είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Αν χωρίσουμε διαδοχικά τους παράγοντες του x − a, κάποιος βλέπει ότι κάθε πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί σαν σταθερό. Ο αριθμός των μιγαδικών ριζών με τις πολλαπλότητες τους είναι ακριβώς ίσως με τον βαθμό του πολυωνύμου.

Υπάρχει μία διαφορά ανάμεσα στην εκτίμηση και τον υπολογισμό των ριζών. Μέθοδοι για τον υπολογισμό ριζών πολυωνύμου βαθμού 2, με συνθήκες τετραγώνου είναι γνωστές απ την αρχαιότητα (quadratic equation),και για πολυώνυμα βαθμού 3 η 4 παρόμοιες μέθοδοι (που χρησιμοποιούν κυβικές ρίζες όμως) έχουν βρεθεί τον 16ο αιώνα (δες cubic function και quartic function για τις μεθόδους και Niccolo Fontana Tartaglia, Lodovico Ferrari, Gerolamo Cardano, και Vieta για ιστορικές λεπτομέρειες). Αλλά μέθοδοι για 5ου βαθμού πολυώνυμα δεν έχουν βρεθεί ακόμη. Το 1824,ο Niels Henrik Abel απέδειξε το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα ότι δεν μπορεί να υπάρξει γενικά μέθοδος, που να περιλαμβάνει μόνο αριθμητικές πράξεις, που να υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού 5 η μεγαλύτερου (δες Abel-Ruffini theorem). Το 1830,ο Εβαρίστ Γκαλουά, μελέτησε την μεταλλαγή των ριζών ενός πολυωνύμου, επεκτείνοντας το θεώρημα Abel-Ruffini, δοθείσας μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, κάποιος μπορεί να αποφασίσει αν είναι επιλύσιμο με πρωτογενή αναλυση, και αν είναι, να το λύσει. Αυτό το αποτέλεσμα σημάδεψε την Θεωρία Galois και Θεωρία ομάδων, δύο σημαντικούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών. Ο Galois ο ίδιος παρατήρησε ότι οι υπολογισμοί με την μέθοδο του είναι ανέφικτοι. Παρόλα αυτά, μέθοδοι για επιλύσιμες εξισώσεις βαθμού 5 και 6 έχουν δημοσιευθεί.

Αριθμητικές εκτιμήσεις των ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με έναν άγνωστο είναι εύκολο να γίνουν σε έναν υπολογιστή με την μέθοδο Jenkins-Traub, μέθοδο Laguerre's, μέθοδο Durand–Kerner η με κάποιους άλλους αλγορίθμους εύρεσης ριζών.

Για πολυώνυμα περισσότερων μεταβλητών η εντύπωση μιας ρίζας δεν υπάρχει, και υπάρχουν συνήθως άπειροι συνδυασμοί για τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες η πολυωνυμική συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν. Ωστόσο οι βέβαιοι συνδυασμοί για τέτοια πολυώνυμα μας δείχνουν ότι μόνο για πεπερασμένους συνδυασμούς όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις παίρνουν την τιμή μηδέν.

Για ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους , υπάρχουν αλγόριθμοι που μας δείχνουν αν έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό μιγαδικών ριζών. Αν ο αριθμός των ριζών είναι πεπερασμένος, υπάρχουν αλγόριθμοι για να υπολογίσουν τις ρίζες. Οι μέθοδοι που υπάρχουν σ αυτούς τους αλγόριθμους περιγράφονται στο άρθρο systems of polynomial equations. Η ειδική περίπτωση που όλα τα πολυώνυμα είναι βαθμού ένα καλείται σύστημα γραμμικών εξισώσεων, για το οποίο ένα άλλο σύνολο από μεθόδους λύσεις υπάρχει, περιλαμβανομένου και του κλασσικού της Γκαουσιανής απόρριψης.

Έχει δειχτεί από τον Richard Birkeland και τον Karl Meyr ότι οι ρίζες κάθε πολυωνύμου μπορούν να εκφραστούν σε συνθήκες πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων υπερβολικής γεωμετρίας. Ο Ferdinand von Lindemann και ο Hiroshi Umemura έδειξαν ότι οι λύσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν σε συνθήκες Siegel modular functions, γενικεύσεις του θεωρήματος theta που εμφανίζονται στην θεωρία ελλειπτικών συναρτήσεων. Αυτοί οι χαρακτηρισμοί των ριζών των τυχαίων πολυωνύμων είναι γενικεύσεις των μεθόδων που είχαν ανακαλυφθεί για την λύση της εξίσωσης quintic.

Γραφήματα

Μια πολυωνυμική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα γράφημα.

• Το γράφημα του μηδενικού πολυωνύμου

f(x) = 0

είναι ο άξονας των x.

• Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 0

f(x) = a₀, όπου a₀ ≠ 0,

είναι μία οριζόντια γραμμή με τομή στον άξονα των y στο a₀

• Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 1 (η γραμμικής συνάρτησης)

f(x) = a₀ + a₁x ,όπου a₁ ≠ 0,

είναι μία πλάγια γραμμή με τομή στον άξονα των y στοa₀ και κλίση a₁.

• Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 2

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², όπου a₂ ≠ 0

είναι παραβολή.

• Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 3

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x², + a₃x³, όπου a₃ ≠ 0

είναι μία κυβική καμπύλη.

• Το γράφημα πολυωνύμου βαθμού 2 η μεγαλύτερου

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ , όπου a_n ≠ 0 and n ≥ 2

είναι μία συνεχής μη γραμμική καμπύλη.

Το γράφημα ενός μη σταθερού πολυωνύμου (μιας μεταβλητής) πάντα τείνει στο άπειρο όταν η μεταβλητή αυξάνει (κατά απόλυτη τιμή).

Τα γραφήματα των πολυωνύμων αναλύονται στον λογισμό με την χρήση τομών, κλίσεων, concavity,και συμπεριφοράς.

Οι εικόνες παρακάτω δείχνουν γραφήματα πολυωνύμων.

Πολυώνυμα και λογισμός

Ένα σημαντικό θέμα του λογισμού είναι η ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων και η προσέγγιση τους με πολυωνυμικές συναρτήσεις . Η κορύφωση αυτών των προσπαθειών είναι το Θεώρημα Taylor, το οποίο γενικά κάνει κάθε σύνθετη συνάρτηση τοπικά να μοιάζει με πολυωνυμική, και το θεώρημα Stone-Weierstrass, το οποίο λέει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση οριοθετεί μια compact interval του άξονα των πραγματικών μπορεί να προσεγγιστεί όσο κοντά θέλουμε από μία πολυωνυμική συνάρτηση. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις συνήθως χρησιμοποιούνται σε παρεμβολές συναρτήσεων.

Ο υπολογισμός παραγώγων και ολοκληρωμάτων πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι εξαιρετικά απλή. Για την πολυωνυμική συνάρτηση

\( \sum_{i=0}^n a_i x^i \)

η παράγωγος με μεταβλητή το x είναι

\(\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}\)

και το άπειρο ολοκλήρωμα

\(\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c.\)

Θεωρητική άλγεβρα

Κύριο λήμμα: Πολυωνυμικός δακτύλιος

Στη θεωρητική άλγεβρα, υπάρχει διαφορά μεταξύ πολυωνύμων και πολωνυμικών συναρτήσεων. Ένα πολυώνυμο f μιας μεταβλητής X πάνω από ένα δακτύλιο του R ορίζεται με την μορφή

\( f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X^1 + a_0X^0 \)

όπου n ένας φυσικός αριθμός, οι συντελεστές \( a_0,\ldots,a_n \)είναι στοιχεία του R, και το X είναι επίσημο σύμβολο, του οποίου οι δυνάμεις Xi είναι απλά για αντικατάσταση των συντελεστών ai, έτσι η δοθείσα μορφή είναι ένας τρόπος κωδικοποίησης της ακολουθίας (a_0, a_1, \ldots), με n και ai = 0 για κάθε i > n. Δύο πολυώνυμα με την ίδια τιμή του n θεωρούνται ίσα αν και μόνο αν η ακολουθίες των παραγόντων τους είναι ίσες επιπλέον κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με κάθε πολυώνυμο με μεγαλύτερη τιμή για το n αν του τοποθετήσουμε την μεταβλητή μπροστά από κάθε παράγοντα που είναι ίσως με τον μηδέν. Αυτά τα πολυώνυμα δημιουργούνται προσθέτοντας απλός αντιπροσώπους στους παράγοντες (ο κανόνας της επέκτασης με μηδενικούς συντελεστές μπορεί να χρησιμοποιηθεί ότι τέτοιοι παράγοντες υπάρχουν). Έτσι κάθε πολυώνυμο είναι ίσο με το άθροισμα των όρων που χρησιμοποιούνται στην κανονική του μορφή, αν ένας όρος aiXi ερμηνεύεται σαν πολυώνυμο με μηδενικούς παράγοντες σε όλες τις δυνάμεις του X εκτός από Xi. Έπειτα για να προσδιορίσουμε την πολλαπλότητα, αρκεί ο distributive law για να περιγράψει το παράγωγο 2 όρων, το οποίο δίνεται απ τον τύπο

\(a X^k \; b X^l = ab X^{k+l} \)
για όλα τα στοιχεία a, b του δακτυλίου R και όλους τους φυσικούς αριθμούς k και l.

Έτσι το σύνολο όλων των πολυωνύμων με συντελεστές απ τον δακτύλιο του R αποτελεί ξεχωριστό δακτύλιο, τον πολυωνυμικό δακτύλιο πάνω από το R, που συμβολίζεται με R[X]. Η αντιστοιχία από το R στο R[X] που στέλνει το r στο rX⁰ είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων, με το R να θεωρείται υποδακτύλιος του R[X]. Αν το R είναι αντιμεταθετικό, τότε το R[X] είναι μία άλγεβρα πάνω από το R.

Κάτι που μπορούμε να παρατηρήσουμε για τον δακτύλιο του R[X] είναι ότι προκύπτει από το R προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο X στο R, και επεκτείνοντας το κατά ελάχιστο τρόπο σε δακτύλιο στο οποίο το X δεν ικανοποιεί άλλες σχέσεις παρά μόνο τις υποχρεωτικές, συν την αντιμεταθετικότητα με όλα τα στοιχεία του R (δηλαδή Xr = rX). Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσουμε όλες τις δυνάμεις του X και τους γραμμικούς τους συνδυασμούς επίσης .

Η διάταξη τον πολυωνυμικών δακτυλίων, μαζί με ιδεώδη, είναι σημαντικά εργαλεία για την κατασκευή νέων δακτυλίων μέσα από τους γνωστούς. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος των μιγαδικών αριθμών, ο οποίος μπορεί να κατασκευαστεί από τον πολυωνυμικό R[X] πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς με την προσθήκη του ιδεώδους των πολλαπλοτήτων του πολυωνύμου X² + 1. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η κατασκευή πεπερασμένων πεδίων, που γίνεται παρόμοια, αρχίζοντας απ το πεδίο των ακεραίων modulo κάτι πρώτος αριθμός ως συντελεστής του δακτυλίου R (δες modular arithmetic).

Αν R είναι αντιμεταθετικό, τότε η μοναδιαία συνάρτηση μπορεί να συσχετιστεί με κάθε πολυώνυμο P στον R[X], μία πολυωνυμική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών ίσο με το R (πιο γενικά η μοναδιαία συνάρτηση έχει ίδιο πεδίο ορισμού και τιμών unital associative algebra πάνω από το R). Η μοναδιαία συνάρτηση διατηρεί την τιμή f(r) υποκαθιστώντας την τιμή r με το σύμβολο X στο P. Ένας λόγος που διαχωρίζουμε τα πολυώνυμα απ τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι πάνω από κάποιους δακτυλίους διαφορετικά πολυώνυμα μπορεί να μας δώσουν την ίδια πολυωνυμική συνάρτηση (δες μικρό θεώρημα του Fermat) για παράδειγμα όπου R είναι οι ακέραιοι modulo p). Αυτή δεν είναι η περίπτωση όταν το R είναι πραγματικοί η μιγαδικοί αριθμοί,πως οι δύο περιπτώσεις διαχωρίζονται στην ανάλυση. Ένας ακόμη πιο σημαντικός λόγος για να διαχωρίσουμε τα πολυώνυμα και τις πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι ότι οι πράξεις στα πολυώνυμα (όπως η Ευκλείδεια διαίρεση) χρειάζονται να κοιτάξεις από τι αποτελείται ένα πολυώνυμο σαν έκφραση από το να εκτιμήσεις σαν σταθερή τιμή για το X. Και πρέπει να σημειωθεί ότι αν το R δεν είναι αντιμεταθετικό, δεν υπάρχει καμία (λειτουργικής) περίπτωση πωλυωνυμικής συνάρτησης.

Διαιρετότητα

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένα κύριο στοιχείο μελέτης είναι η διαιρετότητα ανάμεσα στα πολυώνυμα. Αν το R είναι μια ακέραια περιοχή και f και g πολυώνυμα του R[X], ισχύει ότι f διαιρεί τοg η f είναι διαιρέτης του g εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο q του R[X] τέτοιο ώστε f q = g. Κάτι που δείχνει ότι κάθε μηδενικό δίνει ένα γραμμικό διαιρέτη, η πιο σωστά, αν f είναι ένα πολυώνυμο του R[X] και r είναι ένα στοιχείο του R τέτοιο ώστε f(r) = 0, τότε το πολυώνυμο (X − r) διαιρεί το f. Ισχύει και το αντίθετο. Το πηλίκο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ατελή διαίρεση πολυωνύμων.

Αν F είναι ένα πεδίο και fκαι g πολυώνυμα στο F[X] με g ≠ 0, τότε υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα q και r στο F[X] με

\( f = q \, g + r \)

και τέτοια ώστε ο βαθμός του r είναι μικρότερος απ τον βαθμό του g (χρησιμοποιώντας τη σύμβαση ότι το πολυώνυμο 0 έχει αρνητικό βαθμό). Τα πολυώνυμα q και r είναι μοναδικά προσδιορισμένα από τηνf και την g. Αυτό ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση, διαίρεση με υπόλοιπο η ατελής πολυωνυμική διαίρεση και δείχνει ότι ο δακτύλιος F[X] είναι ένας Ευκλείδειος χώρος.

Αναλογικά, τα πρώτα πολυώνυμα (πιο σωστά, αμείωτα πολυώνυμα) μπορούν να θεωρηθούν ως πολυώνυμα που δεν μπορούν να χωριστούν σε γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων. Κάθε πολυώνυμο μπορεί να διασπαστεί σε γινόμενο ενός σταθερού με ένα αμείωτο πολυώνυμο. Αυτή η διάσπαση είναι μοναδική και εξαρτάται απ την τάξη των παραγόντων και το γινόμενο κάθε σταθερού με έναν σταθερό (και διαίρεση ενός σταθερού παράγοντα με τον ίδιο σταθερό. όταν οι συντελεστές ανήκουν σε ένα πεπερασμένο πεδίο ή είναι ρητοί αριθμοί, υπάρχουν αλγόριθμοι που ελέγχουν πόσο μπορεί να μειωθεί ένα πολυώνυμο και να υπολογιστεί η παρογοντοποιησιμότητα μέσα στα αμείωτα πολυώνυμα. Αυτοί οι αλγόριθμοι δεν είναι πρακτικοί για υπολογισμούς με το χέρι, αλλά είναι διαθέσιμοι για κάθε υπολογιστικό αλγεβρικό σύστημα (δες τον αλγόριθμο του Berlekamp) για την περίπτωση στην οποία οι συντελεστές ανήκουν σε ένα περιορισμένο πεδίο η ο αλγόριθμος του Berlekamp–Zassenhaus δουλεύει πάνω απ τους ρητούς αριθμούς[10]). Το κριτήριο Eisenstein μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί σε μερικές περιπτώσεις για τον έλεγχο της μειωσιμότητας.

Δείτε επίσης: Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων.

Κατηγοριοποίηση

Τα πολυώνυμα κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με πολλές διαφορετικές ιδιότητες.

Αριθμός μεταβλητών

Μία κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων βασίζεται στον αριθμό των διαφορετικών μεταβλητών. Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής ονομάζεται μονοπαραμετικό πολυώνυμο, ένα πολυώνυμο με περισσότερες από μία μεταβλητή πολυπαραμετρικό πολυώνυμο. Αυτές οι παρατηρήσεις αναφέρονται περισσότερο στο είδος των πολυωνύμων γενικά και πώς αυτά λειτουργούν παρά στο κάθε ένα ξεχωριστά για παράδειγμα όταν δουλεύουμε με μονοπαραμετρικά πολυώνυμα κάτι που δεν αποκλείει τα σταθερά πολυώνυμα (το οποίο είναι αποτέλεσμα,για παράδειγμα, από την αφαίρεση μη σταθερών πολυωνύμων), ωστόσο μιλώντας αυστηρά για σταθερά πολυώνυμα δεν περιλαμβάνουν καθόλου μεταβλητές. Είναι δυνατόν να ταξινομήσουμε περαιτέρω τα πολυπαραμετρικά πολυώνυμα σαν δυπαραμετρικά, τρειπαραμετρικά, και ούτω καθεξής, ανάλογα με τον μέγιστο αριθμό μεταβλητών που περιέχουν. Για να συνοψίσουμε τα πράγματα με μία λογική αφαίρεσης, μια μελέτη των τρειπαραμετρικών πολυωνύμων συνήθως και περιλαμβάνει τα δυπαραμετρικά, και ούτω καθ εξής. Επιτρέπεται, επίσης, να τα ονομάσουμε «πολυώνυμα του x, y, και z», βάζοντας στην σειρά τις μεταβλητές τους.
Βαθμός

Κύριο λήμμα: Βαθμός πολυωνύμου

Ένας δεύτερος βασικός διαχωρισμός των πολυωνύμων γίνεται με βάση των βαθμό τους. Θυμηθείτε ότι ο βαθμός ενός όρου είναι το άθροισμα των εκθετών στις μεταβλητές, και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων.
Κατηγοριοποίηση πολυωνύμων με βάση των βαθμό

Βαθμός	Όνομα	Παράδειγμα
απροσδιόριστο	μηδενικό	\( 0 \)
0	(μη μηδενικό) σταθερό	\( 1\)
1	γραμμικό	\(x + 1 \)
2	τετραγωνικό	\( x^2 + 1 \)
3	κυβικό	\( x^3 + 1\)
4	τεταρτοβάθμιο (ή διτετράγωνο)	\( x^4 + 1\)
5	πεμπτοβάθμιο	\( x^5 + 1\)
6	εκτοβάθμιο	\( x^6 + 1 \)
7	επταβάθμιο	\( x^7 + 1\)
8	οκταβάθμιο	\(x^8 + 1 \)
9	εννιαβάθμιο	\( x^9 + 1\)
10	δεκαβάθμιο	\(x^{10} + 1 \)
100	εκατοβάθμιο	\( x^{100} + 1\)

Συνήθως, ένα πολυώνυμο βαθμού n, για n μεγαλύτερο του 3, ονομάζεται πολυώνυμο βαθμού n, ωστόσο οι φράσεις τεταρτοβάθμιο και πεμπτοβάθμιο χρησιμοποιούνται μερικές φορές. Η χρήση ονομάτων για βαθμούς μεγαλύτερους του 5 είναι ακόμη πιο σπάνια. Τα ονόματα των βαθμών μπορεί να αφορούν τα πολυώνυμα ή τους όρους τους. Για παράδειγμα, στο \( x^2 + 2x + 1 \)ο όρος 2x είναι ένας όρος πρώτου βαθμού σε ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο.

Στο ευρύτερο πλαίσιο της πολυωνυμικής παρεμβολής υπάρχει ένα μπέρδεμα των δύο παραπάνω κατηγοριοποιήσεων. Για παράδειγμα, μια διγραμμική παρεμβολή]], είναι το παράγωγο δύο μονοπαραμετρικών πολυωνύμων, είναι διπαραμετρικό αλλά δεν είναι γραμμικό; παρόμοια αμφισημία επηρεάζει και την δικυβική παρεμβολή.

Το πολυώνυμο 0, που θεωρούμε ότι δεν έχει καθόλου όρους, ονομάζεταιμηδενικό πολυώνυμο. Αντίθετα σε άλλα σταθερά πολυώνυμα, οι βαθμοί τους δεν είναι μηδενικοί. Ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου είναι απροσδιόριστος, η προσδιορίζεται σαν αρνητικός (ανάμεσα στο –1 και –∞).[11] Αυτές οι συμβάσεις είναι σημαντικές όταν εξηγούμε την Ευκλείδεια διαίρεση των πολυωνύμων. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι επίσης μοναδικό σε αυτό είναι το μόνο πολυώνυμο που έχει άπειρο αριθμό ριζών.
Ταξινόμηση πολυωνύμων με βάση τους μη μηδενικούς όρους Αριθμός μη μηδενικών όρων Όνομα Παράδειγμα

Αριθμός μη μηδενικών όρων	Όνομα	Παράδειγμα
0	μηδενικό πολυώνυμο	\( 0\)
1	μονώνυμο	\( x^2\)
2	διώνυμο	\( x^2 + 1\)
3	τριώνυμο	\( x^2 + x + 1\)

Αν ένα πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή, τότε οι όροι του συνήθως γράφονται απ τον μεγιστοβάθμιο προς αυτόν με την μικρότερη δύναμη («μείωση δυνάμεων») η απ τον μικρότερου βαθμού στον μεγιστοβάθμιο («αύξηση δυνάμεων»). Ένα μονοπαραμετρικό πολυώνυμο του x βαθμού n έχει την γενική μορφή

\( c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_2x^2+c_1x+c_0 \)

όπου

c_n ≠ 0, c_n-1, ..., c₂, c₁ και c₀ είναι σταθερές, οι συντελεστές του πολυωνύμου.

Εδώ ο όρος c_nxⁿ ονομάζεται πρωτεύων όρος και ο συντελεστής του c_n ο πρωτεύων συντελεστής; αν ο πρωτεύων συντελεστής είναι 1, το μονοπαραμετρικό πολυώνυμο ονομάζεται μονικό.

Σημειώνεται εξαιρουμένου του πρωτεύοντος συντελεστή c_n (το οποίο πρέπει να είναι μη μηδενικό διαφορετικά το πολυώνυμο δεν θα είναι βαθμού n) αυτή η γενική μορφή επιτρέπει στους παράγοντες να είναι μηδέν; όταν αυτό συμβαίνει ο αντίστοιχος όρος είναι μηδέν και μπορεί να βγει απ το άθροισμα χωρίς να αλλάζει το πολυώνυμο. Πρέπει ωστόσο να αναφέρουμε ότι ο c_i είναι παράγοντας του xⁱ, ακόμη και όταν c_i είναι ίσο με 0, έτσι ώστε xⁱ να μην αποτελεί όρο; για παράδειγμα κάποιος μπορεί να πει για τον σταθερό όρο του πολυωνύμου,εννοώντας c₀ ακόμη και αν αυτός είναι ίσος με μηδέν.

Στην περίπτωση πολυωνύμων περισσότερων μεταβλητών, ένα πολυώνυμο ονομάζεται ομογενές βαθμού n αν όλοι οι όροι του έχουν βαθμό n. Για παράδειγμα, \( x^3y^2 + 7x^2y^3 - 3x^5 \) είναι ομογενές βαθμού 5. Για λεπτομέρειες, δες Ομογενές πολυώνυμο.

Συντελεστές

Μία άλλη κατηγοριοποίηση των πολυωνύμων γίνεται με βάση το είδος των συντελεστών τους. Υπάρχουν πολυώνυμα με ακέραιους, ρητούς, πραγματικούς, ή μιγαδικούς συντελεστές, και στην θεωρητική άλγεβρα πολυώνυμα με πολλούς άλλους τύπους συντελεστών, όπως συντελεστές που είναι ακέραιοι modulo p. Ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των πολυωνύμων που έχουν συντελεστές πολυώνυμα με άλλες μεταβλητές. Αυτό δείχνει ότι ένα πολυώνυμο, για παράδειγμα, x, y, z μπορεί να θεωρηθεί σαν μονοπαραμετρικό στο z με τους συντελεστές του να είναι διπαραμετρικοι στο x καιy. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στη θεωρία πολυπαραμετρικών πολυωνύμων.

Στην κατηγοριοποίηση με βάση των αριθμό μεταβλητών, όταν εργαζόμαστε με συντελεστές από ένα γνωστό σύνολο, όπως είναι οι μιγαδικοί αριθμοί, μπορούμε να χρησιμοποιούμε συντελεστές και από κάθε υποσύνολο αυτού. Έτσι \( x^2 + 3x -5 \) είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές,αλλά είναι επίσης και ένα πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές, επειδή οι ακέραιοι είναι υποσύνολο των μιγαδικών.

Αριθμός μη μηδενικών όρων

Τα πολυώνυμα μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν με βάση τους όρους με μη μηδενικούς παράγοντες, έτσι ένα πολυώνυμο με έναν όρο καλείται μονόνυμο, με δύο όρους δυόνυμο, και ούτω καθ εξής. (Μερικοί συγγραφείς με την λέξη «μονόνυμο» εννοούν το «μονικό μονόνυμο».[12])
Άλλες χρήσεις των πολυωνύμων

Τα πολυώνυμα συχνά χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση πληροφοριών. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα περιέχει πληροφορίες για τις ιδιοτιμές του. Το ελάχιστο πολυώνυμο ενός αλγεβρικού στοιχείου καταγράφει την απλούστερη αλγεβρική σχέση που ικανοποιείται από αυτό το στοιχείο. Το χρωματικό πολυώνυμο ενός γραφήματος μετράει τον αριθμό των κατάλληλων χρωματισμών του γραφήματος.
Επεκτάσεις της έννοιας ενός πολυωνύμου

Τα πολυώνυμα μπορεί να περιέχουν περισσότερες από μία παραμέτρους, τέτοια ονομάζονται πολυπαραμετρικά. Οι δακτύλιοι πολυωνύμων με πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών είναι θεμελιώδους σημασίας στην αλγεβρική γεωμετρία η οποία μελετά τον ταυτόχρονο μηδενισμό όλων πολυπαραμετρικών πολυωνύμων. Αυτοί οι δακτύλιοι εναλλακτικά μπορούν να κατασκευαστούν επαναλαμβάνοντας την κατασκευή ενός δακτυλίου με μονοπαραμετρικά πολυώνυμα και συντελεστές άλλους δακτυλίους: έτσι ο δακτύλιος R[X,Y] πολυωνύμων του X και του Y μπορεί να θεωρηθεί σαν δακτύλιος (R[X])[Y] πολυωνύμων του Y με συντελεστές πολυώνυμα του X, ή ο δακτύλιος (R[Y])[X] πολυωνύμων του X με συντελεστές πολυώνυμα του Y. αυτές οι παρατηρήσεις συμφωνούν με τις αριθμητικές πράξεις (είναι ισομορφισμοί δακτυλίων), αλλά μερικά σημεία όπως ο βαθμός ή πότε ένα πολυώνυμο θεωρείται μονικό μπορεί να διαφέρουν. Μπορούν να κατασκευαστούν δακτύλιοι πολυωνύμων με άπειρες παραμέτρους, αλλά απ την στιγμή που τα πολυώνυμα είναι (πεπερασμένες) εκφράσεις, κάθε πολυώνυμο μπορεί να περιέχει μόνο πεπερασμένο αριθμό παραμέτρων.

Ένα δυαδικό πολυώνυμο που η δεύτερη παράμετρος έχει την μορφή εκθετικής συνάρτησης, για παράδειγμα το P(X,eX ), ονομάζεται εκθετικό πολυώνυμο.

Τα πολυώνυμα Laurent, επιτρέπουν να υπάρχουν αρνητικές δυνάμεις στις παραμέτρους τους.

Τα Πηλίκα πολυωνύμων ονομάζονται ρητές εκφράσεις (ή ρητά κλάσματα), και συναρτήσεις που υπολογίζουν ρητές εκφράσεις ονομάζονται ρητές συναρτήσεις. Τα ρητά κλάσματα είναι μορφές πηλίκων πολυωνύμων (αποτελούνται από πολυώνυμα όπως οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από ακεραίους,γράφοντας ένα κλάσμα με δύο από αυτούς). Η ρητή συνάρτηση που προσδιορίζεται από ένα ρητό κλάσμα είναι το πηλίκο των πολυωνυμικών συναρτήσεων που προσδιορίζεται απ τον αριθμητή και τον παρονομαστή των ρητών κλασμάτων. Τα ρητά κλάσματα περιλαμβάνουν τα πολυώνυμα Laurent, αλλά δεν αποκλείουν τους παρονομαστές απ τις δυνάμεις των παραμέτρων. Ενώ οι πολυωνυμικές συναρτήσεις προσδιορίζονται για κάθε τιμή των παραμέτρων, μία ρητή συνάρτηση προσδιορίζεται μόνο για τιμές των παραμέτρων γα τις οποίες ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. Μια ρητή συνάρτηση δίνει ρητό αποτέλεσμα για κάθε τιμή για την οποία ορίζεται; αυτό δεν ισχύει για άλλες συναρτήσεις όπως τις τριγωνομετρικές, λογαριθμικές και εκθετικές

Η σειρά δύναμης είναι σαν τα πολυώνυμα, αλλά μπορεί να περιέχει άπειρους μη μηδενικούς όρους, όποτε δεν έχει πεπερασμένο βαθμό. Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα δεν μπορούν να γραφούν λεπτομερώς (όπως δεν μπορούν και οι πραγματικοί αριθμοί), αλλά γενικά ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τα πολυώνυμα.
Δείτε επίσης

Πολυώνυμο Bernstein
Ιδιότητες πολυωνυμικών ριζών
Διώνυμο
Μέθοδος του Lill
Λίστα με πολυωνυμικά θέματα
Πολυώνυμα στον διανυσματικό χώρο
Δυναμοσειρές

Πηγές

R. Birkeland. Über die Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen. Mathematische Zeitschrift τομ. 26, (1927) σσ. 565–578. Shows that the roots of any polynomial may be written in terms of multivariate hypergeometric functions
F. von Lindemann. Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften, τομ. 7, 1884. Polynomial solutions in terms of theta functions
F. von Lindemann. Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen II. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, 1892 edition
K. Mayr. Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. Monatshefte für Mathematik und Physik τομ. 45, (1937) σσ. 280–313
H. Umemura. Solution of algebraic equations in terms of theta constants. In D. Mumford, Tata Lectures on Theta II, Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston, 1984

Πηγές

CNTRL (French National Center for Textual and Lexical Resources), etymology of binôme [1]
Etymology of "polynomial" Compact Oxford English Dictionary
Online Etymology Dictionary "binomial"
Florian Cajori (1991). A History of Mathematics. AMS. ISBN 978-0-8218-2102-2.|[2]
Ο όρος άγνωστοι είναι πιο κατάλληλος, και, στην θεωρία, το μεταβλητή θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο όταν έχουμε μία συνάρτηση που προσδιορίζεται από πολυώνυμο. Στην πράξη, οι περισσότεροι συγγραφείς δεν ξεχωρίζουν τις δυο λέξεις.
Peter H. Selby, Steve Slavin, Practical Algebra: A Self-Teaching Guide, 2nd Edition, Wiley, ISBN 0-471-53012-3 ISBN 978-0471530121
Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, Fourth Edition, Thompson Brooks/Cole, ISBN 0-03-010567-6.
Σειρά Taylor από το mathworld
Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, ISBN 0-03-029558-0
http://mathworld.wolfram.com/Berlekamp-ZassenhausAlgorithm.html
Weisstein, Eric W., "Zero Polynomial" από το MathWorld.

Anthony W. Knapp (2007). Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra. Springer, σελ. 457. ISBN 0-8176-4522-5.

Βιβλιογραφία

Αλέξανδρος Π. Τραγανίτης, Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου, Α΄ Τεύχος, εκδ. Σαβάλλας
Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου, εκδόσεις ΟΕΔΒ 2007, ISBN 960-06-0357-X

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Polynomial», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License