.

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη[1] αριθμών, συμβόλων, ή εκφράσεων, διατεταγμένων σε σειρές και στήλες.[2][3] Τα μεμονωμένα στοιχεία σε ένα πίνακα ονομάζονται στοιχεία ή εγγραφές του. Ένα παράδειγμα πίνακα 2 γραμμών και 3 στηλών είναι:

$ \begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}. $

Οι πίνακες ίδιων διαστάσεων μπορούν να προστεθούν ή αφαιρεθούν στοιχείο προς στοιχείο. Αλλά ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό πινάκων είναι ότι οι δύο πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μόνο όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου ισούται με τον αριθμό των γραμμών του δευτέρου. Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων είναι να παριστάνουν γραμμικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή, γενικεύσεις των γραμμικών συναρτήσεων όπως f(x) = 4x. Για παράδειγμα, η περιστροφή διανυσμάτων σε έναν τριών διαστάσεων χώρο είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα περιστροφής R. Αν v είναι ένα διάνυσμα στήλης (ένας πίνακας με μόνο μία στήλη) που περιγράφει τη θέση ενός σημείου στο χώρο, το γινόμενο Rv είναι μία στήλη διάνυσμα που περιγράφει τη θέση εκείνου του σημείου μετά από μία περιστροφή. Το γινόμενο δύο πινάκων είναι ένας πίνακας που αναπαριστά τη σύνθεση δύο γραμμικών μετασχηματισμών. Μια άλλη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Αν ο πίνακας είναι τετραγωνικός, είναι δυνατόν να συμπεράνουμε μερικές από τις ιδιότητές του υπολογίζοντας την ορίζουσα του. Για παράδειγμα, ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Οι ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα παρέχουν μια διορατικότητα στη γεωμετρία των γραμμικών μετασχηματισμών.

Κάθε στοιχείο ενός πίνακα συνήθως συμβολίζεται από μία μεταβλητή με δύο δείκτες. Για παράδειγμα, το a2,1 αντιπροσωπεύει το στοιχείο στη δεύτερη γραμμή και στην πρώτη στήλη ενός πίνακα A.

Εφαρμογές των πινάκων βρίσκονται σε πολλά επιστημονικά πεδία. Σε κάθε κλάδο της φυσικής,συμπεριλαμβανομένων της κλασικής μηχανικής, οπτικής, ηλεκτρομαγνητικής, κβαντομηχανικής, και κβαντικής ηλεκτροδυναμικής, που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των φυσικών φαινομένων, όπως την κίνηση των στερεών σωμάτων. Σε γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών, χρησιμοποιούνται για το σχέδιο εικόνας τριών διαστάσεων σε δύο διαστάσεων οθόνη. Στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, οι στοχαστικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σύνολα πιθανοτήτων; για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται μέσα στον αλγόριθμο PageRank ο οποίος ταξινομεί τις σελίδες στην αναζήτηση του Google.[4] Ο λογιστικός πίνακας γενικεύεται στις κλασικές αναλυτικές έννοιες όπως είναι οι παράγωγοι και τα εκθετικά σε υψηλότερες διαστάσεις.

Ένας σημαντικός κλάδος της αριθμητικής ανάλυσης έχει αφοσιωθεί στην ανάπτυξη αποτελεσματικών αλγορίθμων για τους υπολογισμούς πίνακα, ένα θέμα που είναι αιώνων και σήμερα είναι αναπτυσσόμενος τομέας της έρευνας. Οι μέθοδοι αποσύνθεσης πίνακα απλοποιούν τους υπολογισμούς, τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά. Οι αλγόριθμοι που είναι προσαρμοσμένοι σε συγκεκριμένες δομές πίνακα, όπως οι αραιοί πίνακες και οι σχεδόν διαγώνιοι πίνακες, διευκολύνουν τους υπολογισμούς στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων και άλλους υπολογισμούς. Οι άπειροι πίνακες απαντώνται στην πλανητική θεωρία και την ατομική θεωρία. Ένα απλό παράδειγμα ενός άπειρου πίνακα είναι ο πίνακας που αντιπροσωπεύει τον παράγωγο φορέα, ο οποίος δρα στη Σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης.

Ορισμός

Ένας πίνακας είναι μία ορθογώνια διάταξη αριθμών ή άλλων μαθηματικών αντικειμένων, όπου ορίζονται πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός.[5] Συνηθέστερα, ένας πίνακας στο πεδίο F είναι μία ορθογώνια διάταξη βαθμίδων του F.[6][7] Το μεγαλύτερο μέρος αυτού του άρθρου εστιάζει στους πραγματικούς και μιγαδικούς, δηλαδή, πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί ή μιγαδικοί αριθμοί, αντίστοιχα. Οι πιο γενικοί τύποι εγγραφών συζητούνται παρακάτω. Για παράδειγμα, αυτός είναι ένας πραγματικός πίνακας:

$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1.3 & 0.6 \\ 20.4 & 5.5 \\ 9.7 & -6.2 \end{bmatrix}. $

Οι αριθμοί, τα σύμβολα ή οι εκφράσεις στον πίνακα ονομάζονται εγγραφές ή στοιχεία του. Οι οριζόντιες και κάθετες γραμμές των εγγραφών ενός πίνακα ονομάζονται γραμμές και στήλες, αντίστοιχα.
Διάσταση

Η διάσταση ενός πίνακα ορίζεται από τον αριθμό των γραμμών και στηλών που περιέχει. Ένας πίνακας με m γραμμές και n στήλες ονομάζεται m × n πίνακας ή m-επί-n πίνακας, ενώ τα m και n ονομάζονται διαστάσεις του. Για παράδειγμα, ο πίνακας A παραπάνω είναι ένας 3 × 2 πίνακας.

Πίνακες οι οποίοι έχουν μία μόνη γραμμή λέγονται διανύσματα γραμμής, και εκείνοι οι οποίοι έχουν μία μόνη στήλη ονομάζονται διανύσματα στήλης. Ένας πίνακας ο οποίος έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών ονομάζεται τετραγωνικός πίνακας. Ένας πίνακας με άπειρο αριθμό γραμμών ή στηλών (ή και τα δύο) ονομάζεται ''άπειρος πίνακας''. Σε μερικά περιβάλλοντα όπως στα προγράμματα υπολογιστικής άλγεβρας είναι εύχρηστο να σκεφτούμε έναν πίνακα χωρίς γραμμές ή χωρίς στήλες, που ονομάζεται ''άδειος πίνακας''.

Όνομα	Διάσταση	Παράδειγμα	Περιγραφή
Διάνυσμα γραμμής	1 × n	$ \begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix} $	Ένας πίνακας με μία γραμμή, μερικές φορές χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα διάνυσμα
Διάνυσμα στήλης	n × 1	$ \begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix} $	Ένας πίνακας με μία στήλη, μερικές φορές χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα διάνυσμα
Τετραγωνικός πίνακας	n × n	$ \begin{bmatrix} 9 & 13 & 5 \\ 1 & 11 & 7 \\ 2 & 6 & 3 \end{bmatrix}$	Ένας πίνακας με τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, μερικές φορές χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα γραμμικό μετασχηματισμό από ένα διανυσματικό χώρο στον εαυτό του, όπως αντανάκλαση, περιστροφή, ή διάτμηση.

Συμβολισμός

Οι πίνακες είναι συνήθως γραμμένοι σε αγκύλες:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}. $

Ένας εναλλακτικός συμβολισμός χρησιμοποιεί μεγάλες παρενθέσεις αντί για αγκύλες:

$ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right). $

Οι ιδιαιτερότητες στο συμβολισμό ενός συμβολικού πίνακα ποικίλουν ευρέως, με μερικές επικρατούσες τάσεις. Οι πίνακες συνήθως συμβολίζονται χρησιμοποιώντας κεφαλαία γράμματα (όπως A στο παραπάνω παράδειγμα), ενώ τα αντίστοιχα πεζά γράμματα, με δύο δείκτες (π.χ., a11, ή a1,1), αντιπροσωπεύουν τις εγγραφές. Επιπλέον χρησιμοποιώντας κεφαλαία γράμματα για το συμβολισμό των πινάκων, πολλοί συγγραφείς χρησιμοποιούν μία ειδική έμφαση, συνήθως έντονη γραφή σε όρθια θέση (όχι πλάγια γραφή), για περαιτέρω διάκριση των πινάκων από τα άλλα μαθηματικά αντικείμενα. Ένας εναλλακτικός συμβολισμός περιλαμβάνει τη χρήση μίας διπλής υπογράμμισης με μεταβλητό όνομα, με ή χωρίς έντονους χαρακτήρες, (π.χ., $\underline{\underline{A}} $).

Η εγγραφή στην i-οστή γραμμή και j-οστή στήλη του πίνακα A μερικές φορές αναφέρεται ως i,j, (i,j), ή (i,j)^η εγγραφή του πίνακα, και συνηθέστερα αναφέρεται ως a_i,j, ή a_ij. Εναλλακτικοί συμβολισμοί για εκείνη την εγγραφή είναι A[i,j] ή A_i,j. Για παράδειγμα, το (1,3) στοιχείο του παρακάτω πίνακα A είναι 5 (επίσης συμβολίζεται a₁₃, a_1,3, A[1,3] ή A_1,3):

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\ -2 & 0 & 11 & 8 \\ 19 & 1 & -3 & 12 \end{bmatrix} $

Μερικές φορές, τα στοιχεία ενός πίνακα μπορούν να οριστούν από ένα τύπο όπως ai,j = f(i, j). Για παράδειγμα, κάθε μία από τις εγγραφές του παρακάτω πίνακα A προσδιορίζεται από aij = i − j.

$ \mathbf A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3\\ 1 & 0 & -1 & -2\\ 2 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} $

Σε αυτή την περίπτωση, ο ίδιος ο πίνακας είναι μερικές φορές ορισμένος από εκείνο τον τύπο, με τετράγωνες αγκύλες ή διπλές παρενθέσεις. Για παράδειγμα, ο πίνακας παραπάνω είναι ορισμένος ως A = [i-j], ή A = ((i-j)). Εάν η διάσταση του πίνακα είναι m × n, ο τύπος που αναφέρθηκε παραπάνω f(i, j) είναι έγκυρος για κάθε i = 1, ..., m και κάθε j = 1, ..., n. Αυτό μπορεί να προσδιοριστεί είτε χωριστά, είτε χρησιμοποιώντας m × n ως δείκτης. Για παράδειγμα, ο πίνακας A παραπάνω είναι 3 × 4 και μπορεί να οριστεί ως A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4), ή A = [i − j]_3×4.

Μερικές γλώσσες προγραμματισμού χρησιμοποιούν πίνακες με διπλούς δείκτες (ή πίνακες των πινάκων ) για να αναπαραστήσουν ένα m-×-n πίνακα. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού αρχίζουν την αρίθμηση των δεικτών του πίνακα από το μηδέν, σε όποια περίπτωση τα στοιχεία ενός m-επί-n πίνακα έχουν δείκτες 0 ≤ i ≤ m − 1 και 0 ≤ j ≤ n − 1.^[8] Αυτό το άρθρο ακολουθεί την πιο κοινή σύμβαση στο γράψιμο μαθηματικών κειμένων όπου η απαρίθμηση αρχίζει από το 1.

Το σύνολο όλων των m-επί-n πινάκων συμβολίζεται ýǜ(m, n).

Βασικές πράξεις

Πρότυπο:External media Υπάρχει ένας αριθμός βασικών λειτουργιών που μπορούν να εφαρμοστούν για να τροποποιήσουν πίνακες , ονομάζονται πίνακας πρόσθεσης, βαθμωτού πολλαπλασιασμού, μεταφοράς, πίνακας πολλαπλασιασμού, λειτουργίες γραμμής, και υποπίνακας. [9]
Πρόσθεση, βαθμωτός πολλαπλασιασμός και μεταφορά

Κύρια λήμματα: Πρόσθεση, Βαθμωτός πολλαπλασιασμός και Μεταφορά

Λειτουργία	Ορισμός	Παράδειγμα
Πρόσθεση	Το άθροισμα A+B δύο m-επί-n πινάκων A και B υπολογίζεται: (A + B)_i,j = A_i,j + B_i,j, where 1 ≤ i ≤ m and 1 ≤ j ≤ n.	$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{bmatrix}$
Βαθμωτός πολλαπλασιασμός	Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός cA ενός πίνακα A και ενός αριθμού c (επίσης ονομάζεται βαθμωτός στη γλώσσα της αφηρημένης άλγεβρας) που δίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο του A με το c: (cA)_i,j = c · A_i,j.	$ 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$
Μεταφορά	Η μεταφορά ενός m-επί-n πίνακα A είναι ο n-επί-m πίνακας A^T (επίσης συμβολίζεται A^tr ή ^tA) σχηματίζεται μετατρέποντας τις γραμμές σε στήλες και αντίστροφα: (A^T)_i,j = A_j,i.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} $

Οικείες λειτουργίες των αριθμών επεκτείνουν αυτές τις λειτουργίες των πινάκων: για παράδειγμα, η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, δηλ., ο πίνακας του αθροίσματος δεν εξαρτάται από τη διάταξη των προσθετέων: A + B = B + A.^[10] Η μεταφορά είναι σύμφωνη μα την πρόσθεση και τον κλιμακωτό πολλαπλασιασμό, όπως εκφράζεται από (cA)^T = c(A^T) και (A + B)^T = A^T + B^T. Τελικά, (A^T)^T = A.

Πολλαπλασιασμός πινάκων

Σχηματική απεικόνιση του πίνακα γινομένου AB δύο πινάκων A και B.

Ο πολλαπλασιασμός δυο πινάκων ορίζεται αν και μόνο αν ο αριθμός των στηλών του αριστερού πίνακα είναι ίδιος με τον αριθμό των γραμμών του δεξιού πίνακα. Εάν το Α είναι ένας μ-ν πίνακας και B είναι ένας ν-ρ πίνακας, τότε το το γινόμενο του πίνακα AB είναι ο μ-ρ πίνακας του οποίου τα στοιχειά δίνονται από το γινόμενο της αντίστοιχης σειράς του A και της αντίστοιχης στήλης B:

$ [\mathbf{AB}]_{i,j} = A_{i,1}B_{1,j} + A_{i,2}B_{2,j} + \cdots + A_{i,n}B_{n,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}, $

όταν 1 ≤ i ≤ m και 1 ≤ j ≤ p.[11] Για παράδειγμα, η υπογραμμισμένη καταχώρηση 2340 σα γινόμενο υπολογίζεται ως (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

$ \begin{align} \begin{bmatrix} \underline{2} & \underline 3 & \underline 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \underline{1000} \\ 1 & \underline{100} \\ 0 & \underline{10} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 & \underline{2340} \\ 0 & 1000 \\ \end{bmatrix}. \end{align} $

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων πληροί τους κανόνες (AB)C = A(BC) (συσχέτισης), και (A+B)C = AC+BC καθώς και C(A+B) = CA+CB (αριστερά και δεξιά την επιμεριστική ιδιότητα), οπότε το μέγεθος των πινάκων είναι τέτοιο ώστε τα διάφορα γινόμενά του να ορίζονται.[12] το γινόμενο AB μπορεί να οριστεί χωρίς το BA να ορίζεται , δηλαδή αν τα A και B είναι μ-ν και ν-κ πίνακες, αντίστοιχα, και μ ≠ κ. Ακόμη και αν τα δυο γινόμενα ορίζονται , δε χρειάζεται να είναι ίσα, δηλαδή, γενικά έχει κανείς

AB ≠ BA,

δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα δεν είναι αντιμεταθετικός, σε έντονη αντίθεση με τη(λογική, πραγματική, ή σύνθετη) τους αριθμούς των οποίων το γινόμενο είναι ανεξάρτητο τη σειρά των παραγόντων. Ένα παράδειγμα δυο πινάκων που δεν αλλάζουν μεταξύ τους είναι:

\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 3\\ \end{bmatrix},

ενώ

\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} .

Εκτός από το συνήθη πολλαπλασιασμό πινάκων που μόλις περιγράφηκε,υπάρχουν άλλες λιγότερο συχνά χρησιμοποιούμενες λειτουργίες σε πίνακες που μπορούν να θεωρηθούν μορφές πολλαπλασιασμού , όπως το γινόμενο Hadamard και του γινομένου Kronecker.[13] Μπορούν να προκύψουν στην επίλυση των εξισώσεων των πινάκων όπως την εξίσωση του Sylvester

Σειρά ενεργειώνΑυτές οι λειτουργίες χρησιμοποιούνται με συγκεκριμένους τρόπους , οι οποίες περιλαμβάνουν την επίλυση γραμμικών εξισώσεων και την εύρεση ενός αντίστροφου πίνακα.

Υπάρχουν τρεις τύποι μιας σειράς ενεργειών :

Πρόσθεση σειράς, που είναι η προσθήκη μιας γραμμής σε μια άλλη.
Πολλαπλασιασμός μιας σειράς, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας όλες τις καταχωρήσεις μιας σειράς με μια μη-μηδενική σταθερά.
Αλλαγή σειράς,δηλαδή η εναλλαγή δυο σειρών ενός πίνακα.

Αυτές οι λειτουργίες χρησιμοποιούνται με συγκεκριμένους τρόπους , οι οποίες περιλαμβάνουν την επίλυση γραμμικών εξισώσεων και την εύρεση ενός αντίστροφου πίνακα.

Πρότυπο:Υποπίνακας

Ένας υποπίνακας ενός πίνακα προκύπτει διαγράφοντας οποιαδήποτε συλλογή γραμμών ή στηλών. Για παράδειγμα, για τον ακόλουθο 3-4 πίνακα,μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα 2-3 υποπίνακα αφαιρώντας τη γραμμή 3 και τη στήλη 2:

$ \mathbf{A}=\begin{bmatrix} \color{red}{1} & 2 & \color{red}{3} & {\color{red} 4} \\ \color{red}{5} & 6 & {\color{red}7} & {\color{red}8} \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 7 & 8 \end{bmatrix}. $

Οι δευτερεύοντες πίνακες και οι συμπαράγοντες ενός πίνακα βρίσκονται υπολογίζοντας την ορίζουσα ορισμένων υποπινάκων.

Γραμμικές εξισώσεις

Οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν συνοπτικά για να γράφεις και να δουλεύεις με πολλαπλές γραμμικές εξισώσεις, δηλαδή, συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, εάν το A είναι ένας μ-ν πίνακας, x συμβολίζει ένα διάνυσμα στήλης (δηλαδή, n×1-πίνακας) n μεταβλητών x₁, x₂, ..., x_n, και b είναι ένα m×1-διάνυσμα στήλης, τότε η εξίσωση ενός πίνακα

Ax = b

είναι ισοδύναμο με το σύστημα γραμμικών εξισώσεων

A_1,1x₁ + A_1,2x₂ + ... + A_1,nx_n = b₁

...

A_m,1x₁ + A_m,2x₂ + ... + A_m,nx_n = b_m .^[14]

Γραμμικοί μετασχηματισμοί

Οι πίνακες και ο πολλαπλασιασμός πινάκων αποκαλύπτουν τα ουσιώδη χαρακτηριστικά τους ,όταν σχετίζονται με γραμμικούς μετασχηματισμούς , επίσης γνωστή ως γραμμικές απεικονίσεις. Ένας πραγματικός μ-ν πίνακας A οδηγεί σε ένα γραμμικό μετασχηματισμό R^ν → R^μ χαρτογραφώντας κάθε διάνυσμα x σε R^ν προς το (πίνακας) γινόμενο Ax, το οποίο είναι διάνυσμα στον R^μ. Αντιστρόφως, κάθε γραμμικός μετασχηματισμός f: R^ν → R^μ προκύπτει από έναν μοναδικό πίνακα Α μ-by-ν: Αναλυτικότερα, το (i, j)-είσοδος του A είναι η i^οστή συντεταγμένη του f(e_j), όπου e_j = (0,...,0,1,0,...,0) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με 1 στη θέση του j^{νιοστού} και μηδέν στη θέση του άλλου. Ο πίνακας A αντιπροσωπεύει το γραμμικό διάγραμμα f, και ο A ονομάζεται πίνακας μετασχηματισμού της f.

Για παράδειγμα, ο 2×2 πίνακας

\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\,

μπορεί να θεωρηθεί ως ο μετασχηματισμός του τετραγώνου σε ένα παραλληλόγραμμο με κορυφές στο (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), και (c, d). Το παραλληλόγραμμο που απεικονίζεται στα δεξιά προκύπτει από το πολλαπλασιασμό του A με κάθε ένα από τα $ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} and \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ με τη σειρά. Αυτά τα διανύσματα καθορίζουν τις κορυφές του τετραγώνου.

Ο ακόλουθος πίνακας παρουσιάζει μια σειρά από 2 × 2 πραγματικούς πίνακες με τις σχετικές γραμμικές απεικονίσεις του R². Το μπλε πρωτότυπο αντιστοιχεί με τα πράσινα δίκτυα και σχήματα. Οι άξονες (0,0)επισημαίνονται με μαύρα σημεία.

Οριζόντια διάτμηση με m=1.25.	Οριζόντια απότομη κίνηση	Πιέστε χαρτογράφιση με r=3/2	Αλλαγή κλίμακας με έναν παράγοντα 3/2	περιστροφή κατά π/6^R = 30°
$ \begin{bmatrix} 1 & 1.25 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $	$ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & 2/3 \end{bmatrix} $	$ \begin{bmatrix} 3/2 & 0 \\ 0 & 3/2 \end{bmatrix}$	$ \begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix} $

Κάτω από 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των πινάκων και των γραμμικών απεικονίσεων, ο πολλαπλασιασμός πινάκων αντιστοιχεί στη σύνθεση των διαγραμμάτων :^[15] Εάν ένας κ-μ πίνακας B αντιπροσωπεύει μια άλλη γραμμική απεικόνιση g : R^μ → R^κ, τότε η σύνθεση g ∘ f αντιπροσωπεύεται από το BA δεδομένου

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

Η τελευταία ισότητα προκύπτει από την προαναφερθείσα συσχέτιση του πολλαπλασιασμού πινάκων.

Η τάξη ενός πίνακα A είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικών ανεξάρτητων διανυσμάτων στη σειρά του πίνακα, όπου είναι το ίδιο με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικών ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης.^[16] Αντίστοιχα διάσταση της εικόνας του γραμμικού διαγράμματος παριστάνεται από το A.^[17] Το θεώρημα μηδενικού βαθμού αναφέρει ότι η διάσταση του πυρήνα kernel ενός πίνακα συν το βαθμό ισούται με τον αριθμό των στηλών του πίνακα.^[18]

Τετραγωνικοί πίνακες

Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ένας πίνακας με το ίδιο αριθμό σειρών και στηλών. Ένας πίνακας ν-ν είναι γνωστός ως τετραγωνικός πίνακας τάξης ν. Οποιοιδήποτε δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας τάξης μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν. Οι καταχωρήσεις αii αποτελούν την κύρια διαγώνιο του τετραγωνικού πίνακα. Βρίσκονται στη νοητή γραμμή που εκτείνεται από την πάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία του πίνακα.

Κύριοι τύποι

Ονομασία	Παράδειγμα με n = 3
Διαγώνιος πίνακας	$\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{bmatrix} $
Κάτω τριγωνικός πίνακας	$ \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$
Άνω τριγωνικός πίνακας	$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{bmatrix} $

Διαγώνιοι και τριγωνικοί πίνακες

Εάν όλες οι καταχωρήσεις του A κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν,το A ονομάζεται άνω τριγωνικός πίνακας. Ομοίως, αν όλες οι καταχωρήσεις του A πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το A ονομάζεται κατώτερος τριγωνικός πίνακας. Αν όλες οι καταχωρήσεις έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν,το A ονομάζεται διαγώνιος πίνακας.
Ταυτοτικός πίνακας

Ο ταυτοτικός πίνακας In μεγέθους n ειναι ο n-n πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία σχετικά με την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με 1 και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με 0, π.χ

$ I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $

Πρόκειται για έναν τετραγωνικό πίνακα τάξης n, καθώς επίσης και ένα ιδιαίτερο είδος διαγώνιου πίνακα. Λέγεται ταυτοτικός πίνακας επειδή ο πολλαπλασιασμός αφήνει έναν αμετάβλητο πίνακα:

AI_n = I_mA = A για κάθε μ-ν πίνακα A.

Συμμετρικός ή αντισυμμετρικός πίνακας

Ένας τετραγωνικός πίνακας A ο οποίος είναι ίσος με τον ανάστροφό του, δηλαδή., A = A^T, είναι ένας συμμετρικός πίνακας.Αν αντίθετα ,ο A ήταν ίσος με τον αρνητικό του ανάστροφο , δηλαδή, A = −A^T, τότε A είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Σε σύνθετους πίνακες,η συμμετρία συχνά αντικαθιστάται από την έννοια Hermitian matrices, που ικανοποιεί A^∗ = A, όπου το αστέρι ή ο αστερίσκος υποδηλώνει το συζυγή ανάστροφο ενός πινάκα, δηλαδή, η μετάθεση του συζυγή του A.

Με το spectral theorem, οι πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες και οι Hermitian matrix έχουν eigenbasis; δηλαδή, κάθε διάνυσμα είναι εκφράσιμο σαν γραμμικός συνδυασμός των ιδιοδιανυσμάτων. Σε αμφότερες περιπτώσεις ,όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές.^[19] Το θεώρημα αυτό μπορεί να γενικευθεί σε απειροδιάστατες καταστάσεις που σχετίζονται με πίνακες που έχουν πάρα πολλές γραμμές και στήλες , δείτε παρακάτω.

Αντιστρέψιμος πίνακας και ο αντίστροφος

Ένας τετραγωνικός πίνακας A ονομάζεται αντιστρέψιμος πίνακας ή μη-ιδιάζων αν υπάρχει ένας πίνακας B έτσι ώστε

AB = BA = I_n.^[20]^[21]

Αν B υπάρχει, είναι μοναδικός και ονομάζεται αντίστροφος πίνακας του A, συμβολίζεται A⁻¹.Ορισμένος πίνακας

θετικά ορισμένος πίνακας	αόριστος πίνακας
$ \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $	$ \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & -1/4 \end{bmatrix}$
Q(x,y) = 1/4 x² + y²	Q(x,y) = 1/4 x² − 1/4 y²
150px Σημείο τέτοιο ώστε Q(x,y)=1 (Έλλειψη).	Σημείο τέτοιο ώστε Q(x,y)=1 (Υπερβολή).

Ένας συμμετρικός ν×ν πίνακας ονομάζεται θετικά ορισμένος (αντιστοίχως αρνητικά ορισμένος),Εάν για όλα τα μη μηδενικά διανύσματα x ∈ Rn οι συνδεδεμένες δευτεροβάθμιες μορφές δίνονται από

Q(x) = xTAx

παίρνει μόνο θετικές τιμές (αντιστοίχως μόνο αρνητικές τιμές ).[22] Εάν η τετραγωνική μορφή παίρνει μόνο θετικές (αντίστοιχα μόνο αρνητικές) τιμές,ο συμμετρικός πίνακας ονομάζεται γνησίως-θετικός (αντίστοιχα γνησίως-αρνητικός); ως εκ τούτου ο πίνακας είναι αόριστος όταν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός-ημιορισμένα.

Ένας συμμετρικός πίνακας είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του είναι θετικές.[23] Ο πίνακας στα δεξιά δείχνει δυο δυνατότητες για 2-2 πίνακες.

Επιτρέποντας ως είσοδο δύο διαφορετικούς φορείς αποδίδει αντ 'αυτού τη διγραμμική μορφή μου συνδέεται με το A:

BA (x, y) = xTAy.[24]

Ορθογώνιος πίνακας

Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία του οποίου οι στήλες και οι σειρές είναι μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα (δηλ., ορθοκανονικά διανύσματα). Ισοδύναμα, ένας πίνακας A είναι ορθογώνιος αν η μετάθεσή του είναι ίση με τον αντίστροφό του :

$ A^\mathrm{T}=A^{-1}, \, $

το οποίο συνεπάγεται

$ A^\mathrm{T} A = A A^\mathrm{T} = I, \, $

όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας.

Ένας ορθογώνιος πίνακας A είναι απαραίτητα αντιστρέψιμος (με αντίστροφο τον A−1 = AT), ενιαίου (A−1 = A*), και κανονικού (A*A = AA*). Η ορίζουσα οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα είναι είτε +1 είτε -1. Ένας ειδικός ορθογώνιος πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα +1. Όπως ένας γραμμικος μετασχηματισμός, κάθε ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα +1 είναι μια καθαρή περιστροφή, ενώ κάθε ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα -1 είναι είναι μια καθαρή αντανάκλαση, ή μια σύνθεση της αντανάκλασης και της περιστροφής.

Η σύνθετη αναλογία ενός ορθογώνιου πίνακα είναι ένας ενιαίος πίνακας.
Βασικές πράξεις

Ίχνος

Το ίχνος, tr(A) ενός τετραγωνικού πίνακα A είναι ένα άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του. Αν και ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός όπως αναφέρεται παραπάνω, το ίχνος του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων είναι ανεξάρτητο από τη σειρά των παραγόντων:

tr(AB) = tr(BA).

Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων:

$ \scriptstyle\operatorname{tr}(\mathsf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \operatorname{tr}(\mathsf{BA}).$

Επίσης, το ίχνος ενός πίνακα είναι ίσο με εκείνο της μετάθεσής του, δηλ.,

tr(A) = tr(AT).

Ορίζουσα

Κύριο λήμμα:Πρότυπο:Ορίζουσα
Ένας γραμμικός μετασχηματισμός του R2 δίνεται από έναν πίνακα με δείκτες. Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι −1, όπως η περιοχή του πράσινου παραλληλογράμμου στα δεξιά είναι 1, αλλά η απεικόνιση αντιστρέφει τον προσανατολισμό, στρέφοντας τον αριστερόστροφο προσανατολισμό των διανυσμάτων σε δεξιόστροφο.

Η ορίζουσα det(A) ή |A| ενός τετραγωνικού πίνακα A είναι ένα αριθμός που κωδικοποιεί ορισμένες ιδιότητες του πίνακα. 'Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Η απόλυτη τιμή του ισούται με την περιοχή (στον R2) ή όγκο (στον R3) της εικόνας του ενιαίου τετραγώνου (ή κύβου), ενώ το σήμα του να αντιστοιχεί προς τον προσανατολισμό του αντίστοιχου γραμμικού χάρτη: η ορίζουσα είναι θετική , αν και μόνο αν ο προσανατολισμός διατηρείται.

Η ορίζουσα ενός 2 επί 2 πίνακα δίνεται από τον τύπο

$ \det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc. $

Η ορίζουσα ενός 3 επί 3 πίνακα περιλαμβάνει 6 όρους (κανόνας του Sarrus). Ο πιο μακρύς τύπος Leibniz γενικεύει αυτούς τους δύο τύπους σε όλες τις διαστάσεις.[25]

Η ορίζουσα του γινομένου τετραγωνικών πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζουσών τους:

det(AB) = det(A) · det(B).[26]

Προσθέτοντας ένα πολλαπλάσιο οποιασδήποτε γραμμής σε μια άλλη, ή ένα πολλαπλάσιο οποιασδήποτε στήλης σε μια άλλη, δεν αλλάζει η ορίζουσα. Εναλλάσσοντας επηρεάζει την ορίζουσα πολλαπλασιάζοντας την ορίζουσα με -1.[27] Χρησιμοποιώντας αυτές τις λειτουργίες, οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να τροποποιηθεί σε έναν κάτω (ή άνω) τριγωνικό πίνακα, και για τέτοιους πίνακες η ορίζουσα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του; αυτό παρέχει μια μέθοδο να υπολογίζουμε την ορίζουσα οποιουδήποτε πίνακα. Τελικά, η επέκταση Laplace εκφράζει την ορίζουσα των υποπινάκων, δηλ., ορίζουσες μικρότερων πινάκων.[28] Η έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ένα αναδρομικό ορισμό των οριζουσών (παίρνοντας ως αρχική υπόθεση την ορίζουσα ενός 1 επί 1 πίνακα, η οποία είναι ένα μοναδικό στοιχείο, ή ακόμα την ορίζουσα ενός 0 επί 0 πίνακα, η οποία είναι 1), που μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ισοδύναμη με τον τύπο Leibniz. Οι ορίζουσες μπορούν αν χρησιμοποιηθούν για να λύσουν γραμμικά συστήματα χρησιμοποιώντας τον κανόνα Cramer, όπου η διαίρεση των οριζουσών δύο συγγενικών τετραγωνικών πινάκων ισοδυναμεί με την αξία του καθενός από τις μεταβλητές του συστήματος.[29]

Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Κύριο λήμμαΠρότυπο:Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Ένας αριθμός λ και ένα μη μηδενικό διάνυσμα v ικανοποιώντας την σχέση

Av = λv

ονομάζεται ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα του A, αντίστοιχα[nb 1][30] Ο αριθμός λ είναι μια ιδιοτιμή ενός n×n πίνακα A αν και μόνο αν A−λIn δεν είναι αντιστρέψιμος, ο οποίος είναι ισοδύναμος με

$ \det(\mathsf{A}-\lambda \mathsf{I}) = 0.\ $ [31]

Το πολυώνυμο p_A με άγνωστο X που δίνεται από την εκτίμηση της ορίζουσας det(XI_n−A) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A. Είναι ένα μονώνυμο βαθμού n. Ως εκ τούτου η πολυωνυμική εξίσωση p_A(λ) = 0 έχει το πολύ n διαφορετικές λύσεις,δηλ., ιδιοτιμές του πίνακα.^[32] Μπορεί να είναι πολύπλοκοι ακόμη και αν τα στοιχεία του A είναι πραγματικά. Σύμφωνα με την θεωρία Cayley–Hamilton, p_A(A) = 0, το οποίο είναι, το αποτέλεσμα της αντικατάστασης του ίδιου του πίνακαστις δικές του χαρακτηριστικές πολυωνυμικές τιμές του μηδενικού πίνακα.

Υπολογιστικές πτυχές

Οι υπολογισμοί στους πίνακες εκτελούνται συνήθως με διαφορετικές τεχνικές. Πολλά προβλήματα μπορούν να λυθούν από αμφότερα απευθείας αλγορίθμους ή επαναληπτικές προσεγγίσεις. Για παράδειγμα, τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα μπορούν να ληφθούν βρίσκοντας μία ακολουθία διανυσμάτων xn συγκλίνουσα σε ένα ιδιοδιάνυσμα όταν το n τείνει στο άπειρο.[33]

Για να είσαι ικανός να διαλέξεις τον πιο κατάλληλο αλγόριθμο για κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα, είναι σημαντικό να αποφασίσεις αμφότερα την αποτελεσματικότητα και ακρίβεια όλων των διαθέσιμων αλγορίθμων. Ο τομέας που μελετά αυτά τα θέματα ονομάζεται γραμμική άλγεβρα.[34] Όπως με άλλες αριθμητικές καταστάσεις, οι δύο κύριες πτυχές είναι η πολυπλοκότητα των αλγορίθμων και η αριθμητική ευστάθειά τους.

Αποφασίζουμε την πολυπλοκότητα ενός αλγορίθμου σημαίνει βρίσκουμε άνω όρια ή υπολογίζουμε πόσες στοιχειώδεις πράξεις όπως προσθέσεις ή πολλαπλασιασμοί βαθμίδων είναι απαραίτητοι να εκτελεστούν μερικοί αλγόριθμοι, π.χ., ο πολλαπλασιασμός πινάκων. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας τον πίνακα γινομένου δύο n-επί-n πινάκων χρησιμοποιώντας τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω χρειάζεται n3 πολλαπλασιασμούς, δεδομένου ότι οποιαδήποτε n2 στοιχεία του γινομένου, n πολλαπλασιασμοί είναι απαραίτητοι. Ο αλγόριθμος Strassen υπερτερεί σε σχέση με τον "απλό" αλγόριθμο: χρειάζεται μόνο n2.807 πολλαπλασιασμούς.[35] Μία επίσης εξευγενισμένη προσέγγιση ενσωματώνει ειδικά χαρακτηριστικά των υπολογιστικών συσκευών.

Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις είναι γνωστές οι επιπλέον πληροφορίες όσον αφορά τους σχετικούς με τους πίνακες. Μία σημαντική περίπτωση είναι οι αραιοί πίνακες, δηλ., πίνακες των οποίων τα περισσότερα στοιχεία είναι μηδέν. Υπάρχουν ειδικά προσαρμοσμένοι αλγόριθμοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Ax = b για αραιούς πίνακες A, όπως η μέθοδος των ζυγών.[36]

Ένας αλγόριθμος, σε γενικές γραμμές, είναι αριθμητικά σταθερός, εαν μικρές αποκλίσεις στις τιμές εισόδου δεν οδηγούν σε μεγάλες αποκλίσεις στο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας τον αντίστροφο ενός πίνακα μέσω του τύπου του Laplace (Adj (A) υποδηλώνει τον προσαρτημένο πίνακα του A)

A⁻¹ = Adj(A) / det(A)

μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης εαν η ορίζουσα του πίνακα είναι πολύ μικρή. Η νόρμα ενός πίνακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συλλάβει την κατάσταση προβλημάτων γραμμικής άλγεβρας, όπως υπολογίζοντας τον αντίστροφο ενός πίνακα.[37]

Αν και οι περισσότερες γλώσσες υπολογιστή δεν είναι σχεδιασμένες με εντολές ή βιβλιοθήκες για πίνακες, στις αρχές της δεκαετίας του '70, μερικοί επιτραπέζιοι υπολογιστές μηχανικής όπως HP 9830 είχε ROM cartridges να προσθέσουν BASIC εντολές για τους πίνακες. Μερικές γλώσσες υπολογιστή όπως APL ήταν σχεδιασμένες να μανουβράρουν πίνακες , και ποικίλα μαθηματικά προγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν με σκοπό τον υπολογισμό των πινάκων.[38]

Αποσύνθεση

Κύρια λήμματα:Πρότυπο:Αποσύνθεση πίνακα, Διαγωνιοποίηση πίνακα, Μέθοδος Montante Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι που καθιστούν τους πίνακες σε πιο εύκολες προσβάσιμες μορφές. Γενικά αναφέρεται ως αποσύνθεση πίνακαή τεχνικές παραγοντοποίησης . Το ενδιαφέρον όλων αυτών των τεχνικών είναι ότι διαφυλάσσουν σίγουρες ιδιότητες των εν λόγω πινάκων, όπως είναι η ορίζουσα, τάξη ή αντίστροφος, έτσι ώστε αυτές οι ποσότητες να υπολογίζονται απλοποιώντας τον μετασχηματισμό, ή οι σίγουρες λειτουργίες του πίνακα είναι αριθμητικά ευκολότερο για να διενεργήσουν κάποιους τύπους των πινάκων.

Η LU αποσύνθεση παραγοντοποιεί πίνακες ως παράγωγος των κάτω (L) και άνω τριγωνικών πινάκων (U).[39] Μια φορά η ορίζουσα υπολογίζεται, γραμμικά συστήματα μπορούν να λυθούν πιο αποτελεσματικά, με έναν απλό τρόπο που ονομάζεται εμπρός και πίσω αντικατάσταση.Παρομοίως, οι αντίστροφοι τριγωνικών πινάκων είναι αλγοριθμικά ευκολότερο να υπολογιστούν. Η απαλοιφή του Gaussείναι ένας παρόμοιος αλγόριθμος: μετασχηματίζει οποιοδήποτε πίνακα σε κλιμακωτή μορφή ανά σειρά.[40] Και οι δύο οι μέθοδοι προχωράνε πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα με κατάλληλους στοιχειώδης πίνακες, οι οποίοι αντιστοιχούν μεταθέσεις σειρών ή στηλών και προσθέτουν πολλαπλάσια μιας σειράς σε άλλη. Η μοναδική αξία της αποσύνθεσης εκφράζει οποιονδήποτε πίνακα A ως έναν παράγωγο UDV∗, όπου U και V είναι ενιαίοι πίνακες και D είναι ένας διαγώνιος πίνακας.

Ένα παράδειγμα ενός πίνακα σε κανονική μορφή Jordan.Τα γκρι μπλοκ ονομάζονται Jordan blocks.

Η φασματική αποσύνθεση ή διαγωνιοποίηση εκφράζει τον A ως ένα παράγωγο VDV−1, όπου D είναι ένας διαγώνιος πίνακας και V είναι ένας κατάλληλα αντιστρέψιμος πίνακας.[41] Αν ο A μπορεί να γραφεί σε αυτή τη μορφή, ονομάζεται διαγωνιοποιήσιμος πίνακας. Πιο γενικά, και εφαρμόζεται σε όλους τους πίνακες, η αποσύνθεση Jordan μετασχηματίζει έναν πίνακα σε κανονική μορφή Jordan, η οποία λέει ότι οι πίνακες των οποίων τα μη μηδενικά στοιχεία είναι οι φασματικές αποσυνθέσεις από το λ1 στο λn του A, τοποθετημένα πάνω στην κύρια διαγώνιο και πιθανότατα στοιχεία κατάλληλα πάνω από την κύρια διαγώνιο, όπως δείχνεται δεξιά.[42] Δίνοντας την φασματική αποσύνθεση, η nth δύναμη του A (δηλ., n φορές επαναλαμβάνεται ο πολλαπλασιασμός πινάκων) μπορεί να υπολογιστεί μέσω της

Aⁿ = (VDV⁻¹)ⁿ = VDV⁻¹VDV⁻¹...VDV⁻¹ = VDⁿV⁻¹

και η δύναμη ενός διαγώνιου πίνακα μπορεί να υπολογιστεί παίρνοντας τις αντίστοιχες δυνάμεις των διαγώνιων στοιχείων, οι οποίοι είναι ευκολότεροι από το να υψώσεις σε δύναμη έναν πίνακα A αντίστοιχα. Αυτό μπορεί αν χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο εκθετικός πίνακας eA, προκύπτει συχνά η ανάγκη λύνοντας γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, λογάριθμους πίνακα και τετραγωνικές ρίζες πινάκων.[43] Για να αποφύγουμε αριθμητικά κακοσυσκευασμένες καταστάσεις, περαιτέρω αλγόριθμοι όπως είναι η αποσύνθεση Schur που μπορεί αν μας απασχολήσει.[44]

Περίληψη αλγεβρικών πτυχών και γενικεύσεις

Οι πίνακες μπορούν να γενικεύονται με διαφορετικούς τρόπους. Η αφηρημένη άλγεβρα χρησιμοποιεί πίνακες με στοιχεία σε πιο γενικά πεδία ή ακόμα δακτυλίους, ενώ η γραμμική άλγεβρα κωδικοποιεί ιδιότητες πινάκων στην έννοια των γραμμικών χαρτών. Είναι πιθανό να εξετάσετε πίνακες με άπειρες στήλες και σειρές. Άλλη επέκταση είναι οι τανυστές, που μπορούν να θεωρηθούν ως υψηλότερων διαστάσεων συστοιχίες αριθμών, σε αντίθεση με τους φορείς, οι οποίοι συχνά μπορούν να πραγματοποιήσουν ακολουθίες αριθμών, ενώ οι πίνακες είναι ορθογώνιοι ή δύο διαστάσεων συστοιχία αριθμών .[45] Οι πίνακες, υπόκεινται σε ορισμένες απαιτήσεις τείνοντας να σχηματίσουν ομάδες γνωστές ως ομάδες πινάκων.

Πίνακες με πιο γενικά στοιχεία

Αυτό το άρθρο εστιάζει σε πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικά ή περίπλοκοι αριθμοί. Ωστόσο, οι πίνακες μπορούν να θεωρηθούν με πιο γενικούς τύπους των στοιχείων από πραγματικούς ή περίπλοκους αριθμούς. Σε πρώτο βήμα της γενίκευσης, οποιοδήποτε πεδίο, π.χ., ανά σύνολο όπου οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης είναι καλά ορισμένες, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί του R ή του C, για παράδειγμα ορθολογικοί αριθμοί ή πεπερασμένα πεδία. Για παράδειγμα, η θεωρία κωδικοποίησης κάνει χρήση των πινάκων πάνω από πεπερασμένα πεδία. Οπουδήποτε οι ιδιοτιμές θεωρούνται, όπως είναι οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορούν να υπάρχουν μόνο σε ένα πεδίο μεγαλύτερο από τους συντελεστές του πίνακα; για παράδειγμα μπορεί να είναι πολύπλοκοι σε περίπτωση ενός πίνακα με πραγματικά. Η πιθανότητα να επανερμηνεύει τα στοιχεία ενός πίνακα ως στοιχεία ενός μεγαλύτερου πεδίου (π.χ., το να βλέπεις ένα πραγματικό πίνακα ως ένα περίπλοκο πίνακα του οποίου τα στοιχεία τυχαίνει να είναι όλα πραγματικά) έπειτα επιτρέπουν θεωρώντας κάθε τετραγωνικό πίνακα να διαθέτει ένα πλήρες σύνολο των ιδιοτιμών. Εναλλακτικά εξετάστε μόνο πίνακες με στοιχεία μέσα σε ένα κλειστό αλγεβρικά πεδίο, όπως είναι το C, από την αρχή.

Πιο γενικά, η αφηρημένη άλγεβρα κάνει καταπληκτική χρήση των πινάκων με στοιχεία μέσα σε ένα δακτύλιο R.[46] Οι δακτύλιοι είναι μια πιο γενική έννοια από τα πεδία με μια πράξη διαίρεσης με την έννοια ότι δεν χρειάζεται να υπάρχει . Παρομοίως, οι πράξεις οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πινάκων εκτείνονται σε αυτή τη ρύθμιση , επίσης. Το σύστημα M(n, R) όλων των τετραγωνικών n επί n πινάκων στον R είναι ένας δακτύλιος το οποίο ονομάζεται δακτύλιος πίνακα, είναι ισομορφισμός στον ενδομορφισμό δακτυλίου της αριστερής R-μονάδας Rn.[47] Αν ο δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός,π.χ., ο πολλαπλασιασμός του είναι αντιμεταθετικός, τότε M(n, R) είναι μία ενιαία μη αντιμεταθετική (εκτός αν n = 1) συνειρμική άλγεβρα πάνω στον R. Η ορίζουσα τετραγωνικών πινάκων πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο R μπορεί ακόμη να οριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Leibniz; όπως ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του είναι αντιστρέψιμη στον R, γενικεύοντας την κατάσταση πάνω στο πεδίο F, όπου κάθε μη-μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο.[48] Οι πίνακες πάνω από τους υπερδακτύλιους ονομάζονται υπερπίνακες.[49]

Οι πίνακες που δεν έχουν πάντα όλα τους τα στοιχεία στον δακτύλιο – ή ακόμα σε κανένα δακτύλιο γενικά. Μία ειδική αλλά κοινή περίπτωση είναι οι block πίνακες, οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν σαν πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι από μόνα τους πίνακες. Τα στοιχεία δεν είναι απαραίτητο να είναι τετραγωνικοί πίνακες, και έτσι δεν χρειάζεται να είναι μέλη κανενός συνηθισμένου δακτυλίου; αλλά τα μεγέθη τους πρέπει να πληρούν σίγουρα προϋποθέσεις συμβατότητας.

Σχέσεις με γραμμικές απεικονίσεις

Οι γραμμικές απεικονίσεις Rn → Rm είναι ισοδύναμες προς m-επί-n πίνακες, όπως περιγράφεται παραπάνω. Πιο γενικά, κάθε γραμμική απεικόνιση f: V → W μεταξύ πεπερασμένων-διαστάσεων διανυσματικών χώρων μπορούν να περιγραφούν από έναν πίνακα A = (aij), αφού επιλεχθούν βάσεις v1, ..., vn του V, και w1, ..., wm του W (έτσι n είναι η διάσταση του V και m είναι η διάσταση του W), είναι τέτοια ώστε:

$ f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\qquad\mbox{for }j=1,\ldots,n. $

Με άλλα λόγια, η στήλη j του A εκφράζει την εικόνα του v_j σε όρους των διανυσμάτων βάσης w_i του W; έτσι αυτή η σχέση μοναδικά καθορίζει τα στοιχεία του πίνακα A. Σημειώστε ότι ο πίνακας εξαρτάται από την επιλογή της βάσης: διαφορετικές επιλογές βάσεων συνεπάγονται σε διαφορετικά, αλλά οι ισοδύναμοι πίνακες.^[50] Πολλές από τις παραπάνω συγκεκριμένες έννοιες μπορούν να ερμηνευτούν εκ νέου υπό αυτό το πρίσμα, για παράδειγμα, ο αντίστροφος πίνακας του A^T περιγράφει την αντίστροφη μίας γραμμικής απεικόνισης δοσμένη από τον A, που αφορά τις δυικές βάσεις.^[51]

Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να επαναδιατυπωθούν με ένα πιο φυσικό τρόπο: η κατηγορία όλων των πινάκων με στοιχεία σε ένα πεδίο k με πολλαπλασιασμό όπως η σύνθεση είναι ισοδύναμη προς την κατηγορία των πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικών χώρων και γραμμικών απεικονίσεων πάνω από αυτό το πεδίο.

Πιο γενικά, το σύνολο των m×n πινάκων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναπαρασταθούν οι R-γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ των ελεύθερων συζυγών R^m και Rⁿ για έναν αυθαίρετο δακτύλιο R με ενότητα. Όταν η n = m σύνθεση αυτών των απεικονίσεων είναι δυνατή, και αυτό δημιουργεί τον δακτύλιο πίνακα των n×n πινάκων αντιπροσωπεύοντας τον ενδομορφισμό δακτυλίου του Rⁿ.

Ομάδες πίνακα

Κύριο λήμμα: Ομάδα πίνακα

Μία ομάδα είναι μία μαθηματική δομή αποτελούμενη από ένα σύνολο αντικειμένων μαζί με μία δυαδική λειτουργία, δηλ., μία λειτουργία συνδυάζοντας κάθε δύο αντικείμενα προς ένα τρίτο, θέμα με ορισμένες απαιτήσεις.[52] Μία ομάδα στην οποία τα αντικείμενα είναι πίνακες και η λειτουργία της ομάδας είναι πίνακας πολλαπλασιασμού ονομάζεται πίνακας ομάδα.[nb 2][53] Δεδομένου ότι κάθε στοιχείο μίας ομάδας πρέπει να είναι αντιστρέψιμο, οι γενικότερες ομάδες πίνακα είναι ομάδες όλων των αντιστρέψιμων πινάκων ενός δεδομένου μεγέθους, ονομάζονται οι γενικές γραμμικές ομάδες.

Κάθε ιδιότητα των πινάκων που διατηρείται υπό πίνακα γινομένων και αντίστροφων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστούν περαιτέρω οι ομάδες πίνακα. Για παράδειγμα, πίνακες με ένα δεδομένο μέγεθος και με μία ορίζουσα 1 σχηματίζουν μία υποομάδα του (δηλ., μία μικρότερη ομάδα που εμπεριέχεται) η γενική τους γραμμική ομάδα, ονομάζεται ειδική γραμμική ομάδα.[54] Οι ορθογώνιοι πίνακες, καθορίζονται από την κατάσταση

M^TM = I,

μορφή της ορθογώνιας ομάδας.[55] Κάθε ορθογώνιος πίνακας έχει ορίζουσα 1 ή −1. Ορθογώνιοι πίνακες με ορίζουσα 1 σχηματίζουν μία υποομάδα ονομαζόμενη ειδική ορθογώνια ομάδα.

Κάθε πεπερασμένη ομάδα είναι ισομορφική προς ένα πίνακα ομάδα, όπως φαίνεται αν σκεφτεί κανείς την κανονική αναπαράσταση της συμμετρικής ομάδας.[56] Οι γενικές ομάδες μπορούν να μελετηθούν χρησιμοποιώντας πίνακα ομάδων, που είναι συγκριτικά περισσότερο κατανοητά, με την έννοια της αναπαραστατικής θεωρίας.[57]

Άπειροι πίνακες

Είναι επίσης δυνατό να σκεφτεί κανείς τους πίνακες με άπειρα πολλές γραμμές και/ή στήλες [58] ακόμη και αν, όντας άπειρα αντικείμενα, δεν μπορεί να γραφεί ρητά όπως οι πίνακες. Το μόνο που έχει που σημασία είναι ότι για κάθε στοιχείο στο σύνολο των γραμμών με δείκτες, και κάθε στοιχείο στο σύνολο των στηλών με δείκτες, υπάρχει ένα καλώς ορισμένο στοιχείο (αυτά τα σύνολα δεικτών δε χρειάζεται να είναι υποσύνολα των φυσικών αριθμών). Οι βασικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του βαθμωτού πολλαπλασιασμού και της μεταφοράς μπορούν ακόμα να οριστούν χωρίς πρόβλημα: ωστόσο ο πίνακας πολλαπλασιασμού μπορεί να περιλαμβάνει άπειρες αθροίσεις για να οριστούν τα στοιχεία που προκύπτουν, και αυτά δεν ορίζονται γενικά.

Εαν ο R είναι ένας δακτύλιος με μονάδα, τότε ο δακτύλιος των ενδομορφισμών του $ M=\bigoplus_{i\in I}R $ όπως το δεξιό πρότυπο R είναι ισομορφικό προς το δακτύλιο του πίνακα πεπερασμένης στήλης $ \mathbb{CFM}_I(R) $ του οποίου τα στοιχεία είναι με δείκτες από I\times I, και του οποίου οι στήλες κάθεμία περιέχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Τους ενδομορφισμούς του M μπορούμε να τους σκεφτούμε όπως το αριστερό πρότυπο R καταλήγοντας σε ένα ανάλογο αντικείμενο, οι πίνακες πεπερασμένης γραμμής $ \mathbb{RFM}_I(R) $ των οποίων οι γραμμές καθεμία έχουν πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία.

Εάν οι άπειροι πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν γραμμικές απεικονίσεις, τότε μόνο εκείνοι οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν των οποίων οι στήλες έχουν πεπερασμένο μη μηδενικών στοιχείων, για τον ακόλουθο λόγο. Για έναν πίνακα A να περιγράψει μία γραμμική απεικόνιση f: V→W, βάσεις και για τους δύο χώρους πρέπει να έχουν επιλεχθεί: θυμηθείτε ότι εξ ορισμού αυτό σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να γραφεί μοναδικά ως ένα (πεπερασμένο) γραμμικό συνδυασμό] βάσης διανυσμάτων, έτσι γραμμένο ως μία (στήλη) διάνυσμα v από συντελεστές, μόνο πεπερασμένα πολλά στοιχεία vi είναι μη μηδενικά. Οι στήλες του A περιγράφουν τις εικόνες μέσω της f των μοναδικών διανυσμάτων βάσης του V στη βάση του W, τα οποία έχουν νόημα μόνο αν αυτές οι στήλες έχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Δεν υπάρχει κανένας περιορισμός στις γραμμές του A ωστόσο: στο γινόμενο A·v υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλοί μη μηδενικοί συντελεστές που περιλαμβάνουν το v, έτσι κάθε ένα από τα στοιχεία του, ακόμα και αν είναι δοσμένο ως άπειρο άθροισμα γινομένων, περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλούς μη μηδενικούς όρους και είναι συνεπώς καλά ορισμένοι. Επιπλέον αυτό συμβάλλει στο σχηματισμό ενός γραμμικού συνδυασμού των στηλών του A που αποτελεσματικά περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλά από αυτά, από όπου το αποτέλεσμα έχει μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία, επειδή κάθε μία από εκείνες τις στήλες περιλαμβάνει. Επίσης μπορεί κανείς να δει ότι γινόμενα δύο πινάκων του δοσμένου τύπου είναι καλά ορισμένα (υπό την προϋπόθεση ότι ως συνήθως ο δείκτης στήλης και ο δείκτης γραμμής των συνόλων ταιριάζουν), είναι ξανά του ίδιου τύπου, και αντιστοιχεί στη σύνθεση των γραμμικών απεικονίσεων.

Αν ο R είναι ένας σταθερός δακτύλιος, τότε ο όρος της γραμμής ή μίας στήλης πεπερασμένα μπορεί να χαλαρώσει. Με το σταθερό στη θέση του, οι απόλυτα συγκλίνουσες σειρές μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί για τα πεπερασμένα αθροίσματα. Για παράδειγμα, οι πίνακες των οποίων τα αθροίσματα στήλης είναι απόλυτα συγκλίνουσες ακολουθίες σχηματίζουν ένα δακτύλιο. Κατά ανάλογο τρόπο φυσικά, οι πίνακες των οποίων τα αθροίσματα γραμμής είναι απόλυτα συγκλίνουσες σειρές επίσης σχηματίζουν ένα δακτύλιο.

Σ'αυτό το πνεύμα, οι άπειροι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τους τελεστές στους χώρους του Hilbert, όπου η σύγκλιση και η συνέχεια προκαλούν ερωτήματα, τα οποία καταλήγουν σε βέβαιους περιορισμούς οι οποίοι πρέπει να επιβάλλονται. Ωστόσο, η ρητή άποψη για τους πίνακες τείνει να θολώσει το θέμα,[nb 3] και η αφαίρεση και περισσότερο ισχυρά εργαλεία της συναρτησιακής ανάλυσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί αυτού.

Άδειοι πίνακες

Ένας άδειος πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο ο αριθμός των γραμμών ή στηλών (ή και τα δύο) είναι μηδέν.[59][60] Οι άδειοι πίνακες βοηθούν να αντιμετωπίσουμε απεικονίσεις που περιλαμβάνουν το μηδενικό διανυσματικό χώρο. Για παράδειγμα, αν ο A είναι ένας 3-επί-0 πίνακας και ο B είναι ένας 0-επί-3 πίνακας, τότε ο AB είναι ο 3-επί-3 μηδενικός πίνακας cαντίστοιχος προς τη μηδενική απεικόνιση από ένα τρισδιάστατο χώρο V στον εαυτό του, ενώ ο BA είναι ένας 0-επί-0 πίνακας. Δεν υπάρχει κοινός συμβολισμός για τους άδειους πίνακες, αλλά τα περισσότερα συστήματα υπολογισμού άλγεβρας επιτρέπουν τη δημιουργία και τον υπολογισμό με αυτά. Η ορίζουσα του 0-επί-0 πίνακα είναι 1 ως εξής από σχετικά το άδειο γινόμενο απαντά στον τύπο του Leibniz για την ορίζουσα όπως το 1. Αυτή η τιμή είναι επίσης συνεπής με το γεγονός ότι η ταυτοτική απεικόνιση από κάθε πεπερασμένων διαστάσεων χώρο στον εαυτό του έχει ορίζουσα 1, ένα γεγονός το οποίο συχνά χρησιμοποιείται ως μέρος του χαρακτηρισμού των οριζουσών.

Εφαρμογές

Υπάρχουν πολυάριθμες εφαρμογές πινάκων, τόσο στα μαθηματικά όσο και σε άλλες επιστήμες. Μερικές από αυτές απλώς εκμεταλλεύονται τη συμπαγή παρουσίαση μιας σειράς αριθμών στον πίνακα. Για παράδειγμα, στη θεωρία παιγνίων και στα οικονομικά, ο πίνακας εξόφλησης κωδικοποιεί την εξόφληση για δύο παίκτες, ανάλογα με το ποια από τη δεδομένη (πεπερασμένη) σειρά εναλλακτικών που οι παίκτες επιλέγουν.[61] Η εξόρυξη κειμένου και ο αυτοματοποιημένος θησαυρός κάνουν χρήση του βάση-δεδομένων πίνακα]] όπως tf-idf για να εντοπίσει συχνότητες συγκεκριμένων λέξεων σε ορισμένα αρχεία.[62]

Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαραχθούν από συγκεκριμένου πραγματικούς 2 - 2 πίνακες μέσω

$ a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}, $

που σύμφωνα με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών και πινάκων αντιστοιχούν μεταξύ τους. Για παράδειγμα, 2 - 2 πίνακες αντιπροσωπεύουν τον πολλαπλασιασμό με μερικούς μιγαδικούς αριθμούς μηδαμινής αξίας , όπως παραπάνω. Μια παρόμοια ερμηνεία είναι πιθανή για κβατέρνια,[63] και επίσης για άλγεβρα Κλίφορντ γενικά.

Γρήγορες τεχνικές κρυπτογράφησης όπως η αποκρυπτογράφηση Χιλ χρησιμοποιούν επίσης πίνακες. Παρ'όλα αυτά, λόγω της γραφικής φύσης των πινάκων, αυτοί οι κωδικοί είναι συγκριτικά εύκολοι να σπάσουν.[64] Τα γραφικά υπολογιστή χρησιμοποιούν πίνακες τόσο για να αναπαραστήσουν αντικείμενα και να υπολογίσουν μετατροπές αντικειμένων χρησιμοποιώντας πίνακες περιστροφής ώστε να εκτελέσουν καθήκοντα όπως προβάλλοντας ένα τρισδιάστατο αντικείμενο σε μια δισδιάστατη οθόνη, αντίστοιχα με μια θεωρητική κάμερα παρακολούθησης.[65] Πίνακες από πολυώνυμο δαχτυλίδι είναι σημαντικοί για την μελέτη της θεωρίας ελέγχου.

Η Χημεία κάνει χρήση πινάκων με ποικίλους τρόπους, συγκεκριμένα από την χρήση της κβαντικής θεωρίας για να συζητήσει για τη μοριακή συγκόλληση και τη φασματοσκοπία. Παραδείγματα αποτελούν η επικάλυψη πίνακα και ο πίνακας Fock που χρησιμοποιείται για την επίλυση Roothaan εξισώσεων για την απόκτηση μοριακών τροχιακών της Hartree–Fock μεθόδου.

Θεωρία Γραφήματος
Ένα μη-διατεταγμένο γράφημα με παρακείμενο πίνακα $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Ο πίνακας adjacency ενός πεπερασμένου γραφήματος είναι μια βασική έννοια της θεωρίας γραφήματος.[66] Καταγράφει ποια κορυφές του γραφήματος συνδέονται με μια ακμή. Πίνακες που περιέχουν μόνο δύο διαφορετικές τιμές (1 και 0 που σημαίνει για παράδειγμα "ναι" και "όχι", αντίστοιχα) ονομάζονται λογικοί πίνακες. Ο απόσταση (ή κόστος) πίνακας περιέχει πληροφορίες σχετικά με τις αποστάσεις των άκρων.[67] Αυτές οι έννοιες μπορούν να εφαρμοστούν σε ιστοσελίδες συνδεδεμένες με υπερσυνδέσμους ή πόλεις που συνδέονται με δρόμους κλπ., Σε περίπτωση κατά την οποία (αν το οδικό δίκτυο είναι εξαιρετικά πυκνό) οι πίνακες τείνουν να είναι αραιοί, για παράδειγμα., περιέχουν λίγες μη μηδενικές εγγραφές. Ως εκ τούτου, ειδικά προσαρμοσμένοι αλγοριθμικοί πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην θεωρία διαδικτύου.

Ανάλυση και γεωμετρία

Ο πίνακας Hessian μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης ƒ: Rn → R αποτελείται από δεύτερη παράγωγο της ƒ σε σχέση με τις διάφορες κατευθύνσεις συντεταγμένων, δηλαδή.[68]

$ H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right ]. $

Σε ένα σαγματικό σημείο (x = 0, y = 0) (κόκκινο) μίας συνάρτησης f(x,−y) = x2 − y2, ο πίνακας Hessian $ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} $ είναι αόριστος.

Κωδικοποιεί πληροφορίες σχετικά με την τοπική συμπεριφορά ανάπτυξης της συνάρτησης: δοθέντος κρίσιμου σημείου x = (x₁, ..., x_n), δηλαδή, ένα σημείο όπου οι πρώτες μερικές παράγωγοι $ \partial f / \partial x_i $ της ƒ εξαφανίζονται, η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο εάν ο πίνακας Hessian είναι θετικά ορισμένος. Ο Τετραγωνικός προγραμματισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ελαχίστου ή μεγίστου δευτεροβάθμιων συναρτήσεων που σχετίζονται στενά με αυτές που συνδέονται με πίνακες (βλέπε παραπάνω).^[69]

Ένας άλλος πίνακας που χρησιμοποιείται συχνά σε γεωμετρικές καταστάσεις είναι ο πίνακας Jacobi από έναν διαφορικό χάρτη f: Rⁿ → R^m. Εάν η f₁, ..., f_m υποδηλώνει τα στοιχεία της f, τότε ο πίνακας Jacobi ορίζεται ως ^[70]

$ J(f) = \left [\frac {\partial f_i}{\partial x_j} \right ]_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}. $

Εάν n > m, και αν ο βαθμός του πίνακα Jacobi φθάνει στην μέγιστη τιμή του, τα m, f είναι τοπικά αντιστρέψιμα σε εκείνο το σημείο, από το Θεώρημα απεριόριστης συνάρτησης.[71]

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν εξετάζοντας τον πίνακα των συντελεστών της υψηλότερης τάξης διαφορικών φορέων της εξίσωσης. Για τις μερικώς ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις αυτός ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος, το οποίο έχει καθοριστική επιρροή στο σύνολο των πιθανών λύσεων της εν λόγω εξίσωσης.[72]

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια σημαντική αριθμητική μέθοδος για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, εφαρμόζεται ευρέως στην προσομοίωση πολύπλοκων φυσικών συστημάτων. Επιχειρεί να προσεγγίσει τη λύση σε κάποια εξίσωση με τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις, όπου τα τμήματα επιλέγονται σε σχέση με ένα επαρκώς λεπτό πλέγμα, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξίσωση πινάκων.[73]

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Οι στοχαστικοί πίνακες είναι τετραγωνικοί πίνακες των οποίων οι σειρές είναι διανύσματα πιθανοτήτων, δηλ., των οποίων τα στοιχεία είναι μη αρνητικά και συνοψίζονται σε ένα. Οι στοχαστικοί πίνακας χρησιμοποιούνται για να ορίσουν την αλυσίδα Markov με πολλά πεπερασμένα κράτη.^[74] Μια σειρά του στοχαστικού πίνακα δίνει την κατανομή πιθανότητας για την επόμενη θέση κάποιου σωματιδίου επί του παρόντος στην κατάσταση που αντιστοιχεί στη σειρά. Ιδιότητες της αλυσίδας Markov, όπως το θεώρημα απορρόφησης, δηλ., αναφέρει ότι κάθε σωματίδιο φθάνει τελικά, μπορεί να διαβαστεί από τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων μετάβασης.^[75]

Η στατιστική επίσης κάνει χρήση πινάκων σε διάφορες μορφές.^[76] Η περιγραφική στατιστική ασχολείται με την περιγραφή συνόλων δεδομένων,τα οποία μπορεί συχνά να παρασταθούν ως πίνακες δεδομένων, οι οποίοι μπορούν στη συνέχεια να υποβληθούν σε τεχνικές μείωσης διάστασης. Ο πίνακας διασποράς κωδικοποιεί την κοινή διακύμανση αρκετών τυχαίων μεταβλητών.^[77] Μια άλλη τεχνική που χρησιμοποιεί πίνακες είναι η γραμμική ελαχίστων τετραγώνων, μια μέθοδος που προσεγγίζει ένα πεπερασμένο σύνολο ζευγών (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_N, y_N), με μια γραμμική συνάρτηση

y_i ≈ ax_i + b, i = 1, ..., N

η οποία μπορεί να τυποποιηθεί σε όρους πινάκων, που σχετίζονται με τη μοναδική αποσύνθεση αξίας των πινάκων.^[78]

Οι τυχαίοι πίνακες είναι πίνακες των οποίων οι εγγραφές είναι τυχαίοι αριθμοί, υπόκεινται σε κατάλληλη κατανομή πιθανότητας, όπως οι πίνακες κανονικής κατανομής. Πέρα από την θεωρία πιθανοτήτων, εφαρμόζονται σε τομείς που κυμαίνονται από την θεωρία αριθμών μέχρι τη φυσική.^[79]^[80]

Συμμετρίες και μετασχηματισμοί στη φυσική

Περαιτέρω πληροφορίες: Συμμετρία στη φυσική

Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί και οι σχετικές συμμετρίες διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο στη σύγχρονη φυσική. Για παράδειγμα, το στοιχειώδες σωματίδιο στη θεωρία κβαντικού πεδίου ταξινομούνται ως αναπαραστάσεις της ομάδας Lorentz της ειδικής σχετικότητας και, πιο συγκεκριμένα, με τη συμπεριφορά τους στο πλαίσιο της ομάδας περιστροφής. Συγκεκριμένες αναπαραστάσεις εμπεριεχομένων των πινάκων Pauli και γενικά των πινάκων γάμμα αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της φυσικής περιγραφής των φερμιονίων, που συμπεριφέρονται ως spinors.[81] Για τα τρία ελαφρύτερα κουάρκ, υπάρχει μια ομάδα-θεωρητική αναπαράσταση που αφορά την ειδική ενιαία ομάδα SU(3); για τους υπολογισμούς τους, οι φυσικοί χρησιμοποιούν μια βολική αναπαράσταση πίνακα που είναι γνωστή ως πίνακας Gell-Mann, η οποία χρησιμοποιείται επίσης για την SU(3) ομάδα βαθμίδας που αποτελεί τη βάση της σύγχρονης περιγραφής των ισχυρών πυρηνικών αλληλεπιδράσεων της κβαντικής χρωμοδυναμικής. Ο πίνακας Cabibbo–Kobayashi–Maskawa, με τη σειρά του, εκφράζει το γεγονός ότι τα βασικά μέλη κουάρκ που είναι σημαντικά για την ασθενή αλληλεπίδραση δεν είναι το ίδιο , αλλά σχετίζεται γραμμικά με τα βασικά μέλη κουάρκ που ορίζουν τα σωματίδια με συγκεκριμένες και διακριτές μάζες.[82]

Γραμμικοί συνδυασμοί των κβαντικών καταστάσεων

Το πρώτο μοντέλο της κβαντομηχανικής (Χάιζεμπεργκ, 1925) εκπροσωπείται από τους φορείς της θεωρίας από απειροδιάστατους πίνακες που ενεργούν για κβαντικές καταστάσεις.[83] Αυτό είναι επίσης γνωστό και ως κβαντομηχανική. Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα είναι πίνακας πυκνότητας που χαρακτηρίζει τη «μικτή» κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος ως γραμμικός συνδυασμός πρωτοβάθμιας, καθαρής ιδιοκατάστασης.[84]

Ένας άλλος πίνακας που χρησιμεύει ως ένα βασικό εργαλείο για την περιγραφή των πειραμάτων σκέδασης που αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο της σωματιδιακής φυσικής: Σύγκρουση αντιδράσεων, όπως στους επιταχυντές σωματιδίων, όπου σωματίδια που δεν αλληλεπιδρούν κατευθύνονται το ένας προς το άλλο και συγκρούονται σε μιας μικρή ζώνη αλληλεπίδρασης, με ένα σύνολο μη αλληοεπιδρώμενων σωματιδίων ως αποτέλεσμα, μπορεί να περιγραφεί ως το γινόμενο των εξερχόμενων κρατών σωματιδίων και ένας γραμμικός συνδυασμός των μελών προστιθέμενων σωματιδίων. Ο γραμμικός συνδυασμός δίνεται από έναν πίνακα που είναι γνωστός ως S-πίνακας, ο οποίος κωδικοποιεί όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις πιθανές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων.[85]

Κανονικοί τρόποι

Μια γενική εφαρμογή των πινάκων στην φυσική είναι στην περιγραφή των γραμμικά συνδεδεμένων αρμονικών συστημάτων. Οι εξισώσεις κίνησης τέτοιων συστημάτων μπορούν να περιγραφούν σε μορφή πίνακα, με έναν πίνακα μάζας πολλαπλασιάζοντας μια γενικευμένη ταχύτητα για να δώσει τον κινητικό όρο, και ένας δυναμικός πίνακας πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα μετατόπισης για τον χαρακτηρισμό των αλληλεπιδράσεων. Ο καλύτερος τρόπος για να ληφθούν λύσεις είναι να προσδιοριστεί το αυτοδιάνυσμα του συστήματος, την κανονική λειτουργία, διαγωνιοποιώντας την εξίσωση του πίνακα. Τεχνικές όπως αυτή είναι ζωτικής σημασίας όταν πρόκειται για την εσωτερική δυναμική των μορίων: οι εσωτερικές δονήσεις των συστημάτων που αποτελούνται από αμοιβαίως δεσμευμένα άτομα συστατικού.[86] Είναι επίσης αναγκαία για την περιγραφή οι μηχανικές δονήσεις και ταλαντώσεις ηλεκτρικών κυκλωμάτων.[87]

Γεωμετρική οπτική

Η Γεωμετρική οπτική παρέχει επιπλέον εφαρμογές πινάκων. Σε αυτή την προσεγγιστική θεωρία, η κυματική φύση του φωτός είναι παραμελημένη. Το αποτέλεσμα είναι ένα μοντέλο στο οποίο οι ακτίνες φωτός είναι όντως γεωμετρικές ακτίνες. Εάν η εκτροπή των ακτίνων φωτός μέσω οπτικών στοιχείων είναι μικρή, η ενέργεια ενός φακού ή ενός ανακλώμενου στοιχείου σε μια δεδομένη ακτίνα φωτός μπορεί να εκφραστεί ως πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύο συνιστωσών με έναν πίνακα 2 προς 2 που ονομάζεται πίνακας μεταφοράς ακτίνων: οι συνιστώσες του διανύσματος είναι η κλίση των ακτίνων φωτός και η απόσταση της από τον οπτικό άξονα, όσο ο πίνακας κωδικοποιεί τις ιδιότητες του οπτικού στοιχείου. Για την ακρίβεια, υπάρχουν δύο ειδών πίνακες, δηλαδή. ένας πίνακας διάθλασης που περιγράφει την διάθλαση σε μια επιφάνεια του φακού, και ένας πίνακας μετάφρασης, που περιγράφει την μετάφραση του επιπέδου αναφοράς στην επόμενη διαθλώμενη επιφάνεια, όπου εφαρμόζεται ένας άλλος πίνακας διάθλασης. Το οπτικό σύστημα, που αποτελείται από ένα συνδυασμό φακών και/ή αντανακλώντων στοιχείων, περιγράφεται απλώς ως ο πίνακας που προκύπτει από το προιόν των πινάκων των εξαρτημάτων.[88]

Ηλεκτρονικά

Η παραδοσιακή ανάλυση πλέγματος στα ηλεκτρονικά οδηγεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να περιγραφούν με πίνακα.

Η συμπεριφορά πολλών ηλεκτρονικών συστατικών μπορεί να περιγραφεί μέσω πινάκων. Έστω A ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εισόδου του στοιχείου v1 και ρεύμα εισόδου i1ως στοιχεία του, και έστω B ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εξόδου του στοιχείου v2 και του ρεύματος εξόδου i2 ως στοιχεία του. Στη συνέχεια, η συμπεριφορά του ηλεκτρονικού στοιχείου μπορεί να περιγραφεί με B = H · A, όπου H είναι ένας 2 x 2 πίνακας που περιέχει ένα στοιχείο αντίστασης (h12), ένα στοιχείο εισόδου (h21) και δύο αδιάστατα στοιχεία (h11 and h22). Υπολογίζοντας ένα κύκλωμα τώρα μειώνεται σε πολλαπλασιασμό πινάκων.

Ιστορία

Οι πίνακες έχουν μεγάλη ιστορία σχετικά με την εφαρμογή της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων και ήταν γνωστοί ως συστοιχίες μέχρι το 1800. Το κινέζικο κείμενο Τα εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική τέχνη είναι το πρώτο παράδειγμα της χρήσης των μεθόδων διάταξης των στοιχείων ενός πίνακα για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων,όπως και για τη έννοια της ορίζουσας.[89] Το 1545 ο Ιταλός μαθηματικός Girolamo Cardano έφερε τη μέθοδο στην Ευρώπη όταν δημοσίευσε το Ars Magna.[90] Ο Ιάπωνας μαθηματικός Seki Kowa χρησιμοποίησε την ίδια μέθοδο για τη διάταξη των στοιχείων για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων το 1683 .[91] Ο Ολλανδός μαθηματικός Jan de Witt εκπροσωπούσε τους μετασχηματισμούς των πινάκων χρησιμοποιώντας τη διάταξη των στοιχείων το 1659 στο βιβλίο Στοιχειά του Curves (1659).[92] Μεταξύ 1700 και 1710 ο Λάιμπνιτς δημοσίευσε τη χρήση της διάταξης των στοιχείων για την καταγραφή πληροφοριών ή λύσεις και πειραματίστηκε με πάνω από 50 διαφορετικά συστήματα για τη διάταξη των πινάκων.[90] Ο Gabriel Cramer παρουσίασε τους κανόνες του Cramer το 1750.

Ο όρος "πίνακας" (Λατινικά "μήτρα", που προέρχεται από το mater—μητέρα[93]) επινοήθηκε από τον James Joseph Sylvester το 1850,[94] ο οποίος κατανόησε έναν πίνακα ως ένα αντικείμενο που οδηγεί σε μια σειρά από ορίζουσες που σήμερα ονομάζονται δευτερεύoντα αντικείμενα, δηλαδή, τις ορίζουσες των μικρότερων πινάκων που απορρέουν από το αρχικό αφαιρώντας στήλες και γραμμές. Σε ένα έγγραφο το 1851, ο Sylvester εξηγεί:

Έχω στα προηγούμενα έγγραφα μου ορίσει έναν "Πίνακα" ως ορθογώνια διάταξη των όρων, εκ των οποίων τα διάφορα συστήματα των οριζουσών μπορούν να παραχθούν από τη μήτρα ενός κοινού γονέα.[95]

Ο Arthur Cayley δημοσίευσε μια πραγματεία σχετικά με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς με τη χρήση πινάκων που δεν εναλλάσσονται οι τύποι των συντελεστών που ερευνώνται, όπως ήδη έχει γίνει. Αντ'αυτού όρισε πράξεις όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, όπως και τους μετασχηματισμούς αυτών των πινάκων και έδειξε την προσεταιριστική και την επιμεριστική ιδιότητα που πραγματοποιήθηκε αλήθεια. Ο Cayley ερεύνησε και απέδειξε τη μη-αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων καθώς και την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης των πινάκων.[90] Η πρόωρη θεωρία των πινάκων έχει περιορίσει τη χρήση των συστοιχιών σχεδόν αποκλειστικά με τις ορίζουσες ο αφηρημένος χειρισμός του Arthur Cayley ήταν πρωτοποριακός. Είχε πολύ σημαντικό ρόλο αφού πρότεινε μια έννοια ανεξάρτητη από τον πίνακα των συστημάτων εξίσωσης. Το 1858 ο Arthur Cayley δημοσίευσε τα απομνημονεύματά του για τη θεωρία των πινάκων[96][97] στην οποία πρότεινε και απέδειξε το Cayley-Hamilton θεώρημα.[90]

Ένας Άγγλος μαθηματικός που ονομαζόταν Cullis ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε σύγχρονη σημειογραφία στήριγμα για τους πίνακες το 1913 και έδειξε ταυτόχρονα την πρώτη σημαντική χρήση του συμβολισμού A = [ai,j] που εκπροσωπεί έναν πίνακα όπου το ai,j αναφέρεται στην i-νιοστή σειρά και στη j-νιοστή στήλη.[90]

Η μελέτη των οριζουσών ξεπήδησε από διάφορες πηγές .[98] Αριθμός-θεωρητικά προβλήματα (που οδήγησαν τον Karl) αφορούσαν συντελεστές τετραγωνικής μορφής,δηλαδή, εκφράσεις όπως x2 + xy − 2y2, και γραμμικές απεικονίσεις σε τρεις διαστάσεις για έναν πίνακα .Ο Gotthold Eisenstein ανέπτυξε περαιτέρω αυτές τις έννοιες, όπως η παρατήρηση ότι, στο σύγχρονο ιδίωμα, το γινόμενο των πινάκων είναι μη-μεταθετικό. Ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ ήταν ο πρώτος που απέδειξε γενικές δηλώσεις σχετικά με τις ορίζουσες χρησιμοποιώντας ως ορισμό της ορίζουσας ενός πίνακα A = [ai,j] το εξής: να υποκαταστήσει τις δυνάμεις ajk από ajk στο πολυώνυμο

$ a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;, $

όπου Π συμβολίζει το γινόμενο των ενδεικτικών όρων. Επίσης έδειξε, το 1829, ότι οι ιδιοτιμές των συμμετρικών πινάκων είναι πραγματικές.[99] ο Jacobi μελέτησε τις "συναρτησιακές ορίζουσες"—αργότερα ονομάστηκαν ορίζουσες Jacobi από τον Sylvester—που συνήθιζε να περιγράφει γεωμετρικούς μετασχηματισμούς σε τοπικό (ή απειροελάχιστο) επίπεδο, δείτε παραπάνω; Kronecker's Vorlesungen über die Theorie der Determinanten[100] και Weierstrass' Zur Determinantentheorie,[101] μαζί δημοσιεύτηκαν το 1903, οι πρώτες ορίζουσες αξιωματικά, σε αντίθεση με προηγούμενες πιο συγκεκριμένες προσεγγίσεις όπως ο τύπος του Cauchy που αναφέρθηκε. Σ' εκείνο το σημείο, οι ορίζουσες είχαν εδραιωθεί.

Πολλά θεωρήματα αρχικά είχαν εδραιωθεί για μικρούς πίνακες μόνο, για παράδειγμα το θεώρημα Cayley–Hamilton αποδείχτηκε για 2×2 πίνακες από τον Cayley στα προαναφερθέντα απομνημονεύματα, και από τον William Rowan Hamilton για 4×4 πίνακες. Ο Georg Frobenius, δουλεύοντας πάνω στις διγραμμικές μορφές, γενίκευσε το θεώρημα για όλες τις διαστάσεις (1898). Επίσης στο τέλος του 19ου αιώνα η απαλοιφή των Gauss–Jordan (γενικεύοντας μία ειδική περίπτωση που σήμερα είναι γνωστή ως απαλοιφή του Gauss) εδραιώθηκε από τον[Wilhelm Jordan. Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι πίνακες πέτυχαν ένα κεντρικό ρόλο στη γραμμική άλγεβρα.[102] μερικώς λόγω της χρήσης τους στην ταξινόμηση των συστημάτων υπερσύνθετων αριθμών του προηγούμενου αιώνα.

Η έναρξη της μηχανικής πίνακα από τους Βέρνερ Χάιζεμπεργκ, Μαξ Μπορν και Pascual Jordan οδήγησε στη μελέτη πινάκων με άπειρα πολλές γραμμές και στήλες.[103] Αργότερα, ο von Neumann πραγματοποίησε το μαθηματικό σχηματισμό της κβαντικής μηχανικής, με περαιτέρω ανάπτυξη των συμβολισμών της συναρτησιακής ανάλυσης όπως είναι οι γραμμικοί τελεστές στους χώρους του Hilbert, όπου, πολύ χονδρικά, αντιστοιχεί στον Ευκλείδειο χώρο, αλλά με το άπειρο των ανεξάρτητων κατευθύνσεων.
Άλλες ιστορικές χρήσεις της λέξης “πίνακας” στα μαθηματικά

Η λέξη έχει χρησιμοποιηθεί με ασυνήθιστους τρόπους από τουλάχιστον δύο συγγραφείς ιστορικής σημαντικότητας.

Ο Μπέρτραντ Ράσελ και Alfred North Whitehead στο έργο τους Αρχές Μαθηματικών (1910–1913) χρησιμοποίησαν τη λέξη “πίνακας” στα συμφραζόμενα του Αξιώματος αναγωγιμότητας. Πρότειναν αυτό το αξίωμα ως μέσο αναγωγής κάθε συνάρτησης προς μία χαμηλότερου τύπου, επιτυχημένα, έτσι ώστε στο “κάτω μέρος” (0 εντολή) η συνάρτηση είναι ταυτοτική προς τον εαυτό της Επέκταση:

“Επιτρέψτε μας να δώσουμε το όνομα πίνακας σε κάθε συνάρτηση, ωστόσο από πολλές μεταβλητές, οι οποίες δεν περιέχουν φαινόμενες μεταβλητές. Τότε κάθε δυνατή συνάρτηση πλην ενός πίνακα που προέρχεται από έναν πίνακα με την έννοια της γενίκευσης, δηλ., σκεπτόμενοι την πρόταση που βεβαιώνει ότι η εν λόγω συνάρτηση είναι αληθής με όλες τις δυνατές τιμές ή με κάποια τιμή από τις λογομαχούμενες, η άλλη λογομαχούμενη ή λογομαχούμενες παραμένουν απροσδιόριστες”.[104]

Για παράδειγμα μία συνάρτηση Φ(x, y) δύο μεταβλητών x και y μπορεί να αναχθεί σε μία συλλογή συναρτήσεων μοναδικής μεταβλητής, π.χ., y, σκεπτόμενοι τη συνάρτηση για όλες τις δυνατές τιμές των “ατόμων” ai αντικατεστημένων στη θέση της μεταβλητής x. Και τότε η συλλογή των συναρτήσεων με μοναδικές μεταβλητές y που προκύπτει, δηλ., ∀ai: Φ(ai, y), μπορεί να αναχθεί σε έναν “πίνακα” τιμών σκεπτόμενοι τη συνάρτηση για όλες τις δυνατές τιμές των “ατόμων” bi αντικατεστημένων στη θέση της μεταβλητής y:

∀bj∀ai: Φ(ai, bj).

Ο Άλφρεντ Τάρσκι στο έργο του Εισαγωγή στη Λογική, το 1946, χρησιμοποίησε τη λέξη “πίνακας” ως συνώνυμο με το συμβολισμό του αληθούς πίνακα όπως συνηθίζεται στη μαθηματική λογική.[105]

Δείτε επίσης

Αλγεβρική πολλαπλότητα
Γεωμετρική πολλαπλότητα
Διαδικασία Gram-Schmidt
Λίστα πινάκων
Λογισμός πινάκων
Σύνολο περιοδικών πινάκων
Τανυστής

Σημειώσεις

equivalently, table
Anton (1987, p. 23)
Beauregard & Fraleigh (1973, p. 56)
K. Bryan and T. Leise. The $25,000,000,000 eigenvector: The linear algebra behind Google. SIAM Review, 48(3):569–581, 2006.
Lang 2002
Fraleigh (1976, p. 209)
Nering (1970, p. 37)
Oualline 2003, Ch. 5
Brown 1991, Definition I.2.1 (addition), Definition I.2.4 (scalar multiplication), and Definition I.2.33 (transpose)
Brown 1991, Theorem I.2.6
Brown 1991, Definition I.2.20
Brown 1991, Theorem I.2.24
Horn & Johnson 1985, Ch. 4 and 5
Brown 1991, I.2.21 and 22
Greub 1975, Section III.2
Brown 1991, Definition II.3.3
Greub 1975, Section III.1
Brown 1991, Theorem II.3.22
Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.6
Brown 1991, Definition I.2.28
Brown 1991, Definition I.5.13
Horn & Johnson 1985, Chapter 7
Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1
Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169
Brown 1991, Definition III.2.1
Brown 1991, Theorem III.2.12
Brown 1991, Corollary III.2.16
Mirsky 1990, Theorem 1.4.1
Brown 1991, Theorem III.3.18
Brown 1991, Definition III.4.1
Brown 1991, Definition III.4.9
Brown 1991, Corollary III.4.10
Householder 1975, Ch. 7
Bau III & Trefethen 1997
Golub & Van Loan 1996, Algorithm 1.3.1
Golub & Van Loan 1996, Chapters 9 and 10, esp. section 10.2
Golub & Van Loan 1996, Chapter 2.3
For example, Mathematica, see Wolfram 2003, Ch. 3.7
Press, Flannery & Teukolsky 1992
Stoer & Bulirsch 2002, Section 4.1
Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.4
Horn & Johnson 1985, Ch. 3.1, 3.2
Arnold & Cooke 1992, Sections 14.5, 7, 8
Bronson 1989, Ch. 15
Coburn 1955, Ch. V
Lang 2002, Chapter XIII
Lang 2002, XVII.1, p. 643
Lang 2002, Proposition XIII.4.16
Reichl 2004, Section L.2
Greub 1975, Section III.3
Greub 1975, Section III.3.13
See any standard reference in group.
Baker 2003, Def. 1.30
Baker 2003, Theorem 1.2
Artin 1991, Chapter 4.5
Rowen 2008, Example 19.2, p. 198
See any reference in representation theory or group representation.
See the item "Matrix" in Itõ, ed. 1987
"Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", Glossary, O-Matrix v6 User Guide
"A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", MATLAB Data Structures
Fudenberg & Tirole 1983, Section 1.1.1
Manning 1999, Section 15.3.4
Ward 1997, Ch. 2.8
Stinson 2005, Ch. 1.1.5 and 1.2.4
Association for Computing Machinery 1979, Ch. 7
Godsil & Royle 2004, Ch. 8.1
Punnen 2002
Lang 1987a, Ch. XVI.6
Nocedal 2006, Ch. 16
Lang 1987a, Ch. XVI.1
Lang 1987a, Ch. XVI.5. For a more advanced, and more general statement see Lang 1969, Ch. VI.2
Gilbarg & Trudinger 2001
Šolin 2005, Ch. 2.5. See also stiffness method.
Latouche & Ramaswami 1999
Mehata & Srinivasan 1978, Ch. 2.8
Healy, Michael (1986), Matrices for Statistics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850702-4
Krzanowski 1988, Ch. 2.2., p. 60
Krzanowski 1988, Ch. 4.1
Conrey 2007
Zabrodin, Brezin & Kazakov et al. 2006
Itzykson & Zuber 1980, Ch. 2
see Burgess & Moore 2007, section 1.6.3. (SU(3)), section 2.4.3.2. (Kobayashi–Maskawa matrix)
Schiff 1968, Ch. 6
Bohm 2001, sections II.4 and II.8
Weinberg 1995, Ch. 3
Wherrett 1987, part II
Riley, Hobson & Bence 1997, 7.17
Guenther 1990, Ch. 5
Shen, Crossley & Lun 1999 cited by Bretscher 2005, p. 1
Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564-565
Needham, Joseph; Wang Ling (1959). Science and Civilisation in China. III. Cambridge: Cambridge University Press, σελ. 117. ISBN 9780521058018.
Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 ISBN 978-0321079121 | p.564
Merriam–Webster dictionary, Merriam–Webster, ανακτήθηκε στις April 20, 2009
Although many sources state that J. J. Sylvester coined the mathematical term "matrix" in 1848, Sylvester published nothing in 1848. (For proof that Sylvester published nothing in 1848, see: J. J. Sylvester with H. F. Baker, ed., The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1904), vol. 1.) His earliest use of the term "matrix" occurs in 1850 in: J. J. Sylvester (1850) "Additions to the articles in the September number of this journal, "On a new class of theorems," and on Pascal's theorem," The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 37 : 363-370. From page 369: "For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants … "
The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, Paper 37, p. 247
Phil.Trans. 1858, vol.148, pp.17-37 Math. Papers II 475-496
Dieudonné, ed. 1978, Vol. 1, Ch. III, p. 96
Knobloch 1994
Hawkins 1975
Kronecker 1897
Weierstrass 1915, pp. 271–286
Bôcher 2004
Mehra & Rechenberg 1987
Whitehead, Alfred North; and Russell, Bertrand (1913) Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press, Cambridge UK (republished 1962) cf page 162ff.

Tarski, Alfred; (1946) Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc, New York NY, ISBN 0-486-28462-X.

Eigen means "own" in German and in Dutch.
Additionally, the group is required to be closed in the general linear group.

"Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." Halmos 1982, p. 23, Chapter 5

Αναφορές

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (1992), Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54813-3
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
Association for Computing Machinery (1979), Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-059376-3
Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
Bretscher, Otto (2005), Linear Algebra with Applications (3rd έκδοση), Prentice Hall
Bronson, Richard (1989), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-007978-6
Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Coburn, Nathaniel (1955), Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, OCLC 1029828
Conrey, J. Brian (2007), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69964-8
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1983), Game Theory, MIT Press
Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (2nd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4
Godsil, Chris; Royle, Gordon (2004), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd έκδοση), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
Greub, Werner Hildbert (1975), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7
Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Householder, Alston S. (1975), The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications
Krzanowski, Wojtek J. (1988), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9
Itõ, Kiyosi, επιμ.. (1987), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (2nd έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1
Lang, Serge (1969), Analysis II, Addison-Wesley
Lang, Serge (1987a), Calculus of several variables (3rd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8
Lang, Serge (1987b), Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
Πρότυπο:Lang Algebra
Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (1999), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st έκδοση), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8
Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (1999), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9
Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (1978), Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-096612-3
Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd έκδοση), New York: Wiley
Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (2nd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, σελ. 449, ISBN 978-0-387-30303-1
Oualline, Steve (2003), Practical C++ programming, O'Reilly, ISBN 978-0-596-00419-4
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), «LU Decomposition and Its Applications», Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd έκδοση), Cambridge University Press, σελ. 34–42
Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (2002), The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7
Reichl, Linda E. (2004), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0
Rowen, Louis Halle (2008), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4153-2
Šolin, Pavel (2005), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-76409-0
Stinson, Douglas R. (2005), Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-508-5
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3
Ward, J. P. (1997), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-4513-8
Wolfram, Stephen (2003), The Mathematica Book (5th έκδοση), Champaign, IL: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6

Αναφορές στη Φυσική

Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2
Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9
Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3
Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd έκδοση), McGraw–Hill
Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3
Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1

Ιστορικές αναφορές

A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
Bôcher, Maxime (2004), Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49570-5, reprint of the 1907 original edition
Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I (1841–1853), Cambridge University Press, σελ. 123–126
Dieudonné, Jean, επιμ.. (1978), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann
Hawkins, Thomas (1975), «Cauchy and the spectral theory of matrices», Historia Mathematica 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4, ISSN 0315-0860
Knobloch, Eberhard (1994), «From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations», The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, σελ. 51–66
Kronecker, Leopold (1897), Hensel, Kurt, επιμ., Leopold Kronecker's Werke, Teubner
Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (1987), The Historical Development of Quantum Theory (1st έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96284-9
Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd έκδοση), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853936-0
Weierstrass, Karl (1915), Collected works, 3

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
wiktionary logo
Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:
πίνακας
Sister project Τo Βικιβιβλίο Linear Algebra έχει μια σελίδα σχετικά με
Matrices

Εγκυκλοπαιδικά άρθρα

Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Matrix», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Ιστορία

MacTutor: Matrices and determinants
Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors

Βιβλία στο Διαδίκτυο

Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4
The Matrix Cookbook, ανακτήθηκε στις 24 March 2014
Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008

Αριθμομηχανές πινάκων στο Διαδίκτυο

SimplyMath (Matrix Calculator)
Matrix Calculator (DotNumerics)
Xiao, Gang, Matrix calculator, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008
Online matrix calculator, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008
Online matrix calculator (ZK framework), ανακτήθηκε στις 26 Nov 2009[νεκρός σύνδεσμος]
Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008, a freeware package for matrix algebra and statistics
Online matrix calculator, ανακτήθηκε στις 14 Dec 2009
Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License

Όνομα	Διάσταση	Παράδειγμα	Περιγραφή
Διάνυσμα γραμμής	1 × n	\( \begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix} \)	Ένας πίνακας με μία γραμμή, μερικές φορές χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα διάνυσμα
Διάνυσμα στήλης	n × 1	\( \begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix} \)	Ένας πίνακας με μία στήλη, μερικές φορές χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα διάνυσμα
Τετραγωνικός πίνακας	n × n	\( \begin{bmatrix} 9 & 13 & 5 \\ 1 & 11 & 7 \\ 2 & 6 & 3 \end{bmatrix}\)	Ένας πίνακας με τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, μερικές φορές χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα γραμμικό μετασχηματισμό από ένα διανυσματικό χώρο στον εαυτό του, όπως αντανάκλαση, περιστροφή, ή διάτμηση.

Λειτουργία	Ορισμός	Παράδειγμα
Πρόσθεση	Το άθροισμα A+B δύο m-επί-n πινάκων A και B υπολογίζεται: (A + B)_i,j = A_i,j + B_i,j, where 1 ≤ i ≤ m and 1 ≤ j ≤ n.	\( \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{bmatrix}\)
Βαθμωτός πολλαπλασιασμός	Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός cA ενός πίνακα A και ενός αριθμού c (επίσης ονομάζεται βαθμωτός στη γλώσσα της αφηρημένης άλγεβρας) που δίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο του A με το c: (cA)_i,j = c · A_i,j.	\( 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}\)
Μεταφορά	Η μεταφορά ενός m-επί-n πίνακα A είναι ο n-επί-m πίνακας A^T (επίσης συμβολίζεται A^tr ή ^tA) σχηματίζεται μετατρέποντας τις γραμμές σε στήλες και αντίστροφα: (A^T)_i,j = A_j,i.	\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \)

Ονομασία	Παράδειγμα με n = 3
Διαγώνιος πίνακας	\(\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{bmatrix} \)
Κάτω τριγωνικός πίνακας	\( \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}\)
Άνω τριγωνικός πίνακας	\( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{bmatrix} \)

θετικά ορισμένος πίνακας	αόριστος πίνακας
\( \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \)	\( \begin{bmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & -1/4 \end{bmatrix}\)
Q(x,y) = 1/4 x² + y²	Q(x,y) = 1/4 x² − 1/4 y²
150px Σημείο τέτοιο ώστε Q(x,y)=1 (Έλλειψη).	Σημείο τέτοιο ώστε Q(x,y)=1 (Υπερβολή).

Πίνακας (μαθηματικά)

.